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1、教学课件第3章图像处理中的正交变换（第35讲）（研究生学位课）数字图像处理学数字图像处理学第第3章章 图像处理中的正交变换图像处理中的正交变换（第五讲）（第五讲）阮秋琦教授阮秋琦教授 与Fourier 变换、Gabor变换相比小波变换是时间和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为数学家认为：小波分析是一个新的数学分支，：小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、它是泛函分析、Fou
2、rier分析、样调分析、数值分析、样调分析、数值分析的完美结晶；分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为信号和信息处理专家认为：小波分析是时间：小波分析是时间尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像处理、模式识别、计算机分析、语音合成、图像处理、模式识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果；成果；有人认为有人认为：除了微分方程的求解之外，原则上能：除了微分方程的求解之外，原则上能用用Four
3、ier分析的地方均可以用小波分析，有时甚分析的地方均可以用小波分析，有时甚至能得到更好的结果。至能得到更好的结果。与与Fourier变换、变换、Gabor变换相比，小波变换是变换相比，小波变换是时间时间-频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到到高频处时间细分高频处时间细分，低频处频率细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难变换的困难问题，成为继问题
4、，成为继Fourier变换以来在科学方法上的变换以来在科学方法上的重大突破。重大突破。小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地球物理学家球物理学家J.Morlet于于1984年提出的。他在分析地震年提出的。他在分析地震波的时频局部特性时波的时频局部特性时,希望使用在希望使用在高频处时窗变窄高频处时窗变窄,低低频处频窗变窄频处频窗变窄的自适应变换。的自适应变换。但但Fourier变换很难能满足这一要求，随后他引变换很难能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数，将其伸缩和平移得到用了高斯余弦调制函数，将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为一
5、组函数系，它后来被称之为“Morlet小波基小波基”。Morlet这一根据经验建立的公式当时并未得到这一根据经验建立的公式当时并未得到数学家的认可。后来，数学家的认可。后来，J.o.Stromberg构造了第构造了第一个小波基。一个小波基。1986年著名的数学家年著名的数学家Y.Meyer构构造了一个真正的小波基，并与造了一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建合作建立了构造小波基的统一方法多尺度分析。立了构造小波基的统一方法多尺度分析。从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得一提的是比利时女数学家一提的是比利时女数学家I.Daubechies的的“
6、Ten lectures on Wavelet”一书对小波的普及应用起一书对小波的普及应用起了重要的推动作用。了重要的推动作用。19861986年年S.Jafferd、Y.Meyer与从事信号处理的与从事信号处理的S.mallat合作指出小波正交基的构造可纳入一个统一合作指出小波正交基的构造可纳入一个统一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造的框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造的具体小波，并给出了多分辨分析构造正交小波基的具体小波，并给出了多分辨分析构造正交小波基的一般化方法。一般化方法。S.Mallat还提出了小波变换的快速分解还提出了小波变换的快速分解与重构算法与重构算法。该算
7、法在小波分析中的作用相当于该算法在小波分析中的作用相当于FFT在在Fourier变换中的地位。后来，该方法成功地应变换中的地位。后来，该方法成功地应用于图像的分解与重建。用于图像的分解与重建。在用于时频分析时，希望小波具有紧支撑集特性，在用于时频分析时，希望小波具有紧支撑集特性，1988年年I.Daubechies首先构造了紧支集光滑小波。首先构造了紧支集光滑小波。从此，小波分析理论得到了系统化。从此，小波分析理论得到了系统化。虽然小波正交基用途广泛，但也存在着不足。虽然小波正交基用途广泛，但也存在着不足。1 1）、小波正交基的结构复杂）、小波正交基的结构复杂；2 2）、具有紧支集的小波正交基
