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1、教学课件第3章图像处理中的正交变换（第36讲）（研究生学位课）数字图像处理学数字图像处理学第第3章章 图像处理中的正交变换图像处理中的正交变换（第六讲）（第六讲）阮秋琦教授阮秋琦教授(3-232)(3-233)其波形如图3-25所示：图 3-25 Haar 小波(3-234)Mexico Hat小波也叫Marr小波。Mexico Hat小波是实值小波，它的更普遍的形式由下式给出：即由Gauss分布的n阶导数给出：（3-235）相应的谱为(3-236)其波形如图其波形如图3 32626所示。所示。图图 326 Mexico Hat小波小波用Gauss 分布的差形成的DOG(Difference
2、of Gaussians)是Mexico Hat小波的良好近似。（3-237）（3-238）（3）Morlet小波Morlet小波是最常用的复值小波，它可由下式给出：(3-239)其Fourier变换为：(3-240)由上式可以看出它满足容许条件，即：由上式可以看出它满足容许条件，即：=0 时时 (0)=0 。如果直接求取容许条件，可作如下运。如果直接求取容许条件，可作如下运算：算：（3-241）相应的Fourier变换为：(3-242)图327 Morlet小波及其Fourier变换(3-243)(3-244)也是也是小波小波变换变换关系关系，（3）微分运算(3-245)（4）局部正则性(3
3、-246)说明函数的局部性质与小波变换的局部性质说明函数的局部性质与小波变换的局部性质有关。也就是说小波变换能够度量函数的局部有关。也就是说小波变换能够度量函数的局部正则性。正则性。除上述性质外，小波变换还有诸如能量守恒除上述性质外，小波变换还有诸如能量守恒性、空间尺度局部化等特性。性、空间尺度局部化等特性。3.65 离散小波离散小波变换变换(3-247)(3-249)2.正交小波变换正交小波变换 连续小波可以刻划函数连续小波可以刻划函数 f(t)的性质和变化过程，的性质和变化过程，用离散小波也可以刻划用离散小波也可以刻划 f(t)。按调和分析方法，。按调和分析方法，把把 f(t)写成级数展开
4、形式，这就构成了写成级数展开形式，这就构成了n 维空间维空间中函数逼近问题。中函数逼近问题。在数学中，在数学中，“空间空间”是用公理确定了元素之间的是用公理确定了元素之间的关系的集合，例如：距离空间是定义了元素间距离关系的集合，例如：距离空间是定义了元素间距离的集合；定义了元素范数的线性空间叫做线性赋范的集合；定义了元素范数的线性空间叫做线性赋范空间等，在离散小波变换中空间等，在离散小波变换中赋范空间赋范空间和和内积空间内积空间的的概念是很重要的。概念是很重要的。(3-249)(3-250)（3251）（3252）（3253）（3254）（3255）（3256）（3257）式中：（3258）（
5、3-259）（3-260）（3-261）（3-262）然后，求Fourier逆变换（3-263）（3-264）4紧支集概念紧支集概念 函数函数 f(t)的支集或支撑区的支集或支撑区supp是指最大开集是指最大开集E的的补集。对于开集补集。对于开集E，tE 有有 f(t)=0 ，因此，函，因此，函数的支集就是函数定义域的闭子集，也就是说，数的支集就是函数定义域的闭子集，也就是说，这样一个最小的闭子集或区间这样一个最小的闭子集或区间a,b，使得在，使得在a,b 之外，函数之外，函数f(t)为零。为零。通常我们希望小波是紧支撑的，因为这样的小波通常我们希望小波是紧支撑的，因为这样的小波具有更好的局部
6、特性，也有利于算法的实现，可具有更好的局部特性，也有利于算法的实现，可惜的是紧支撑与平滑性二者不可兼得。惜的是紧支撑与平滑性二者不可兼得。5.非正交小波变换非正交小波变换构造一个既具有正交性，又具有紧支集、平滑性甚至构造一个既具有正交性，又具有紧支集、平滑性甚至对称性的小波基函数具有很大困难。但在应用中，紧对称性的小波基函数具有很大困难。但在应用中，紧支集是保证优良的空间局部性的条件；支集是保证优良的空间局部性的条件；对称性可使小波滤波特性具有线性相移特性，对称性可使小波滤波特性具有线性相移特性，避免信号失真；平滑性与频率分辨率有关。这些避免信号失真；平滑性与频率分辨率有关。这些矛盾的实质是对
7、小波基函数正交性的要求，如果矛盾的实质是对小波基函数正交性的要求，如果对正交性不作苛求的话，即容许小波基函数有一对正交性不作苛求的话，即容许小波基函数有一定的相关性，可能会带来许多好处。由此，我们定的相关性，可能会带来许多好处。由此，我们引入引入“框架框架”的概念。的概念。(3-265)一般情况框架不是正交基，它提供了对函数一般情况框架不是正交基，它提供了对函数 f(t)的的一种冗余表示。这种表示使得恢复信号一种冗余表示。这种表示使得恢复信号f(t)的数值的数值计算十分稳定，而且对噪声也具有鲁棒性计算十分稳定，而且对噪声也具有鲁棒性(Robustness)。(3-266)(3-267)(3-268)(3-269)如果映射如果映射满满足足（3-270）（3-271）（3-272）(3-273)