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1、第9章扭转强度与刚度第1页，共56页，编辑于2022年，星期二1 1、实验：、实验：一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒轴的扭转薄壁圆筒轴的扭转,r0为平均半径）(壁厚壁厚实验实验变形规律变形规律应力的分布规律应力的分布规律应力的计算公式。应力的计算公式。第2页，共56页，编辑于2022年，星期二2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3 3、切应
2、变（角应变）：直角角度的改变量、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。第3页，共56页，编辑于2022年，星期二认为切应力沿壁厚均匀分认为切应力沿壁厚均匀分布（方向垂直于其半径方向）。布（方向垂直于其半径方向）。3 3、切应变（角应变）：直角角度的改变量、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力（1 1）（2 2）因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布。（3 3）第4页，共56页，编辑于2022年，星期二5 5、切应力的计算公式：、切应力的计算公式：dA 对圆心的矩对圆心的
3、矩 d dAr0 0d 薄壁圆筒扭转时薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力计算式横截面上的切应力计算式第5页，共56页，编辑于2022年，星期二二、关于切应力的若干重要性质二、关于切应力的若干重要性质1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律做薄壁圆筒的扭转试验可得做薄壁圆筒的扭转试验可得T 纵轴纵轴 Tpsb横轴横轴第6页，共56页，编辑于2022年，星期二剪切虎克定律剪切虎克定律在弹性范围内切应力在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。与切应变成正比关系。psb第7页，共56页，编辑于2022年，星期二从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体xyza
4、bOcddxdydz 自动满足自动满足存在存在得得2 2、切应力互等定理切应力互等定理Me Me 第8页，共56页，编辑于2022年，星期二切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相垂单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为正应力的状态称为纯剪切应纯剪切应力状态力状态。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的两个面上，切应力在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。同时指向或同时背离两个面的交线。第9页，共56页，编辑于2022年，星期二一、圆轴扭转时横
5、截面上的应力（超静定问题）一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）几何关系：几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律应变的变化规律物理关系：物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律静力关系静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。应力的计算公式。一）、几何关系一）、几何关系：1 1、实验：、实验：圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。轴线转动了一个不同的角
6、度。第10页，共56页，编辑于2022年，星期二2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3 3、平面假设：、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。小、间距不变，半径仍为直线。4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力因为
7、同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。大小相等，并且方向垂直于其半径方向。第11页，共56页，编辑于2022年，星期二5 5、切应变的变化规律：、切应变的变化规律：取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为研究对象为研究对象DD DA A第12页，共56页，编辑于2022年，星期二5 5、切应变的变化规律：、切应变的变化规律：取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为研究对象为研究对象微段扭转微段扭转变形变形 dj jDD DA ADA点处的切应变点处的切应变a点处的切应变点处的切应变第13页，共56页，编辑于2022年，星期二二）物理关系：二）物理关系：弹性范围内
8、弹性范围内 方向垂直于半径。方向垂直于半径。dj j/dx扭转角变化率扭转角变化率第14页，共56页，编辑于2022年，星期二 扭转切应力分布扭转切应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）第15页，共56页，编辑于2022年，星期二三）静力关系：三）静力关系：dA令代入物理关系式代入物理关系式 得：得：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。O扭转变形计算式扭转变形计算式第16页，共56页，编辑于2022年，星期二横截面上横截面上 抗扭截面模量抗扭截面模量，整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：三、公式的使用条件：三、公式的使用条件：1 1
