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1、测量误差的基本知识本讲稿第一页，共二十六页第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念 在在测测量量工工作作中中，对对某某量量(如如某某一一个个角角度度、某某一一段段距距离离或或某某两两点点间间的的高高差差等等)进进行行多多次次观观测测，所所得得的的各各次次观观测测结结果果总总是是存存在在着着差差异异，这这种种差差异异实实质质上上表表现现为为每每次次测测量量所所得得的的观观测测值值与与该该量量的的真真值值之之间间的的差差值值，这这种种差差值值称称为为测测量误差量误差（又叫真误差）（又叫真误差），即，即:测量误差测量误差=真值真值-观测值观测值本讲稿第二页，共二十六页第一节第一节 测量误差的概念测
2、量误差的概念 一、产生误差的原因一、产生误差的原因 1.仪器的原因仪器的原因 2.人的原因人的原因 3.外界环境的影响外界环境的影响本讲稿第三页，共二十六页第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念 二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则 1.系系统误统误差差:在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行一一系系列列观观测测，如如果果观观测测误误差差在在数数值值大大小小和和符符号号上上保保持持不不变变，或或按按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。一定的规律变化，这种误差称为系统误差。本讲稿第四页，共二十六页第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念 二、测量误
3、差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则处理系统误差的方法通常有以下三种：处理系统误差的方法通常有以下三种：（1 1）检校仪器，把仪器的系统误差降低到最小程度。）检校仪器，把仪器的系统误差降低到最小程度。（2 2）求改正数，对观测成果进行必要的改正。例如量距前先对）求改正数，对观测成果进行必要的改正。例如量距前先对 钢钢尺进行比长鉴定，求出尺长改正，然后对量得的距离进行尺长改正。尺进行比长鉴定，求出尺长改正，然后对量得的距离进行尺长改正。（3 3）对称观测，使系统误差对观测成果的影响互为相反数，以便）对称观测，使系统误差对观测成果的影响互为相反数，以便在成果计算中，自行消除或削弱。例如，
4、在水准测量中采用的中间法，在成果计算中，自行消除或削弱。例如，在水准测量中采用的中间法，测角过程中采用的盘左盘右观测等都是利用对称观测来达到削弱系统测角过程中采用的盘左盘右观测等都是利用对称观测来达到削弱系统误差的目的。误差的目的。本讲稿第五页，共二十六页第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念 2.偶然偶然误误差差:在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行一一系系列列观观测测，如如果果误误差差在在数数值值大大小小和和符符号号上上都都不不一一致致，表表面面上上看看不不出出任任何何规规律性，这种误差称为偶然误差。律性，这种误差称为偶然误差。在在水水准准测测量量中中，在在水水准
5、准尺尺上上估估读读毫毫米米数数，有有时时偏偏大大有有时时偏偏小小；测测水水平平角角瞄瞄准准目目标标时时，有有时时偏偏左左、有有时时偏偏右右，这这种种误误差差都都属属于于偶偶然误差。然误差。二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则本讲稿第六页，共二十六页第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念 2.偶然偶然误误差差:处处理偶然理偶然误误差的方法差的方法:进进行行多多余余观观测测，产产生生闭闭合合差差，闭闭合合差差在在允允许许范范围围内内进进行闭合差的调整，又称为测量平差行闭合差的调整，又称为测量平差。二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则本讲稿第七页，共二十六
6、页第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念在相同的观测条件下观测了在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角个三角形的内角，358个三角形内角和的真误差，个三角形内角和的真误差，按照绝对值的大小，分区间列于下表按照绝对值的大小，分区间列于下表 误差区间d()负 误 差正 误 差误 差 绝 对 值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.03626
