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1、第三节 齐次方程第1页，本讲稿共19页一、齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义第2页，本讲稿共19页第3页，本讲稿共19页例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解第4页，本讲稿共19页例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解第5页，本讲稿共19页微分方程的解为微分方程的解为第6页，本讲稿共19页例例 3 3 （抛物线的光学性质）在（抛物线的光学性质）在xOy平面上有一曲线平面上有一曲线L，曲线，曲线L绕绕x轴旋转一周，轴旋转一周，形成一旋转曲面形成
2、一旋转曲面.假设由假设由O点发出的光线经此旋转曲面形状的凹镜反射后都与点发出的光线经此旋转曲面形状的凹镜反射后都与x轴轴平行，求曲线平行，求曲线L的方程的方程.解解如图如图第7页，本讲稿共19页得微分方程得微分方程由夹由夹角正角正切公切公式得式得第8页，本讲稿共19页分离变量分离变量积分得积分得第9页，本讲稿共19页平方化简得平方化简得抛物线抛物线第10页，本讲稿共19页二、可化为齐次的方程为齐次方程为齐次方程.（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程.2.解法解法1.1.定义定义第11页，本讲稿共19页有唯一一组解有唯一一组解.得通解代回得通解代回未必
3、有解未必有解,上述方法不能用上述方法不能用.第12页，本讲稿共19页可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量可分离变量.第13页，本讲稿共19页解解代入原方程得代入原方程得第14页，本讲稿共19页分离变量法得分离变量法得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为第15页，本讲稿共19页利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为第16页，本讲稿共19页三、小结齐次方程齐次方程齐次方程的解法齐次方程的解法可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程第17页，本讲稿共19页思考题思考题方程方程是否为齐次方程是否为齐次方程?第18页，本讲稿共19页思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.第19页，本讲稿共19页