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1、一、概一、概 述述1 1、误差的概念、误差的概念测量误差测量误差()=()=真值（真值（X X）-观测值（观测值（L L）从测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：误差，比如：1)1)对同一量多次观测，其观测值不相同。对同一量多次观测，其观测值不相同。2)2)观测值不等于理论值：观测值不等于理论值：三角形三角形 +180 +180 闭合水准闭合水准 h0 h01重庆交通大学课件2 2、测量误差的来源、测量误差的来源 测测量量工工作作是是在在一一定定条条件件下下进进行行的的，外外界界环环境境、观观测测者者的的技技术术水水平平和和感感官官鉴鉴
2、别别能能力力的的局局限限性性及及仪仪器器本本身身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。所以，测量误差主要来自以下三个方面：所以，测量误差主要来自以下三个方面：(1)(1)外外界界条条件件 主主要要指指观观测测环环境境中中气气温温、气气压压、空空气气湿湿度度和和清清晰晰度度、风风力力以以及及大大气气折折光光等等因因素素的的不不断断变变化化，导导致致测测量量结结果果中中带有误差。带有误差。(2)(2)仪仪器器条条件件 仪仪器器在在加加工工和和装装配配等等工工艺艺过过程程中中，不不能能保保证证仪仪器器的的结结构构能能满满足足各各种种几几何何关关系
3、系，这这样样的的仪仪器器必必然然会会给给测测量量带带来来误差。误差。(3)(3)观观测测者者的的自自身身条条件件 由由于于观观测测者者感感官官鉴鉴别别能能力力所所限限以以及及技技术术熟熟练练程程度度不不同同，也也会会在在仪仪器器对对中中、整整平平和和瞄瞄准准等等方方面面产产生生误误差。差。2重庆交通大学课件通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为个方面综合起来，称为观测条件观测条件。观测条件不理想。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为通常把
4、观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。不等精度观测。3重庆交通大学课件1 1）系统误差）系统误差 在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行了了n n次次观观测测，如如果果误误差差出出现现的的大大小小和和符符号号均均相相同同或或按按一一定定的的规规律律变变化化，这这种种误误差差称称为为系统误差。系统误差一般具有累积性。系统误差。系统误差一般具有累积性。系系统统误误差差产产生生的的主主要要原原因因之之一一，是是由由于于仪仪器器设设备备制制造造不不完完善善。例例如如，用用一一把把名名义义长长度度为为
5、50m50m的的钢钢尺尺去去量量距距，经经检检定定钢钢尺尺的的实实际际长长度度为为50.005 50.005 m m，则则每每量量一一尺尺，就就带带有有+0.005+0.005 m m的的误误差差(“+”(“+”表表示示在在所所量量距距离离值值中中应应加加上上)，丈丈量量的的尺尺段段越越多多，所所产产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。3 3、测量误差的分类、测量误差的分类 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统系统误差和偶然误差。误差和偶然误差。4重庆交通大学课件再再如如，在在水水准准测
6、测量量时时，当当视视准准轴轴与与水水准准管管轴轴不不平平行行而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为 ，它它与与水水准准仪仪至至水水准准尺尺之之间间的的距距离离S S成正比，所以这种误差按某种规律变化。成正比，所以这种误差按某种规律变化。系系统统误误差差具具有有明明显显的的规规律律性性和和累累积积性性，对对测测量量结结果果的的影影响响很很大大。但但是是由由于于系系统统误误差差的的大大小小和和符符号号有有一一定定的的规规律律，所所以以可可以以采采取取措措施施加加以以消消除除或或减减少少其影响。其影响。计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器
7、检校5重庆交通大学课件2 2）偶然误差）偶然误差 在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行了了n n次次观观测测，如如果果单单个个误误差差出出现现的的大大小小和和符符号号均均不不一一定定(无无规规律律)，则则这这种种误误差差称称为为偶偶然然误误差差，又又称称为为随随机机误误差差。例例如如，用用经经纬纬仪仪测测角角时时的的照照准准误误差差，钢钢尺尺量量距距时时的的读读数数误误差差等等，都都属属于偶然误差。于偶然误差。偶偶然然误误差差，就就其其个个别别值值而而言言，在在观观测测前前我我们们确确实实不不能能预预知知其其出出现现的的大大小小和和符符号号。但但若若在在一一定定的的观观测
