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1、线性代数 矩阵的秩第1页，共17页，编辑于2022年，星期一1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A vk阶子式阶子式 在在m n矩矩阵阵A中中 任任取取k行行与与k列列(k m k n)位位于于这这些些行行列列交交叉叉处处的的k2个个元元素素 不不改改变变它它们们在在A中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得的的k阶阶行行列列式式 称为矩阵称为矩阵A的的k阶子式阶子式 例如例如 1 1 3 1D 是是A的一个二阶子式的一个二阶子式 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 下页下页第2页，共17页，编辑于2022年，星期一说
2、明说明 v矩阵的秩矩阵的秩 设设在在矩矩阵阵A中中有有一一个个不不等等于于0的的r阶阶子子式式D 且且所所有有r 1阶阶子子式式(如如果果存存在在的的话话)全全等等于于0 那那么么D称称为为矩矩阵阵A的的最最高高阶阶非非零零子子式式 数数r称称为为矩矩阵阵A的秩的秩 记作记作R(A)并规定零矩阵的秩等于并规定零矩阵的秩等于0 矩阵矩阵A的秩的秩R(A)就是就是A中不等于中不等于0的子式的最高阶数的子式的最高阶数 (1)若若矩矩阵阵A中中有有某某个个s阶阶子子式式不不为为0 则则R(A)s 若若A中中所所有有t阶阶子式全为子式全为0 则则R(A)t (2)若若A为为m n矩阵矩阵 则则0 R(A
3、)minm n (3)R(AT)R(A)v几个简单结论几个简单结论 下页下页第3页，共17页，编辑于2022年，星期一v矩阵的秩矩阵的秩 设设在在矩矩阵阵A中中有有一一个个不不等等于于0的的r阶阶子子式式D 且且所所有有r 1阶阶子子式式(如如果果存存在在的的话话)全全等等于于0 那那么么D称称为为矩矩阵阵A的的最最高高阶阶非非零零子子式式 数数r称称为为矩阵矩阵A的秩的秩 记作记作R(A)并规定零矩阵的秩等于并规定零矩阵的秩等于0 (1)若若矩矩阵阵A中中有有某某个个s阶阶子子式式不不为为0 则则R(A)s 若若A中中所所有有t阶阶子子式全为式全为0 则则R(A)t (2)若若A为为m n矩
4、阵矩阵 则则0 R(A)minm n (3)R(AT)R(A)v几个简单结论几个简单结论 (4)对于对于n阶矩阵阶矩阵A 当当|A|0时时 R(A)n 当当|A|0时时 R(A)n 可逆矩阵又称为可逆矩阵又称为满秩矩阵满秩矩阵 不可逆矩阵不可逆矩阵(奇异矩阵奇异矩阵)又称为又称为降秩矩降秩矩阵阵 下页下页第4页，共17页，编辑于2022年，星期一提示提示 例例1 求矩阵求矩阵A和和B的秩的秩 其中其中 在在A中中 容易看出一个容易看出一个2阶子式阶子式 A的的3阶阶子子式式只只有有一一个个|A|经经计计算算可知可知|A|0 因此因此R(A)2 解解 以以三三个个非非零零行行的的首首非非零元为对
5、角元的零元为对角元的3阶子式阶子式是一个上三角行列式是一个上三角行列式 它显然不它显然不等于等于0 因此因此R(B)3 B是是一一个个有有3个个非非零零行行的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵 其其所所有有4阶阶子子式式全全为为零零 对于行阶梯形矩阵对于行阶梯形矩阵 它的秩就它的秩就等于非零行的行数等于非零行的行数 下页下页第5页，共17页，编辑于2022年，星期一v定理定理1 若若AB 则则R(A)R(B)根根据据这这一一定定理理 为为求求矩矩阵阵的的秩秩 只只要要把把矩矩阵阵用用初初等等行行变变换换变变成成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数
6、即是该矩阵的秩 下页下页第6页，共17页，编辑于2022年，星期一因为因为 解解 例例2 求矩阵求矩阵A的秩的秩 并求并求A的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式 其中其中 所以所以R(A)3 为求为求A的最高阶非零子式的最高阶非零子式 考虑由考虑由A的的 1、2、4 列构成的列构成的矩阵矩阵 因为因为A0的子式的子式所以这个子式是所以这个子式是A的最高阶非零子的最高阶非零子式式 下页下页第7页，共17页，编辑于2022年，星期一注注 以以B为为增增广广矩矩阵阵的的线线性性方方程程组组Ax b是是无无解解的的 这这是是因因为为行行阶阶梯梯形矩阵的第形矩阵的第3行表示矛盾方程行表示矛盾方程0
