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1、线性代数二次型与对称矩阵第1页，共18页，编辑于2022年，星期一定义定义4.1 4.1 只含有只含有二次二次项的项的n n元元多项式多项式称为称为 的一个的一个n n 元二次型元二次型,令令a aijij=a=aji ji,则二次型可写为：则二次型可写为：(一一)二次型及其矩阵二次型及其矩阵简称为简称为二次型二次型.第2页，共18页，编辑于2022年，星期一令令其中其中A A为对称矩阵为对称矩阵.对称矩阵对称矩阵A A称为称为二次型二次型的矩阵的矩阵.例如二次型例如二次型它的矩阵为它的矩阵为矩阵矩阵A A的秩称为的秩称为二次型二次型的秩的秩.第3页，共18页，编辑于2022年，星期一例如二次
2、型例如二次型此二次型的矩阵为此二次型的矩阵为是对称矩阵是对称矩阵.又如二次型又如二次型此二次型的矩阵为此二次型的矩阵为是对称矩阵是对称矩阵.第4页，共18页，编辑于2022年，星期一的矩阵为的矩阵为此二次型的矩阵为此二次型的矩阵为二次型二次型对称矩阵对称矩阵的矩阵为的矩阵为第5页，共18页，编辑于2022年，星期一反之，反之，设设A A是任一对称矩阵是任一对称矩阵第6页，共18页，编辑于2022年，星期一故二次型可以用矩阵的形式表示：故二次型可以用矩阵的形式表示：对称矩阵对称矩阵A A为为 =二次型二次型对称矩阵对称矩阵A A二次型二次型 二次型二次型 的矩阵的矩阵为矩阵为矩阵A A对应的二次
3、型对应的二次型 第7页，共18页，编辑于2022年，星期一例如对称矩阵例如对称矩阵=第8页，共18页，编辑于2022年，星期一又如又如又如又如:A A为对称矩阵为对称矩阵,A A对应的二次型为对应的二次型为:第9页，共18页，编辑于2022年，星期一A A对应的二次型为对应的二次型为:第10页，共18页，编辑于2022年，星期一给定一个给定一个n n 元二次型元二次型 反之反之,给定一个给定一个n n 阶阶对称对称矩阵矩阵A,A,二次型和二次型和对称对称矩阵一一对应矩阵一一对应.就可得到唯一的就可得到唯一的n n 阶阶对称对称矩阵矩阵A,A,A A为该二次型的矩阵为该二次型的矩阵,二次型可写为
4、二次型可写为就可得到唯一的就可得到唯一的 A A就是此二次型的矩阵。就是此二次型的矩阵。A A的秩称为该二次型的秩。的秩称为该二次型的秩。n n元二次型元二次型 第11页，共18页，编辑于2022年，星期一 在平面解析几何中在平面解析几何中,所表示的曲线的性态，所表示的曲线的性态，使曲线方程化为标准形使曲线方程化为标准形作转轴变换作转轴变换方程化为：方程化为：整理得整理得此方程只含此方程只含x,y x,y 的平方项的平方项,从从x,x,y y到到x x,y,y的线性替换的线性替换（二）线性替换（二）线性替换是双曲线是双曲线.为了了解二次方程为了了解二次方程通常利用转轴变换通常利用转轴变换标准形
5、标准形第12页，共18页，编辑于2022年，星期一定义定义4.2 4.2 设两组变量设两组变量称为由变量称为由变量线性替换线性替换(4.3)(4.3)可以用矩阵形式表示可以用矩阵形式表示C C称为称为线性替换线性替换(4.3)(4.3)的矩阵的矩阵(4.3)(4.3)和和 具有如下关系具有如下关系的的线性替换线性替换.到到第13页，共18页，编辑于2022年，星期一(4.3)(4.3)称为称为非退化的线性替换非退化的线性替换.此时此时C C-1-1存在存在当当C C是正交矩阵时是正交矩阵时,称为线性替换称为线性替换 x=Cy x=Cy 的的逆替换逆替换.称线性变换称线性变换 x=Cy x=Cy
6、 为为正交替换正交替换.第14页，共18页，编辑于2022年，星期一例如转轴变换例如转轴变换为由变量为由变量x,yx,y 到到 x x,y,y 的线性替换的线性替换.此线性替换是正交替换此线性替换是正交替换.其逆变换也是正交替换其逆变换也是正交替换.是正交矩阵是正交矩阵,此线性替换也是非退化线性替换此线性替换也是非退化线性替换,Q Q可逆可逆,其逆变换为其逆变换为第15页，共18页，编辑于2022年，星期一给定二次型给定二次型设该二次型经过非退化线性替换设该二次型经过非退化线性替换化为化为:证证:在上式中，矩阵在上式中，矩阵B B仍为对称矩阵，仍为对称矩阵，Y Y是以是以B B为矩阵的二次型，
7、两个二为矩阵的二次型，两个二次型的秩相等。次型的秩相等。A A和和B B之间的关系是什么呢？之间的关系是什么呢？第16页，共18页，编辑于2022年，星期一 定义定义4.3 4.3 设设A,BA,B是两个是两个n n 阶矩阵阶矩阵,定理定理 经过非退化线性替换经过非退化线性替换,如果存在如果存在n n 阶阶 使得使得 C CT TAC=B AC=B 成立成立,则称矩阵则称矩阵A A与与B B合同合同,原二次型的矩阵与新二次型原二次型的矩阵与新二次型的的矩阵合同。矩阵合同。A A与与B B合同合同,记为记为A A与与B B相似记为相似记为存在存在可逆可逆矩阵矩阵C,C,使得使得 存在存在可逆可逆
8、矩阵矩阵P,P,使得使得 如果如果C C是正交矩阵是正交矩阵,则则此时若此时若 B=B=C CT TACAC则则B B与与A A既相似又合同既相似又合同.可逆可逆矩阵矩阵C,C,记为记为第17页，共18页，编辑于2022年，星期一它具有如下性质：它具有如下性质：证证(1)(1)C C1 1和和C C2 2都可逆都可逆（1 1）反身性：对任意方阵）反身性：对任意方阵A A，有，有（2 2）对称性：若）对称性：若（3 3）传递性：若）传递性：若(2)(2)由由 (3)(3)由由 由由 “合同合同”是矩阵之间的一种关系是矩阵之间的一种关系,则则则则存在可逆矩阵存在可逆矩阵C C，使得，使得C C1 1C C2 2也可逆也可逆 A C 第18页，共18页，编辑于2022年，星期一