8、测条条件件下下，对对某某量量进进行行多多次次观观测测，误误差差列列却却呈呈现现出出一一定定的的规规律律性性，称称为为统统计计规规律律。而而且且，随随着着观观测测次次数数的的增增加加，偶偶然然误误差的规律性表现得更加明显。差的规律性表现得更加明显。不可避免，无法消除，有互补性不可避免，无法消除，有互补性6重庆交通大学课件粗差与多余观测粗差与多余观测1 1、粗粗差差：因因读读错错、记记错错、测测错错造造成成的的错错误误，并非误差。并非误差。2 2、多多余余观观测测：观观测测某某未未知知量量时时进进行行的的多多于于必必要观测数外的观测。要观测数外的观测。目的：目的：发现错误，剔除粗差；发现错误，剔除
9、粗差；提高观测质量，进行精度评定。提高观测质量，进行精度评定。多余观测为什么不多余？（为什么要进行多余观测）7重庆交通大学课件二、偶然误差的统计特性二、偶然误差的统计特性 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了217217个三角形的个三角形的内角之和，得到内角之和，得到217217个三角形闭合差个三角形闭合差 i i(偶然误偶然误差，也即真误差差，也即真误差)，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i i 进行分析。进行分析。分析结果表明分析结果表明：当观测次数很多时，偶当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，
10、规律性越明显。而且，观测次数越多，规律性越明显。8重庆交通大学课件0.0000.00000.0020.0051“0.1680.5031090.1660.5108总和总和0.0030.00920.0030.0092“0.0090.02860.0080.0235“0.0120.03780.0120.0398“0.0150.046100.0180.05512“0.0250.074160.0220.06514“0.0280.083180.0230.06915“0.0310.092200.0320.09721“0.0450.134290.0460.13830“频率频率个数个数频率频率个数个数 为负值为负
11、值 为正值为正值误差的区间误差的区间9重庆交通大学课件10 -24-21-18-15-12-9-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 在一定观测条件下，偶然误差在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值的绝对值不会超过一定的限值绝对值较小的误差比绝绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概对值较大的误差出现的概率大率大；绝对值相等的正误绝对值相等的正误差和负误差出现的概差和负误差出现的概率相同；率相同；偶然误差的数学偶然误差的数学期望为零，即期望为零，即正态分布曲线正态分布曲线偶然误差具偶然误差具有正态分布有正态分布的特性的特性10重庆交通大学课件 第第一一个个特特
12、性性说说明明偶偶然然误误差差的的“有有界界性性”。它它说说明明偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值有有个个限限值值，若若超超过过这这个个限限值值，说说明明观观测测条条件件不不正正常常或或有有粗粗差差存存在在；第第二二个个特特性性反反映映了了偶偶然然误误差差的的“密密集集性性”，即即越越是是靠靠近近00，误误差差分分布布越越密密集集；第第三三个个特特性性反反映映了了偶偶然然误误差差的的对对称称性性，即即在在各各个个区区间间内内，正正负负误误差差个个数数相相等等或或极极为为接接近近；第第四四个个特特性性反反映映了了偶偶然然误误差差的的“抵抵偿偿性性”，它它可可由由第第三三特特性性导导出出，即即在在大大
13、量量的的偶偶然然误误差差中中，正正负负误误差差有有相相互互抵抵消消的的特特征征。因因此此，当当n n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评定其精度高低的方法。定其精度高低的方法。11重庆交通大学课件测量成果中都不可避免地测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，含有误差，在测量工作中，是使用是使用“精度精度”来判断观测成来判断观测成果质量好坏的。所谓精度，果质量好坏的。所
14、谓精度，就是指误差分布的密集或离就是指误差分布的密集或离散程度。误差分布密集，误散程度。误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大，误差分布离散，误差就大，精度就低。精度就低。三、评定精度的标准三、评定精度的标准xy精度较高精度较高精度较低精度较低12重庆交通大学课件1、中误差、中误差中误差的定义：中误差的定义：（n n为有限个数时的标准差）为有限个数时的标准差）方差的定义：方差的定义：标准差的定义：标准差的定义：+50+2-4-1-7+6乙组乙组-3-1-2+2+5甲组甲组真误差真误差例例:问题：真值X不知道时怎么办？如何计算m？13重庆交通大学课