7、1 例例3 求矩阵求矩阵A及及B(A b)的秩的秩 其中其中 对对B作初等行变换变为行作初等行变换变为行阶梯形矩阵阶梯形矩阵 设设B的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵为为B0(A0 b0)则则A0就是就是A的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵 故从故从B0(A0 b0)中可同时看出中可同时看出R(A)及及R(B)解解 因为因为所以所以R(A)2 R(B)3 下页下页第8页，共17页，编辑于2022年，星期一 例例4 设设 已知已知R(A)2 求求 与与 的值的值 解解 因因R(A)2 故故 下页下页第9页，共17页，编辑于2022年，星期一 (6)R(A B)R(A)R(B)(5)maxR(A)R(B)R(
8、A B)R(A)R(B)特别地特别地 当当B b为列向量时为列向量时 有有R(A)R(A b)R(A)1 (4)若若P、Q可逆可逆 则则R(PAQ)R(A)这是因为这是因为(A B B)(A B)于是于是下页下页R(A B B)R(A B)R(A B)R(A)R(B)v矩阵秩的性质矩阵秩的性质 (1)0 R(Am n)minm n (2)R(AT)R(A)(3)若若AB 则则R(A)R(B)第10页，共17页，编辑于2022年，星期一 因因为为A的的最最高高阶阶非非零零子子式式总总是是(A B)的的非非零零子子式式 所所以以R(A)R(A B)同理有同理有R(B)R(A B)两式合起来两式合起
9、来 即为即为maxR(A)R(B)R(A B)设设R(A)r R(B)s 把把A和和B分分别别作作列列变变换换化化为为列列阶阶梯梯形形 则则A0和和B0中分别含有中分别含有r个和个和s个非零列个非零列 因为因为AA0 BB0 所以所以(A B)(A0 B0)由由于于(A0 B0)中中只只含含有有r s个个非非零零列列 所所以以R(A0 B0)r s 而而R(A B)R(A0 B0)故故R(A B)r s 即即R(A B)R(A)R(B)证明性质证明性质maxR(A)R(B)R(A B)R(A)R(B)返回返回第11页，共17页，编辑于2022年，星期一v矩阵秩的性质矩阵秩的性质 (8)若若Am
10、 n Bn l O 则则R(A)R(B)n (7)R(AB)minR(A)R(B)(6)R(A B)R(A)R(B)(5)maxR(A)R(B)R(A B)R(A)R(B)特别地特别地 当当B b为列向量时为列向量时 有有R(A)R(A b)R(A)1 (4)若若P、Q可逆可逆 则则R(PAQ)R(A)下页下页 (1)0 R(Am n)minm n (2)R(AT)R(A)(3)若若AB 则则R(A)R(B)第12页，共17页，编辑于2022年，星期一返回返回性质性质R(AB)minR(A)R(B)的证明的证明 设设R(A)r R(B)s 又又设设A的的行行阶阶梯梯形形为为A0 B的的列列阶阶
11、梯梯形形为为B0 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P和和Q使使A PA0 B B0Q 因为因为AB PA0B0Q 所以所以R(AB)R(A0B0)因因为为A0有有r个个非非零零行行 B0有有s个个非非零零列列 所所以以A0B0至至多多有有r个个非非零零行和行和s个非零列个非零列 因此因此R(A0B0)minr s minR(A)R(B)即即 R(AB)minR(A)R(B)第13页，共17页，编辑于2022年，星期一提示提示 而而R(E A)R(A E)所以所以R(A E)R(A E)n 例例5 设设A为为n阶矩阵阶矩阵 证明证明R(A E)R(A E)n 证明证明 因为因为(A E)(E A)2
12、E 由性质由性质(6)有有R(A E)R(E A)R(2E)n R(A B)R(A)R(B)结束结束第14页，共17页，编辑于2022年，星期一例例 设设A A为为n n阶矩阵阶矩阵(n(n 2)2)A*A*为为A A的伴随阵的伴随阵 证明证明 证明证明当当R(A)n 2时时 A中每个元素的代数余子式都为中每个元素的代数余子式都为0 故故A*O 从而从而R(A*)0 当当R(A)n时时|A|0 故有故有|AA*|A|E|A|0|A*|0 所以所以R(A*)n 当当R(A)n 1时时|A|0 故有故有AA*|A|E 0 由性质由性质(8)，R(A)+R(A*)n,即即R(A*)1。又又A是非零矩阵，是非零矩阵，故故R(A*)1。第15页，共17页，编辑于2022年，星期一三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);第16页，共17页，编辑于2022年，星期一思考题答答答答相等相等.即即由此可知由此可知第17页，共17页，编辑于2022年，星期一