8、不可能具有对称）、具有紧支集的小波正交基不可能具有对称 性。因此，它用作滤波器不可能有线性相性。因此，它用作滤波器不可能有线性相 位，从而产生信号重构失真位，从而产生信号重构失真。为解决此类问题又产生了所谓为解决此类问题又产生了所谓双正交小波基双正交小波基理理论。在实际应用中，人们还构造了周期小波和论。在实际应用中，人们还构造了周期小波和多元小波等。近年来小波分析已深入到非线性多元小波等。近年来小波分析已深入到非线性逼近、统计信号处理等领域。由此可见，小波逼近、统计信号处理等领域。由此可见，小波理论及应用正在逐步发展与完善。理论及应用正在逐步发展与完善。3.6.2 3.6.2 时频分析时频分析
9、 信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，以便突出信号中重要特性，简化运算的复换方法，以便突出信号中重要特性，简化运算的复杂度。杂度。Fourier变换就是一种刻划函数空间，求解微变换就是一种刻划函数空间，求解微分方程，进行数值计算的有效的数学工具。它分方程，进行数值计算的有效的数学工具。它可把可把许多常见的微分、积分和卷积运算简化为代数运算。许多常见的微分、积分和卷积运算简化为代数运算。Fourier变换的特点是变换的特点是域变换域变换，它把时域和频域，它把时域和频域联系起来，把时域内难以显现的特征在频域中联系起来，把时域内难以显现的特
10、征在频域中十分清楚地显现出来。频谱分析的本质就是对十分清楚地显现出来。频谱分析的本质就是对 F()的加工与处理。基于这一基本原理，现代的加工与处理。基于这一基本原理，现代谱分析已发展了多种高效、多分辨率的分析算谱分析已发展了多种高效、多分辨率的分析算法。法。但是，频谱但是，频谱 F()的任一频率成份的值是由时域过程的任一频率成份的值是由时域过程 f(t)在在,+上的贡献决定的，而上的贡献决定的，而 f(t)在任一时刻在任一时刻的状态也是由的状态也是由 F()在整个频域在整个频域,+的贡献决定的贡献决定的。的。该性质可由该性质可由(t)函数来理解，即时域上的一个冲函数来理解，即时域上的一个冲激脉
11、冲在频域中具有无限伸展的均匀频谱。激脉冲在频域中具有无限伸展的均匀频谱。f(t)与与 F()间的彼此的整体刻划，不能反映各自在局部间的彼此的整体刻划，不能反映各自在局部区域上的特征。区域上的特征。在实际过程中在实际过程中,时变信号是常见的，如语音信号、地时变信号是常见的，如语音信号、地震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希望震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时刻的频率成份，显然利用知道信号在突变时刻的频率成份，显然利用Fourier变换处理这些信号，这些非平稳的突变成份往往被变换处理这些信号，这些非平稳的突变成份往往被Fourier变换的积分作用平滑掉了。因此，不能
12、用于变换的积分作用平滑掉了。因此，不能用于局部分析。局部分析。在实际应用中，也不乏不同的时间在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应着相同的频谱的例子。过程却对应着相同的频谱的例子。3.6.3 Gabor变换变换 由于由于Fourier变换变换存在着不能同存在着不能同时进时进行行时间时间频频率率局部分析的缺点。局部分析的缺点。1946年年D.Gabor提出一种加窗的提出一种加窗的Fourier变换变换方法，它在非平方法，它在非平稳稳信号分析中起到了很信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的信号分析方法，而且与当好的作用。是一种有效的信号分析方法，而且与当今的小波今的小波变换变换有有许许多相似之
13、多相似之处处。1.Gabor变换的定义变换的定义在在Gabor变换中，把变换中，把非平稳过程看成是一系列短非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗而短时性是通过时间上加窗来实现的。整个时域的覆盖是由参数来实现的。整个时域的覆盖是由参数 的平移达的平移达到的。到的。换句话说，该变换是用一个窗函数换句话说，该变换是用一个窗函数 g(t-)与信与信号号f(t)相乘实现在相乘实现在 附近开窗和平移，然后施以附近开窗和平移，然后施以Fourier变换，这就是变换，这就是Gabor变换，也称短时变换，也称短时Fourier变换或加窗变换或加窗Fourier变换。
