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1、线性代数线性代数 对称矩阵的对称矩阵的相似矩阵相似矩阵第1页，共18页，编辑于2022年，星期一定理定理1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.证明证明一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵第2页，共18页，编辑于2022年，星期一于是有于是有两式相减，得两式相减，得第3页，共18页，编辑于2022年，星期一定理定理1 1的意义的意义第4页，共18页，编辑于2022年，星期一证明证明于是于是第5页，共18页，编辑于2022年，星期一证明证明它们的重数依次为它们的重数依次为根
2、据定理根据定理1（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定）和定理理3(如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为第6页，共18页，编辑于2022年，星期一由定理由定理2知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则第7页，共18页，编辑于2022年，星期一根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤
3、为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.第8页，共18页，编辑于2022年，星期一解解例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值第9页，共18页，编辑于2022年，星期一解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系第10页，共18页，编辑于2022年，星期一解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征
4、向量单位化将特征向量单位化第11页，共18页，编辑于2022年，星期一第12页，共18页，编辑于2022年，星期一第13页，共18页，编辑于2022年，星期一第14页，共18页，编辑于2022年，星期一于是得正交阵于是得正交阵第15页，共18页，编辑于2022年，星期一1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：三、小结三、小结 (1)(1)特征值为实数；特征值为实数；(2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；(3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等；(4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化第16页，共18页，编辑于2022年，星期一思考题思考题第17页，共18页，编辑于2022年，星期一思考题解答思考题解答第18页，共18页，编辑于2022年，星期一