9、、等直的圆轴，、等直的圆轴，2 2、弹性范围内工作。、弹性范围内工作。I Ip p截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定单位单位：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式:第17页，共56页，编辑于2022年，星期二四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wp实心圆截面：实心圆截面：Odd第18页，共56页，编辑于2022年，星期二空心圆截面：空心圆截面：DdOd四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wp第19页，共56页，编辑于2022年，
10、星期二注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面DdOd第20页，共56页，编辑于2022年，星期二解：（解：（1 1）计算外力偶矩、扭矩）计算外力偶矩、扭矩由截面法（2）计算极惯性矩）计算极惯性矩,AC段和段和CB段横截面段横截面的极惯性矩分别为的极惯性矩分别为 （3 3）计算应力）计算应力 ，例例 AB轴传递轴传递的功率的功率为为，转转速速 。如如图图所示，所示，轴轴AC段段为实为实心心圆圆截面，截面，CB段段为为空心空心圆圆截面。截面。已知已知。试计试计算算AC以及以及CB段的最大切段的最大切应应力。力。第21页，共56页，编辑于2022年，星期二1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条
11、件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度:扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸:3 3）确定外载荷）确定外载荷:一、一、扭转强度计算扭转强度计算等截面圆轴等截面圆轴:变截面圆轴变截面圆轴:第22页，共56页，编辑于2022年，星期二例例 已已知知 T=1.5 kN.m，=50 MPa，试试根根据据强强度度条条件件设设计计实实心圆轴与心圆轴与 =0.9 的空心圆轴。的空心圆轴。解：解：1.1.确定实心圆轴直径确定实心圆轴直径2.2.确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径3.3.重量比较重量比较空心轴远比空心轴远比实心轴轻实心轴轻第23
12、页，共56页，编辑于2022年，星期二解：1.计算扭矩作扭矩图计算扭矩作扭矩图例 R050 mm的的薄薄壁壁圆圆管管，左左、右右段段的的壁壁厚厚分分别别为为 d d1 1=5 5 mm，d d2 2=4 4 mm，m=3500 N.m/m，l =1 m，=50 MPa，试试校核圆管强度。校核圆管强度。第24页，共56页，编辑于2022年，星期二2.2.强度校核强度校核危险截面：危险截面：截面截面 A 与与 B圆管强度足够圆管强度足够例 R050 mm的的薄薄壁壁圆圆管管，左左、右右段段的的壁壁厚厚分分别别为为 d d1 1=5 5 mm，d d2 2=4 4 mm，m=3500 N.m/m，l
13、 =1 m，=50 MPa，试校核圆管强度。试校核圆管强度。解：解：1.1.计算扭矩作扭矩图计算扭矩作扭矩图第25页，共56页，编辑于2022年，星期二BC段段AB段段2 2、计算轴横截面上的最大切应、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度力并校核强度该轴满足强度条件。该轴满足强度条件。2214T图（kNm）MA MBMC ACB例例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm。扭转力偶矩 MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm。材料的许用切应力 =80MPa，试校核该轴的强度。解解：1 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图第26
14、页，共56页，编辑于2022年，星期二 例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径分别为d140，d270，。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T10.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm。材料的许用切应力=60MPa，G8104MPa，试校核该轴的强度。阶梯形圆轴阶梯形圆轴 解解（1）作出扭矩图（见图）作出扭矩图（见图b）（2）强度校核）强度校核 由于由于AC 段和段和BD 段的直径不相段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于此，对于AC 段轴和段轴和BD 段轴的强度段轴的强度都要进行校核。都要进行校核。0.62kNm1.43
15、kNm第27页，共56页，编辑于2022年，星期二AC 段段 BD 段段 计算结果表明，轴的强度足够计算结果表明，轴的强度足够阶梯形圆轴阶梯形圆轴 0.62kNm1.43kNm 例 有一阶梯形圆轴，轴的直径分别为d140，d270，。已知T10.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm。材料的许用切应力=60MPa，G8104MPa，试校核该轴的强度。第28页，共56页，编辑于2022年，星期二一、扭转变形：（相对扭转角）一、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度扭转角单位：弧度（rad）GIP抗扭刚度抗扭刚度。单位长度的扭转角单位长度的扭转角二、二、扭转杆的变形和刚度计算扭转杆的
