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1、工程数学复变函数积分工程数学复变函数积分第1页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1.积分的定义积分的定义定义定义定义定义和在局部弧段上任意取点,极限为A终点为B的一条光滑的有向曲线.设函数w=f(z)定义在区域D内,都存在且唯一，则称此极限为函数记作沿曲线弧C的积分.若对C 的任意分割C为在区域D内起点第2页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数关于定义的说明关于定义的说明:(4)一般不能把写成的形式.(1)用表示沿着曲线C的负向的积分.(2)沿着闭曲线C的积分记作(3)如果C是x轴上的区间而则第3页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复
2、变函数2.积分的性质积分的性质第4页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例1.证明证明:证明其中 C 为正向圆周：利用积分估值性质，有第5页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数2.2.积分存在的条件及计算法积分存在的条件及计算法积分存在的条件及计算法积分存在的条件及计算法定理定理:C 的参数方程为则曲线积分存在,且有连续,在有向光滑弧 C 上有定义且设函数第6页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例2.解解:计算的正向圆周，为整数.其中 C 为以 中心，为半径第7页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例3.解解:(1)积分路径的参数方程为计算其中C为:(1
3、)从原点到点1+i的直线段;(2)从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;y=x第8页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数y=x(2)积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为第9页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例4.解解:(1)积分路径的参数方程为计算其中C为:(1)从原点到点1+i的直线段;(2)从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;y=x第10页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数y=x(2)积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为第11页，此课件共65页哦工程数学工程
4、数学-复变函数2 柯西定理柯西定理B 内内处处解析处处解析处处解析处处解析,定理定理定理定理1 1任何一条封闭曲线任何一条封闭曲线 C 的积分的积分则则 f(z)在在B内内(黎曼证明，把条件加强：假设黎曼证明，把条件加强：假设 连续连续.)证明：证明：证明：证明：假设在单连通域 B 内,解析,连续.1.柯西定理柯西定理如果函数如果函数 f(z)在在单连通域单连通域为零为零:第12页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数因为所以在B 内连续，且满足C-R条件.任取B内闭曲线C,则积分由格林公式得所以第13页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数函数函数 f(z)处处解析处处解析处处解
5、析处处解析定理定理定理定理2 2在在单连通域单连通域 B 内，内，与路径无关.函数函数 f(z)定理定理3 B为为C的内部，的内部，C 为一条封闭曲线为一条封闭曲线,在在B内内解析解析解析解析，在在 上连续上连续，则则第14页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数解：解：由柯西定理由柯西定理,有有计算积分计算积分例例例例1.1.因为函数因为函数在在内解析，内解析，第15页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数解：解：由柯西定理由柯西定理,有有计算积分计算积分因为函数因为函数都在都在上解析，上解析，例例例例2.2.和和第16页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数第17页，此课
6、件共65页哦工程数学工程数学-复变函数2.原函数与不定积分原函数与不定积分如果函数 f(z)在单连通域定理定理定理定理4 4与路径无关与路径无关.B 内处处解析,则积分定理定理5处处解析,如果 f(z)在单连通域B内则函数F(z)=f(z)必为B内的一个解析函数,并且第18页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数利用导数的定义来证.证：证：由于积分与路线无关,第19页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数第20页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数由积分的估值性质,第21页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数 证毕证毕 第22页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复
7、变函数定义定义定义定义1 1如果在区域 B 内在区域 B 内的原函数原函数.F(z)=f(z),则称 F(z)为 f(z)在区域 B上的原函数全体不定积分,记作定义定义定义定义2 2在 B上的称为定理定理6如果 f(z)在单连通域 B 内处处解析,的一个原函数,则这里z0,z1为域 B 内的两点.G(z)为 f(z)第23页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例例例3.3.解解:计算积分第24页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数3.复合闭路定理复合闭路定理定理定理7是在 C 内部的简单闭曲线,且 设C为多连通域 D 内的互不包含也互不相交,另外以C,C1,C2,.,Cn 为
8、边界的区域如果 f(z)在D内解析,则一条简单闭曲线,C1,C2,.,Cn全含于D.第25页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数证明：证明：证明：证明：这样区域D就被分为D1和D2两考虑只有两条围线C0,C1 的情况.区域，作辅助线段L1和L2连接 C0,和C1，域,而且 f(z)在 内解析,由柯西积分定理，有,所以显然D1和D2都是单连通第26页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数所以即或第27页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例例例4.4.解解:计算的正向简单闭曲线.包含圆周为奇点.在C内作互不相交，互不包含的只包含只包含其中 C 为圆周由复合闭路定理，得第2
9、8页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数第29页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例例例5.5.解解:计算其中 C 为正向圆周：第30页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数解解:圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例例例例6.6.计算积分计算积分其中 为正向圆周和负向圆周 组成.第31页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数3 柯西公式柯西公式温故而知新温故而知新B 内内处处解析处处解析处处解析处处解析,任何一条封闭曲线任何一条封闭曲线 C 的积分的积分则则 f(z)在在B内内如果函数如果函数 f(z)在在单连通域单连通域为零为零:柯西定理柯西定理