7、0.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上0000001810.5051770.4953581.000本讲稿第八页，共二十六页第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念 3.偶然偶然误误差差:偶然偶然误误差特性差特性:。二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则 表6-1 偶然误差的统计特性b误差个数a图5-1 偶然误差分布曲线本讲稿第九页，共二十六页第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念特性特性 1)在在一一定定的的观观测测条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝对值绝对值不会超不会超过过一定的限一定的限值值。2
8、)绝绝对对值值小小的的误误差差比比绝绝对对值值大大的的误误差差出出现现的机会多。的机会多。3)绝绝对对值值相相等等的的正正、负负误误差差出出现现的机会基本相等。的机会基本相等。4)偶然误差的算术平均值随着观偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。测次数的无限增加而趋于零。偶然误差偶然误差 二、测量误差的分类与处理原则二、测量误差的分类与处理原则本讲稿第十页，共二十六页第二节第二节 评定观测值精度的标准评定观测值精度的标准 一、精度的概念一、精度的概念 精度亦即测量值的精密程度或者是它的精确程度，是指精度亦即测量值的精密程度或者是它的精确程度，是指对同一量的多次观测中，各个观测值之间
9、或观测值与其真值之对同一量的多次观测中，各个观测值之间或观测值与其真值之间的差异程度（或称离散程度）。若观测值之间或与其真值之间的差异程度（或称离散程度）。若观测值之间或与其真值之间差异大，则精度低；差异小，则精度高。实际上，精度也就间差异大，则精度低；差异小，则精度高。实际上，精度也就是通过误差来表达的。是通过误差来表达的。在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布曲线。如果误差分布较为密集，即离散度较小时。则表示该组观差分布曲线。如果误差分布较为密集，即离散度较小时。则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高
10、；反之，如果分布较离散，测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较离散，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。度较低。本讲稿第十一页，共二十六页第二节第二节 评定观测值精度的标准评定观测值精度的标准 所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度。假如两组观测成果的误差分布相同，说明这两组观假如两组观测成果的误差分布相同，说明这两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。对于相同的
11、条件（观测者、仪器、方法、环境等）不同。对于相同的条件（观测者、仪器、方法、环境等）下所进行的一组观测，可以认为其误差产生的机会均等，下所进行的一组观测，可以认为其误差产生的机会均等，它们对应着一种误差分布，因此，观测结果亦具有同样的它们对应着一种误差分布，因此，观测结果亦具有同样的精确度。也就是说，它们的精度属于同一等级，称之为等精确度。也就是说，它们的精度属于同一等级，称之为等精度观测。精度观测。本讲稿第十二页，共二十六页第二节第二节 评定观测值精度的标准评定观测值精度的标准Vi=x-Li (i=1,2，n)i=X-Li (i=1,2，n)二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标（1）用真误差
12、来确定中误差用真误差来确定中误差（2）用改正数来确定中误差用改正数来确定中误差1、中误差：、中误差：在一定条件下，对某一量进行年在一定条件下，对某一量进行年n次观测，各次观测，各观测值真误观测值真误差平方和的平均值的平方根差平方和的平均值的平方根叫做中误差，一般用表示叫做中误差，一般用表示m表示。表示。本讲稿第十三页，共二十六页2、相对误差：观测值的中误差与观测值之比。观测值的中误差与观测值之比。第三节第三节 评定观测值精度的标准评定观测值精度的标准二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标本讲稿第十四页，共二十六页3、容许误差（、容许误差（“允许误差允许误差”，或称为，或称为“限差限差”）以以2倍