15、件算术平均值（最或然值，最或是值）算术平均值（最或然值，最或是值）设某量的真值为，设某量的真值为，n个观测值为，其相应的个观测值为，其相应的真误差为：真误差为：将等式两端分别相加并除以将等式两端分别相加并除以n n，则：，则：由偶然误差的第四特性可得，当时，由偶然误差的第四特性可得，当时，即：即：14重庆交通大学课件观测值的该正数观测值的该正数观测值的改正数观测值的改正数v v是是算术平均值与观测值之差算术平均值与观测值之差，即，即将等式两端分别相加，得：将等式两端分别相加，得：即一组等精度观测值的改正值之和恒等于零即一组等精度观测值的改正值之和恒等于零用改正数计算中误差公用改正数计算中误差公
16、式（白塞尔公式）：式（白塞尔公式）：15重庆交通大学课件各各式式相相加加平方求和平方求和16重庆交通大学课件课堂练习课堂练习在相同的观测条件下，对某直线进行了五次测量，测量结果分别在相同的观测条件下，对某直线进行了五次测量，测量结果分别为为:117.255,117.258,117.246,117.261,117.250:117.255,117.258,117.246,117.261,117.250。求该直线边长。求该直线边长的观测值中误差。的观测值中误差。次数次数观测值观测值(m)改正数改正数V(mm)VV计计算算过过程程1117.2552117.2583117.2464117.2615117
17、.250-1-48-74586.27011664491614617重庆交通大学课件2、容许误差、容许误差 定义定义 由偶然误差的特性可知，在由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。值就是容许（极限）误差。区别误差和错误的界限区别误差和错误的界限中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。18重庆交通大学课件3、相对误差、相对误差 相相对对误误差差K K是是中中误误差差的的绝绝对对值值m m与与相相应应观观测测值值 D D之之比比，通通常
18、常以以分分子子为为1 1的的分分式式来来表表示示，称称其其为为相对（中）误差。即相对（中）误差。即:一般情况一般情况:角度、高差的误差用角度、高差的误差用m m表示，表示，量距误差用量距误差用K K表示。表示。19重庆交通大学课件 对对于于能能直直接接观观测测的的量量(如如角角度度、距距离离、高高差差等等)，经经过过多多次次观观测测后后，便便可可通通过过真真误误差差或或改改正正数数计计算算出出观观测测值值的的中中误误差差，作作为为评评定定观观测测值值精精度度的的标标准准。但但在在实实际际工工作作中中，某某些些未未知知量量不不可可能能或或不不便便于于直直接接进进行行观观测测，而而需需要要由由另另
19、一一些些直直接接观观测测量量根根据据一一定定的的函函数数关关系系计计算算出出来来(间间接接观观测测值值），这这些些未未知知量量即即为为观观测测值值的的函函数数。例例如如，在在水水准准测测量量中中，两两点点间间的的高高差差h=a-b，则则h是是直直接接观观测测值值a和和b的的函函数数；在在角角度度测测量量中中，水水平平角角=b-a，则水平角，则水平角就是直接观测值就是直接观测值a和和b的函数等等。的函数等等。本本节节所所要要讨讨论论的的就就是是在在直直接接观观测测值值中中误误差差为为已已知知的的情情况况下下，如如何何求求观观测测值值函函数数值值（间间接接观观测测值值）中中误误差差的的问问题题。阐
20、阐述述观观测测值值中中误误差差与与函函数数中中误误差差之之间间数数学学关关系系的的定定律律，称称为为误误差传播定律差传播定律。四、误差传播定律四、误差传播定律20重庆交通大学课件1 1、一般函数的中误差、一般函数的中误差令令 的系数为的系数为 ，(3)式为：式为：由于由于 和和 是一个很小的量，可是一个很小的量，可代替代替上式中的上式中的 和和 ：(3)代入代入(2)(2)得得对对(1)(1)全微分：全微分：(2)设有函数：为独立观测值为独立观测值设设 有真误差有真误差 ，函数，函数 也产生真误差也产生真误差(1)21重庆交通大学课件对对Z观测观测了了k次，次，有有k个式个式(4)对对(4)式
21、中的一个式子取平方：（式中的一个式子取平方：（i，j=1n且且ij）(5)对对K K个个(5)(5)式取总和：式取总和：(6)22重庆交通大学课件(6)(6)(6)式两边除以式两边除以K K，得，得(7)(7)式：式：(7)由偶然误差的抵偿性知：由偶然误差的抵偿性知：即即(8)23重庆交通大学课件(8)考虑考虑 ，代入上式，得中误差关系式：，代入上式，得中误差关系式：上式为一般函数的中误差公式，也称为上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律误差传播定律。24重庆交通大学课件 通过以上误差传播定律的推导，我们通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求可以总结出求观测值函数中误差的步骤观测