14、变换。Gabor变换的变换的定义由下式给出：对于定义由下式给出：对于 f(t)L 2(R)D.Gabor采用采用高斯高斯(Gauss)函数函数作窗函数，相作窗函数，相应应的的Fourier变换变换仍旧是仍旧是Gauss函数，从而保函数，从而保证证窗窗口口Fourier变换变换在在时时域和域和频频域内均有局部化功能。域内均有局部化功能。(3-202)支撑区是指一个函数或信号支撑区是指一个函数或信号 f(t)的自变量的自变量 t 的的定义域，当在支撑区内取值时定义域，当在支撑区内取值时 f(t)的值域不为的值域不为零，在支撑区之外信号或函数下降为零。零，在支撑区之外信号或函数下降为零。2.Heis
15、enberg2.Heisenberg测测不准原理不准原理 由由GaborGabor变变换换的的局局部部时时频频分分析析的的原原理理，人人们们自自然然希希望望得得到到合合适适的的时时窗窗和和频频窗窗选选择择方方法法，以以便便提取精确的信息，提取精确的信息，这这就涉及到窗口的就涉及到窗口的选择问题选择问题。由上式可知，无论是周期信号还是非周期信号，由上式可知，无论是周期信号还是非周期信号，既可以用既可以用f(t)来描述，也可以用来描述，也可以用 F()来描述，采来描述，采用哪种方法可根据具体问题而定。用哪种方法可根据具体问题而定。但如果对时域和频域均感兴趣的话，但如果对时域和频域均感兴趣的话，Ga
16、bor变变换是一个有力的分析工具。但它受到换是一个有力的分析工具。但它受到Heisenberg测不准原理的制约。要想同时达到测不准原理的制约。要想同时达到时间时间 t 与频率与频率 的最高分辨率是不可能的。的最高分辨率是不可能的。对于对于时频窗口的选择应遵循如下规律：对于宽时频窗口的选择应遵循如下规律：对于宽带信号，由于频率变化剧烈，带信号，由于频率变化剧烈，为了能准确提取高为了能准确提取高频信息要有足够的时间分辨率，频信息要有足够的时间分辨率，应选小值，应选小值，可可这样会造成样本点多，计算量大，难于获得快速这样会造成样本点多，计算量大，难于获得快速高效算法。高效算法。为了为了提取高频分量提
17、取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域，时域窗口应尽量窄，频域窗口适当放宽。窗口适当放宽。对于慢变的低频信号对于慢变的低频信号，时窗可，时窗可适当加宽，而频窗应尽量缩小，保证有较高的适当加宽，而频窗应尽量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。频率分辨率和较小的测量误差。但但Gabor变换的变换的时频窗口是固定不变时频窗口是固定不变的，窗口的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其变过程，而且其离散形式没有正交展开离散形式没有正交展开，难于实，难于实现高效算法，这是现高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此变换的主要缺点，因
18、此也就限制了它的应用。也就限制了它的应用。3.6.4 连续小波变换连续小波变换 在信号分析与处理中，为了提高算法的效率，对在信号分析与处理中，为了提高算法的效率，对信号进行变换处理的积分核应属于正交基，作为信号进行变换处理的积分核应属于正交基，作为信号分析的有效数学工具的标志应是信号分析的有效数学工具的标志应是可变窗口、可变窗口、平移功能和正交性平移功能和正交性。Gabor变换为此迈出了关键的一步，因为变换为此迈出了关键的一步，因为Gabor变变换已具备了平移功能，只是其相当于放大倍数固换已具备了平移功能，只是其相当于放大倍数固定的显微镜而已。在这方面定的显微镜而已。在这方面J.Morlet为
19、此作出了为此作出了重大贡献。重大贡献。（3-218）a:a1 图 322 小波的波形随参数的波形随参数变变化的情形化的情形(3-223)逆变换公式可参阅教材中的证明。（3-229）这里我们定义：(3-230)如果a=1,b=0时容易推出(3-231)分析高频分量时（分析高频分量时（a减小），时窗自动变窄，减小），时窗自动变窄，频窗加宽，分析低频分量时（频窗加宽，分析低频分量时（a增大），时窗增大），时窗变宽，频窗变窄，从而实现了时频窗口的自变宽，频窗变窄，从而实现了时频窗口的自动自适应变化。动自适应变化。图 323加窗Fourier分析和小波分析的时频特性比较 由图可见：由图可见：（a）加窗的）加窗的Fourier分析的基函数振荡个数不同，分析的基函数振荡个数不同，而小波分析的基函数具有常数个振荡；而小波分析的基函数具有常数个振荡；（b)加窗的加窗的Fourier分析的时频分辨率固定，而分析的时频分辨率固定，而小波分析的时频分辨率可变。小波分析的时频分辨率可变。图图 324 Gabor变换特性（变换特性（a）和小波滤波特性）和小波滤波特性(b)图图3 32424显示了显示了Gabor变换与小波变换的滤变换与小波变换的滤波特性。波特性。由图可见由图可见Gabor滤波是恒定带宽滤波是恒定带宽滤波，而小波滤波随着中心频率增加而带滤波，而小波滤波随着中心频率增加而带宽加大。宽加大。