13、（或倍（或3倍）中误差作为允许的误差极限倍）中误差作为允许的误差极限：第二节第二节 评定观测值精度的标准评定观测值精度的标准二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标本讲稿第十五页，共二十六页第三节第三节 算术平均值算术平均值 x是是根根据据观观测测值值所所能能求求得得的的最最可可靠靠的的结结果果，称称为为最最或或是是值值或或算算术术平均平均值值。这这是最或是是最或是误误差的一大特征，用作差的一大特征，用作计计算上的校核。算上的校核。一、算术平均值一、算术平均值 在实际工作中，采用对某量在实际工作中，采用对某量有限次数有限次数的观测值来求得算术平的观测值来求得算术平均值，即：均值，即：二、最或是误差
14、二、最或是误差(改正数改正数)及特性及特性 最或是最或是值值与与观测值观测值之差称之差称为为最或是最或是误误差差，又名，又名观测值观测值改正数，改正数，用用V表示，即：表示，即：Vi=x-Li 而而本讲稿第十六页，共二十六页第三节第三节 算术平均值算术平均值 x是是根根据据观观测测值值所所能能求求得得的的最最可可靠靠的的结结果果，称称为为最最或或是是值值或或算算术术平均平均值值。一、算术平均值一、算术平均值 在实际工作中，采用对某量在实际工作中，采用对某量有限次数有限次数的观测值来求得算术平均值，的观测值来求得算术平均值，即：即：本讲稿第十七页，共二十六页第二节第二节 算术平均值算术平均值这这
15、是最或是是最或是误误差的一大特征，用作差的一大特征，用作计计算上的校核。算上的校核。二、最或是误差二、最或是误差(改正数改正数)及特性及特性 最或是最或是值值与与观测值观测值之差称之差称为为最或是最或是误误差差，又名，又名观测值观测值改正数，改正数，用用V表示，即：表示，即：Vi=x-Li 而而本讲稿第十八页，共二十六页第四节第四节 观测值函数中误差观测值函数中误差 设设xi的的中中误误差差为为mi，函函数数F的的中中误误差差为为mF，经经推推导导得：得：设设有函数有函数F=K1x1K2x2Knxn式中：式中：F 线性函数；线性函数；Ki 常数；常数；xi 观测值观测值。m2F=(K1m1)2
16、+(K2m2)2+(Knmn)2 本讲稿第十九页，共二十六页第四节第四节 观测值函数中误差观测值函数中误差 例例一一:在在1：500比比例例尺尺地地形形图图上上，量量得得A、B两两点点间间的的距距离离S=163.6mm，其其中中误误差差ms=0.2mm。求求A、B两两点点实实地距离地距离D及其中及其中误误差差mD。D=81.10.1(m)mD=MmS=5000.2(mm)=0.1(m)解解：D=MS=500163.6(mm)=81.8(m)(M为为比例尺分母比例尺分母)本讲稿第二十页，共二十六页第四节第四节 观测值函数中误差观测值函数中误差 例二例二 某水准路某水准路线线各各测测段段高差的高差
17、的 观测值观测值中中误误差分差分别为别为 h1=18.316m5mm，h2=8.171m4mm，h3=6.625m3mm，试试求求该该水准路水准路线线高差高差及其及其中中误误差差。h=16.882m7.1mm解解 h=h1+h2+h3=16.862()m 2h=m21+m 22m 23 =52+42+32 m h=7.1(mm)本讲稿第二十一页，共二十六页第四节第四节 观测值函数中误差观测值函数中误差 例例三三 设设对对某某一一未未知知量量P，在在相相同同观观测测条条件件下下进进行行多多次次观观测测，观观测测值值分分别别为为L1,L2Ln，其其中中误误差差均均为为m，求求算算术术平平均均值值x
18、的的中中误误差差M。因因为为m1=m2=mn=m，得：，得：M2=(m1)2(m2)2(mn)2 解：解：本讲稿第二十二页，共二十六页第四节第四节 观测值函数中误差观测值函数中误差 例例四四 三三角角形形的的三三个个内内角角，在在实实际际观观测测时时三三内内角角之之和和与与理理论论值值会会有有一一个个差差值值，这这个个差差值值称称为为三三角角形形闭闭合合差差。设设等等精精度度观观测测n个个三三角角形形的的三三内内角角分分别别为为ai、bi和和ci，其其测测角角中中误误差差均均为为m=ma=mb=mc，各各三三角角形形内内角角和和的的观观测测值值与与真真值值180之之差差为为三三角角形形闭闭合合
19、差差f1、f2、fn，即真即真误误差，其差，其计计算关系式算关系式为为：根据根据观测值函数观测值函数中中误误差关系差关系得得：fi=ai+bi+ci-180m2f=m2a+m2b+mc2=3m2本讲稿第二十三页，共二十六页第四节第四节 观测值函数中误差观测值函数中误差由由此此得得测测角角中中误误差差为为 m=mf=m 上式称为菲列罗公式，是上式称为菲列罗公式，是小三角测量评定测角精度的小三角测量评定测角精度的基本公式。基本公式。本讲稿第二十四页，共二十六页本本 章章 小小 结结4.最或是误差最或是误差：Vi=x-Li (i=1，2，n)且且 一、基本概念一、基本概念1.测测量量误误差差=真真值值观测值观测值。2.观测误观测误差按性差按性质质分分为为系系统误统误差和偶然差和偶然误误差。差。3.算算术术平均平均值值：（L1，L 2，L n）为为等精度等精度观测值观测值本讲稿第二十五页，共二十六页二、评定观测值精度的标准二、评定观测值精度的标准 1.中中误误差差：(i=X-L1，Vi=x-Li）2.允允许误许误差差：容容=2m 或或 容容=3m 3.相相对误对误差差：4.算算术术平均平均值值中中误误差差及及相相对误对误差差：本本 章章 小小 节节本讲稿第二十六页，共二十六页