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1、教学课件第3章图像处理中的正交变换（第37讲）（研究生学位课）数字图像处理学数字图像处理学第第3章章 图像处理中的正交变换图像处理中的正交变换（第七讲）（第七讲）阮秋琦教授阮秋琦教授(3-274)(3-275)(3-276)（3-277）（3-278）（3-279）（3-280）（3-281）（3-282）（3-283）（3-284）样条函数可以表示成变量的多项式，在小波分样条函数可以表示成变量的多项式，在小波分析中用得最多的是析中用得最多的是B样条函数（样条函数（Cardinal B-spline）。）。B-样条具有最小的支撑长度，而且样条具有最小的支撑长度，而且有利于计算机实时处理。有利于
2、计算机实时处理。几个定义：几个定义：这里把分段常数空间记为这里把分段常数空间记为 S1 ；分段多项式空间记为分段多项式空间记为 Sm ，m是多项式的阶数。是多项式的阶数。当当m为正整数时，为正整数时，Sm 称为基数样条空间，这是称为基数样条空间，这是样条小波的基本空间。样条小波的基本空间。m 阶阶B样条是样条是Haar尺度函数与其自身作尺度函数与其自身作m次卷次卷积运算后所得的函数，记为积运算后所得的函数，记为 Nm(t)，(3-285)(3-286)(3287)(3-288)(3-289)图图328 示出了示出了N1(t),N 2(t),N3(t),的波形，的波形，由图可见由图可见：N1(t
3、)不连续，不连续，N2(t)连续，但一阶导数不连续，连续，但一阶导数不连续，N3(t)有连续的一阶导数，因此，它比较常用。有连续的一阶导数，因此，它比较常用。图 328 m=1,2,3 时的基数B-样条波形 B样条小波有非负性；紧支撑；傅里叶变换；整数节点上的和为1；微分性质；差值公式；对称性等性质。如果基数B-样条函数表示为对称于过原点垂直轴的形式，则相应的波形如图3-29所示。其数学表达式更为简洁，即：（3-290）图图329 B-样条函数的对称形式与构造样条函数的对称形式与构造(3-291)(3-292)这这里里，P是是2m阶阶多多项项式式，当当m是是奇奇数数时时，在在区区间间0,1中是
4、严格正的，当中是严格正的，当m是偶数时，该展开式为：是偶数时，该展开式为：(3-293)(3-294)(3-295)(3-296)(3-297)(3-298)(3-299)图图 330基数基数-B样条小波波形样条小波波形 二次样条二次样条基函数基函数线性样线性样条基函条基函数数 m 阶基数B-样条的双尺度方程如下式所示：(3-300)(3-301)3.6.6 小波包：小波包：任一函数可以表示为小波展开，但小波函数任一函数可以表示为小波展开，但小波函数 并并不是唯一的，由于研究对象是多种多样的，究竟选不是唯一的，由于研究对象是多种多样的，究竟选择哪一种小波作为分解和重构的基函数是学者们关择哪一种
5、小波作为分解和重构的基函数是学者们关注的问题。因此，我们希望针对不同的处理信号能注的问题。因此，我们希望针对不同的处理信号能有一个选择基函数的准则。正象有一个选择基函数的准则。正象Meyer在在1990年日本年日本东京国际数学大会上指出的那样，东京国际数学大会上指出的那样，小波分析固然是研究突变信号的有力工具，但在处理小波分析固然是研究突变信号的有力工具，但在处理渐变信号时却不如渐变信号时却不如Gabor分析，而在实际处理中两种分析，而在实际处理中两种信号总是交替出现的。因此，人们往往交替使用小波信号总是交替出现的。因此，人们往往交替使用小波分析和窗口分析和窗口Fourier分析。分析。正交小
6、波包是一种建立选择正交小波包是一种建立选择“最好基最好基”准则，准则，并给出具体运算方法的数学工具，并给出具体运算方法的数学工具，它对小波分析与综合应用是至关重要的。它对小波分析与综合应用是至关重要的。一般来说，小波包分析包括一般来说，小波包分析包括小波基包小波基包和和小波框小波框架包架包，就是从多分辨分析出发采用滤波的思路，就是从多分辨分析出发采用滤波的思路建立小波基库。在数据压缩方面，建立小波基库。在数据压缩方面，Coifman和和Meyer等人建立了一个广泛的函数目录库，称等人建立了一个广泛的函数目录库，称为小波包为小波包(Wavelet Packet)。由此构成了一个可数的正交基，该小
7、波包将由此构成了一个可数的正交基，该小波包将Gabor函函数和小波函数统一为一个集，这个集通过尺度参数数和小波函数统一为一个集，这个集通过尺度参数(频率参数频率参数)q，空间参数，空间参数 k,振荡参数振荡参数 n 控制零平均的控制零平均的局部化振荡函数局部化振荡函数,其中其中 k 对应中心位置，对应中心位置，q 对应空间对应空间支撑宽度，支撑宽度，n 对应空间振荡次数，对应空间振荡次数，于是通过一个于是通过一个“母小波母小波”的伸缩和平移就可产生的伸缩和平移就可产生一个小波包族，对于给定的信号可选择最合适的一个小波包族，对于给定的信号可选择最合适的函数来分解它，函数来分解它，选择的准则就是信
8、息熵最小选择的准则就是信息熵最小。（3-302）（3-303）(3-304)(3-305)(3-306)(3-307)(3-308)(3-309)(3-310)(3-311)(3-312)(3-313)(3-314)(3-315)(3-316)假定 E 预先给定，x=xi 是可分空间V中的数据序列或矢量，若从小波包基库中选出某一正交基为B，而Bx 表示以基B展开 x 时的系数序列，如果 E(Bx)是最小的，则B是熵值最小意义下的最优基。B选择算法比较简单，它是一种搜索算法。(3-317)该方法实际上是按二叉树的结构进行搜索，从底层向上的路径求出最低熵值，然后确定所采用的基函数。搜索也就是按下式进行：3.6.7 二二维维小波小波1 二维连续小波(1)二维连续小波变换的定义 二维连续小波以变换的定义如下：(3318)(3319)(3320)(3321)(3322)