10、第32页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数思考思考？3 柯西公式柯西公式第33页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数3 柯西公式柯西公式定理定理1如果 f(z)在区域 D 内处处解析,C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 D,z0为 C 内的任一点,则1.柯西公式柯西公式第34页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数证明：证明：证明：证明：当当时，由于f(z)在 连续，所以 在C内部作圆周 那么第35页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数而即所以第36页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数注：注：1）柯西公式常写作2）若则平均值公式第
11、37页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例例例1.1.解解:计算其中 C 为(1)正向圆周：(3)正向圆周：(2)正向圆周：(1)(2)(3)第38页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数求下列积分的值求下列积分的值.解：解：例例例例2.2.第39页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数(2)注意到函数注意到函数在在内解析，而内解析，而在在内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得第40页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数故得到故得到 设设 例例例例3.3.根据柯西积分公式，得到解：解：求第41页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数2.解析函数的高阶导数
12、解析函数的高阶导数解析函数 f(z)的导数仍为解析函数,其中 C 为在 f(z)的解析区域D内围绕 z0 的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.定理定理定理定理2 2它的n阶导数为:注：注：注：注：高阶导数公式常写成如下形式高阶导数公式常写成如下形式第42页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例例例4.4.解解:计算的正向闭曲线.其中 C 为绕第43页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例例例5.5.解解:计算在 内有奇点：作圆周于是第44页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数所以第45页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数4 解析函数与调和函数的关
13、系解析函数与调和函数的关系定义定义定义定义1 1在区域D内具有二阶连续偏若二元函数导数，且满足拉普拉斯（Laplace）方程则称为区域 D内的调和函数.若 为解析函数，定理定理定理定理1 1则其实部 u和虚部 v 都是调和函数.设设 f(z)=u+iv 在区域在区域D内解析内解析,则由则由C.-R.条件条件证：证：第46页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数得同理,即u及v都是D内的调和函数.因 与 D内连续，它们 必定相等，故在D内有第47页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数定义定义定义定义2 2定理定理定理定理2 2设则 v(x,y)必为 u(x,y)的共轭调和函数共轭调
14、和函数.u(x,y),v(x,y)是是D内的内的调和函数调和函数，且满足，且满足C.-R.条件：条件：则称 v(x,y)为 u(x,y)的共轭调和函数共轭调和函数.是区域 D 的解析函数，第48页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例例例1.1.解解:已知是右半复平面的调和函数，求调和函数 u，使 u 的共轭调和函数是 v.由C-R方程，得第49页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数例例例例2.2.解解:已知验证u是调和函数，并求以 u为实部实部的解析函数 f(z),使 f(0)=i.因为所以u是调和函数.又 f(0)=i ，所以第50页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复
15、变函数 ch3 复变函数积分复变函数积分一、知识要点一、知识要点1.1.复积分基本计算法复积分基本计算法复积分基本计算法复积分基本计算法曲线C:第51页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数2.2.柯西柯西柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理古萨基本定理古萨基本定理函数函数 f(z)处处解析处处解析处处解析处处解析.在在单连通域单连通域 B 内，内，与路径无关.1)其中其中C是是 B 任意一条简单封闭曲线任意一条简单封闭曲线.2)解析,并且3)4)第52页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数3.3.复合闭路定理复合闭路定理复合闭路定理复合闭路定理第53页，此课件共65页哦工程数学工
16、程数学-复变函数4.4.柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式第54页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数5.5.调和函数调和函数调和函数调和函数1).1).调和函数调和函数调和函数调和函数2).2).共轭调和函数共轭调和函数共轭调和函数共轭调和函数若 为解析函数，3).3).则其虚部 v是实部 u 的共轭调和函数.第55页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数 二、典型例题二、典型例题二、典型例题二、典型例题解解:分以下四种情况讨论：例例1.第56页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数第57页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数第58页，此课件共65页
17、哦工程数学工程数学-复变函数第59页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数解法一 不定积分法 利用柯西黎曼方程,例例2.第60页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数因而得到解析函数（C是任意实数）第61页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数 解法二解法二解法二解法二 线积分法线积分法线积分法线积分法因而得到解析函数（C是任意实数）第62页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数解法三解法三解法三解法三 全微分法全微分法全微分法全微分法（C是任意实数）第63页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数解法四解法四解法四解法四所以有那么第64页，此课件共65页哦工程数学工程数学-复变函数又因为的实部所以也就是（C2是任意实数）第65页，此课件共65页哦