16、变形和刚度计算扭转变形与内力计算式扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴第29页，共56页，编辑于2022年，星期二#图示阶梯圆杆，如各段材料也图示阶梯圆杆，如各段材料也不同，不同，AB 两截面的相对扭转角为：两截面的相对扭转角为：#图示等直圆杆受分布扭矩图示等直圆杆受分布扭矩 t 作用，作用，t 的单位为的单位为 。T 从中取从中取 dx 段，段，dx 段两相邻截面段两相邻截面的扭转角为：的扭转角为：TAB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为：T第30页，共56页，编辑于2022年，星期二 从中取从中取 dx 段，该段相邻两截段，
17、该段相邻两截面的扭转角为：面的扭转角为：#图示为变截面圆杆，图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为两端直径分别为 d1、d2。AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为：第31页，共56页，编辑于2022年，星期二单位长度的扭转角单位长度的扭转角 圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求。通圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求。通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值圆轴受扭时刚度条件可写作圆轴受扭时刚度条件可写作3 3、刚度条件应用：、刚度条件应用：1)1)、校核刚度、校核刚度；3)3)、确定外载荷
18、、确定外载荷:2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸:三、三、扭转杆的刚度计算扭转杆的刚度计算第32页，共56页，编辑于2022年，星期二例例 已已知知：MA=180 N.m，MB=320 N.m，MC=140 N.m，Ip=3105 mm4，l=2 m，G=80 GPa，=0.5()/m。j jAC=?校校核核轴轴的的刚度刚度解：解：1.1.内力、变形分析内力、变形分析2.2.刚度校核刚度校核轴的刚度足够第33页，共56页，编辑于2022年，星期二例例 试计算图示圆锥形轴的总扭转角试计算图示圆锥形轴的总扭转角解：解：第34页，共56页，编辑于2022年，星期二例例 长长 L=2 m的圆杆受均布
19、力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。端面相对于左端面的转角。解解：1.作扭矩图作扭矩图L-x2.2.设计杆的外径设计杆的外径第35页，共56页，编辑于2022年，星期二 例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30 M
20、Pa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2/m，试校核此杆的刚度，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。并求右端面相对于左端面的转角。L-x代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。3.3.由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度刚度足够刚度足够第36页，共56页，编辑于2022年，星期二 例例 长长 L=2 m的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，试校核此杆的刚度，并求右端
21、面相对于左端面的转角。并求右端面相对于左端面的转角。L-x4.4.右端面转角右端面转角为：为：第37页，共56页，编辑于2022年，星期二例例 实心圆轴受力如图示，已知材料的实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径试设计轴的直径 D。扭矩图扭矩图解解 （一）绘制扭矩图如图。（一）绘制扭矩图如图。（二）由强度条件设计（二）由强度条件设计 D。解得：解得：（三）由刚度条件设计（三）由刚度条件设计 D。解得：解得：从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm。第38页，共56页，编辑于2022年，星期二 例例 有一阶梯形圆轴，轴上装
22、有三个皮带轮如图有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径所示。轴的直径分别为分别为d140mm，d270mm。已知作用在轴上的外力偶矩分别为。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T10.62 kNm，T20.81 kNm，T31.43 kNm。材料的许用切应力。材料的许用切应力 =60 MPa，G8104 MPa，轴的许用单位长度扭转角为，轴的许用单位长度扭转角为2/m，试校核该轴的强度和刚度。，试校核该轴的强度和刚度。解（解（1 1）作出扭矩图）作出扭矩图 （2 2）强度校核）强度校核 由于由于AC 段和段和BD 段的直径不相段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因同，横截面上的扭
