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1、线性代数课件相似矩阵和矩阵对角化第1页，共20页，编辑于2022年，星期一相似矩阵的定义n n定义定义3 已知矩阵已知矩阵 ，是两个是两个 阶方阵如果存在一个阶方阵如果存在一个满秩矩阵满秩矩阵 使得 n n则称 ，相似，记作n n相似关系满足以下性质：n n（1）自反性：；n n（2 2）对称性：）对称性：；n n（3 3）传递性：第2页，共20页，编辑于2022年，星期一一些有用的定理n n 定理3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。特征值。n n证明：因为 相似，所以存在可逆阵 使得n n n n 第3页，共20页，编辑于2022年，星
2、期一推论 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似，则 ；也是的特征值。n n若方阵若方阵 能与一个对角阵相似，则称能与一个对角阵相似，则称 可对角化可对角化n n方阵方阵 可对角化的判定条件可对角化的判定条件n n定理4 阶方阵 可以与一个对角型矩阵 相似的充分必要条件是，有 个线性无关的特征向量。第4页，共20页，编辑于2022年，星期一n n证明 假设存在可逆矩阵 ，使得 n n为对角阵 ，n n设设 ，则由，则由n n即第5页，共20页，编辑于2022年，星期一n n于是n n可见可见 ，是，是 的特征值，的特征值，向量 就是矩阵 关于特征值 的特征向量 n n反之，设反之，设 恰有恰有 个特征
3、值，并可对应个特征值，并可对应 个特征向个特征向量量 ，并且它们线性无关。，并且它们线性无关。n n令令 即是要找的相似变换。即是要找的相似变换。n n定理定理4 4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条件，而不仅给出了一个方阵可对角化的充要条件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。且也给出了求解相似变换阵的方法。第6页，共20页，编辑于2022年，星期一n n定理5 5 如果矩阵 的特征值 ，则与它们对应的特征向量 和 线性无关。n n推论推论 若若 阶方阵阶方阵 有有 个互异的特征值个互异的特征值 n n则则 可对角化，且可对角化，且 n n注意上述命题的逆命题不成立，例如单位阵第7页，共20页
4、，编辑于2022年，星期一n n定理6 6 设设 是是 的的 个互异的特征值，个互异的特征值，是是 的属于的属于 的的 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，则，则n n也线性无关。n n定理定理6是说当是说当 有多重特征值时，若每个特征值有足有多重特征值时，若每个特征值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其也可以对角化。够多的线性无关的特征向量的话，则其也可以对角化。第8页，共20页，编辑于2022年，星期一n n定理定理7 设设 是是 的一个的一个 重特征值，对应的特征向重特征值，对应的特征向量线性无关的最大个数为量线性无关的最大个数为 ，则，则n n也就是说线性无关的特征向量的个数
5、不超过其对应的特征值的重数。n n定理定理8 8 阶矩阵阶矩阵 可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 的每个的每个 重特征值重特征值 对应有对应有 个相形无关的特征向量。即个相形无关的特征向量。即第9页，共20页，编辑于2022年，星期一例题n n例1 设 试问 可否对角n n化？若能，求出相应的矩阵 。n n解：由 可得 的特征值为n n （二重）n n求解特征向量，分别求解第10页，共20页，编辑于2022年，星期一n n可得 对应的特征向量分别为n n即 由三个线性无关的特征向量，从而由定理4，可以对角化。n n令第11页，共20页，编辑于2022年，星期一n n则有n n若令n n
6、则也有第12页，共20页，编辑于2022年，星期一n n但是若令n n则应有第13页，共20页，编辑于2022年，星期一例2 设 ，而 问 可否对角化？解 因为即 是 的 重特征值。而由知 ，即 的线性无关的特征向量的个数不超过 个，因此，由定理8知，不可以对角化。第14页，共20页，编辑于2022年，星期一例3 设 （1）问 可否对角化？若能，求出相应的 ，使得 为对角阵。（2）求 。解 由第15页，共20页，编辑于2022年，星期一 显然 由两个不同的特征值1，2，所以可以对角化。当 时，解方程组解得其基础解系为当 时，解方程组第16页，共20页，编辑于2022年，星期一n n解得其基础解系为n n令n n则有 第17页，共20页，编辑于2022年，星期一n n（2）当 较大时，直接计算 时不容易的，如果记n n则由 ，可得n n于是第18页，共20页，编辑于2022年，星期一n n而因为n n所以第19页，共20页，编辑于2022年，星期一n n当 可对角化时，总是可以利用此方法来求 得高阶次幂。第20页，共20页，编辑于2022年，星期一