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1、复变函数积分的概念复变函数积分的概念第1页，讲稿共29张，创作于星期日1一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲曲线线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作为正的两个可能方向中的一个作为正方向方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带有方向理解为带有方向的曲线的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,第2页，讲稿共29张，创作于星期日2简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C
2、的正向是的正向是指当曲线上的点指当曲线上的点P顺此方向顺此方向前进时前进时,邻近邻近P点的曲线的点的曲线的内部始终位于内部始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.第3页，讲稿共29张，创作于星期日32.积分的定义积分的定义:第4页，讲稿共29张，创作于星期日4(第5页，讲稿共29张，创作于星期日5关于定义
3、的说明关于定义的说明:第6页，讲稿共29张，创作于星期日6二、积分的性质二、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式第7页，讲稿共29张，创作于星期日7性质性质(4)的证明的证明两端取极限得两端取极限得证毕证毕第8页，讲稿共29张，创作于星期日8三、积分存在的条件及其计算法三、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件存在的条件证证正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向,第9页，讲稿共29张，创作于星期日9第10页，讲稿共29张，创作于星期日10根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,第11页，讲稿共29张，创作于星期日11当
4、当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,第12页，讲稿共29张，创作于星期日12在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式第13页，讲稿共29张，创作于星期日132.积分的计算法积分的计算法第14页，讲稿共29张，创作于星期日14在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.第15页，讲稿共29张，创作于星期日15例例1 解解直线方程为直线方程为第16页，讲稿共29张，创作于星期日16这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关第17页，讲稿共29张，创作于星期日17例例2
5、 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x第18页，讲稿共29张，创作于星期日18(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x第19页，讲稿共29张，创作于星期日19y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为第20页，讲稿共29张，创作于星期日20例例3 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为第21页，讲稿共29张，创作于星期日21例例4 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为第22页，讲稿共29张，创作于星期日22重要结论重要结论：积分值与路径圆
6、周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.第23页，讲稿共29张，创作于星期日23例例5解解根据估值不等式知根据估值不等式知第24页，讲稿共29张，创作于星期日24第25页，讲稿共29张，创作于星期日25四、小结与思考四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以及本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积本课中重点掌握复积分的一般方法分的一般方法.第26页，讲稿共29张，创作于星期日26思考题思考题第27页，讲稿共29张，创作于星期日27思考题答案思考题答案即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.第28页，讲稿共29张，创作于星期日28感谢大家观看02.04.2023第29页，讲稿共29张，创作于星期日