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1、复变函数积分第1页，讲稿共29张，创作于星期日 Department of Mathematics第一节第一节 复积分的概念及其简单性质复积分的概念及其简单性质 1 1、复变函数积分的的定义、复变函数积分的的定义 2 2、积分的计算问题、积分的计算问题3 3、基本性质、基本性质第2页，讲稿共29张，创作于星期日一、复变函数积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向的两个可能方向中的一个作为正方向(或或正向正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带有方向的曲线理解为带有
2、方向的曲线,称称为为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,第3页，讲稿共29张，创作于星期日简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C(周线周线)的正向是的正向是指当曲线上的点指当曲线上的点P顺此方向前顺此方向前进时进时,邻近邻近P点的曲线的内部点的曲线的内部始终位于始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点另一
3、个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方向总是指从起点正方向总是指从起点到终点的方向到终点的方向.第4页，讲稿共29张，创作于星期日2.定义定义3.1设有向曲线C把曲线C分成若干弧段,作和式第5页，讲稿共29张，创作于星期日第6页，讲稿共29张，创作于星期日关于定义的说明关于定义的说明:第7页，讲稿共29张，创作于星期日3.定理定理3.1证明证明正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向,第8页，讲稿共29张，创作于星期日第9页，讲稿共29张，创作于星期日根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,所以第10页，讲稿共29张，创作于星期日当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而
4、弧段长度的最大值趋于零时,第11页，讲稿共29张，创作于星期日在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式即复函数积分可表为两个实积分即复函数积分可表为两个实积分.第12页，讲稿共29张，创作于星期日二二.复变函数积分的计算问题复变函数积分的计算问题设有向曲线C或第13页，讲稿共29张，创作于星期日证明证明注注用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.第14页，讲稿共29张，创作于星期日例例1 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为第15页，讲稿共29张，创作于星期日重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中
5、心和半径无关.第16页，讲稿共29张，创作于星期日三、复变函数积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.第17页，讲稿共29张，创作于星期日估估值值不不等等式式(6)积分估值积分估值定理定理3.2第18页，讲稿共29张，创作于星期日证明证明两端取极限得两端取极限得证毕证毕第19页，讲稿共29张，创作于星期日证明证明而而C之长为之长为2,根据估值不等式知根据估值不等式知例例2第20页，讲稿共29张，创作于星期日例例3证明证明xy.第21页，讲稿共29张，创作于星期日例例4 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x第22页，讲稿共29张，创
6、作于星期日(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x第23页，讲稿共29张，创作于星期日y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为积分路径不同积分路径不同,积分结果也可能不同积分结果也可能不同.第24页，讲稿共29张，创作于星期日例例5 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为第25页，讲稿共29张，创作于星期日第26页，讲稿共29张，创作于星期日四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以及本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积本课中重点掌握复积分的一般方法分的一般方法.第27页，讲稿共29张，创作于星期日作业wP141 习题(一)wP142 1,2,3(1),第28页，讲稿共29张，创作于星期日感谢大家观看02.04.2023第29页，讲稿共29张，创作于星期日