23、矩也不相同，因此，对于此，对于AC 段轴和段轴和BD 段轴的强度段轴的强度都要进行校核。都要进行校核。0.62 kNm1.43 kNm第39页，共56页，编辑于2022年，星期二AC 段段BD 段段 （3 3）刚度校核）刚度校核AC 段段 BD 段段 计算结果表明，轴的强度和刚度是足够的。计算结果表明，轴的强度和刚度是足够的。0.62 kNm1.43 kNm第40页，共56页，编辑于2022年，星期二例：圆轴直径，长，左端固定，右端有一直径的鼓轮。轮上绕以钢绳，绳的端点悬挂重物，轴发生扭转变形。绳长，横截面面积，弹性模量。重量。轴的切变模量。求轴内最大扭转切应力和重物下降的距离。第41页，共5
24、6页，编辑于2022年，星期二轴内最大扭转切应力、AB间相对转角重物下降的距离 第42页，共56页，编辑于2022年，星期二如图所示小锥度薄壁圆锥形管收外力偶作用。已知管的长度为，两端直径分别为和，厚度为，材料的剪切模量为。求两端的相对扭转角。第43页，共56页，编辑于2022年，星期二取处微段研究，其端面受到扭矩为。微段可视为等值薄壁圆筒，则其应力为第44页，共56页，编辑于2022年，星期二例 试求图示轴两端的反力偶矩解解:受力分析,建立平衡方程未知力偶矩2个，平衡方程1个，一次超静定四、扭转超静定问题四、扭转超静定问题变形分析,列变形协调方程联立求解方程(a)与(b)建立补充方程代入上式
25、第45页，共56页，编辑于2022年，星期二例例 长为长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外的作用，如图，若杆的内外径之比为径之比为 =0.8，外径，外径 D=0.0226 m，G=80 GPa，试求：固定端的反试求：固定端的反力偶。力偶。解解：杆的受力图杆的受力图几何方程：几何方程：物理方程：物理方程：第46页，共56页，编辑于2022年，星期二 由平衡方程得由平衡方程得：另另:此题可由对称性直接求得结果。此题可由对称性直接求得结果。x平衡方程平衡方程几何方程几何方程第47页，共56页，编辑于2022年，星期二 圆轴扭转破坏分析圆轴扭
26、转破坏分析低碳钢试件低碳钢试件：沿横截面断开。：沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成4545 的螺旋线的螺旋线断开。断开。材料抗拉能力差，构件沿材料抗拉能力差，构件沿4545斜截面因拉应力而破坏（脆斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。性材料）。材料抗剪切能力差，构件沿横材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏截面因切应力而发生破坏(塑性材料塑性材料）；）；第48页，共56页，编辑于2022年，星期二 x分析方法分析方法取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）第49页，共56页，编辑于2022年，星期二设：设：ef 边的面积
27、为边的面积为 dA 则则 xntefbeb 边的面积为边的面积为dAcos bf 边的面积为边的面积为dAsin 第50页，共56页，编辑于2022年，星期二 若材料抗拉压能力差，构件沿若材料抗拉压能力差，构件沿4545斜截面发生破坏（脆性材料）。斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：结论：若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；塑性材料）；分析：分析：45横截面上！横截面上！第51页，共56页，编辑于2022年，星期二 矩形截面杆的自由扭转矩形截面杆的自由扭转常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆和薄壁杆件圆杆扭转时圆杆扭转时 横截面保持为平面；横
28、截面保持为平面；非圆杆扭转时非圆杆扭转时横截面由平面变为横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。曲面（发生翘曲）。第52页，共56页，编辑于2022年，星期二非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究弹性力学的方法研究非圆截面杆扭转的分类：1 1、自由扭转（纯扭转），、自由扭转（纯扭转），2 2、约束扭转、约束扭转。自由扭转自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），任意两相邻截面翘曲程度相同。任意两相邻截面翘曲程度相同。应力特点：应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。横截面上正应力等于零，切应力不等于零。约束扭转约束扭转：由于约束
29、条件或受力限制，造成杆各横截面翘由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。曲程度不同。应力特点：应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。第53页，共56页，编辑于2022年，星期二1、横截面上角点处，切应力为零2、横截面边缘各点处，切应力/截面周边3、横截面周边长边中点处，切应力最大矩形截面杆自由扭转时应力分布特点矩形截面杆自由扭转时应力分布特点（弹性力学解）第54页，共56页，编辑于2022年，星期二（弹性力学解）系数系数 ,b b,g g 与与 h/b 有关，见教材之表有关，见教材之表长边中点最大切应力长边中点最大切应力 max矩形截面杆自由扭转时的应力矩形截面杆自由扭转时的应力1、横截面上角点处，切应力为零2、横截面边缘各点处，切应力/截面周边3、横截面周边长边中点处，切应力最大T第55页，共56页，编辑于2022年，星期二狭窄矩形截面扭转狭窄矩形截面扭转h中心线总长中心线总长推广应用推广应用狭长矩形狭长矩形第56页，共56页，编辑于2022年，星期二