22、值函数中误差的步骤：1.1.列出函数式；列出函数式；2.2.对函数式求全微分；对函数式求全微分；3.3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。25重庆交通大学课件 1 1）倍数函数的中误差）倍数函数的中误差 设有函数式设有函数式 (x (x为观测值，为观测值，K K为为x x的系数的系数)全微分全微分 得中误差式得中误差式例：例：量得量得 地形图上两点间长度地形图上两点间长度 =168.5mm=168.5mm 0.2mm,0.2mm,计算该两点实地距离计算该两点实地距离S S及其中误差及其中误差m ms s：解：列函数式解：列函数式 求全微分求全微分 中误差式中误差式
23、2 2、几种常用函数的中误差、几种常用函数的中误差 26重庆交通大学课件2 2）线性函数的中误差）线性函数的中误差 设有函数式设有函数式 全微分全微分 中误差式中误差式例：设有某线性函数例：设有某线性函数 其中其中 、分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。解：对上式全微分：解：对上式全微分：由中误差式得：由中误差式得：27重庆交通大学课件由于等精度观测时，由于等精度观测时，代入上式：，代入上式：得得 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了差缩小了 倍。倍。函数式函数式 全微分全微分 中误
24、差式中误差式 算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 对某观测量进行多次观测对某观测量进行多次观测(多余观测多余观测)取平均，取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。是提高观测成果精度最有效的方法。28重庆交通大学课件3 3）和或差函数的中误差）和或差函数的中误差 函数式：函数式：全微分：全微分：中误差式：中误差式：当等精度观测时：当等精度观测时：上式可写成：上式可写成：例：测定例：测定A、B间的高差间的高差 ，共连续测了，共连续测了9站。设测量站。设测量 每站高差的中误差每站高差的中误差 ，求总高差，求总高差 的中的中 误差误差 。解：解：29重庆交通大学课件观测值函数中误差公式汇总 观测
25、值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式函数式 函数的中误差函数的中误差一般函数一般函数倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数 算术平均值算术平均值 30重庆交通大学课件下面让我们来看几个例题吧下面让我们来看几个例题吧31重庆交通大学课件按三角形的闭合差求测角中误差按三角形的闭合差求测角中误差已知对某已知对某n个三角形的内角进行了同精度观测，并求得个三角形的内角进行了同精度观测，并求得它们的闭合差分别为，求观测三角形它们的闭合差分别为，求观测三角形内角时的测角中误差内角时的测角中误差三角形闭合差的中误差：三角形闭合差的中误差：菲列罗公式菲列罗公式32重庆交通大学课件水
26、准测量中，已知每站高差的中误差为，设每站高水准测量中，已知每站高差的中误差为，设每站高差均为等精度观测，求每公里高差中误差和水准差均为等精度观测，求每公里高差中误差和水准路线为路线为公里的高差中误差公里的高差中误差设每站水准路线长为设每站水准路线长为s，则，则nS，即，即ns，代入上式得：，代入上式得：则水准路线为则水准路线为km的高差中误差为：的高差中误差为：33重庆交通大学课件 例例 某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。测测次次 观测值
27、观测值/m 观测值观测值改正数改正数v/m m vv 计计 算算 123456平平均均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-19225144432416676361304634重庆交通大学课件例：某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为例：某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为a=30.000m、b=15.000m,其中误差分别为其中误差分别为ma=0.005m、mb=0.003m，求该场地面积，求该场地面积A及其中误差及其中误差mA。1 1、列出函数关系式，并求函数值、列出函数关系
28、式，并求函数值A=ab=450.000mA=ab=450.000m2 22 2、求函数对各观测值的偏导函数、求函数对各观测值的偏导函数3 3、列出函数的真误差表达式、列出函数的真误差表达式4 4、转换为中误差表达式并求其值、转换为中误差表达式并求其值 解：显然这是一个任意函数。解：显然这是一个任意函数。35重庆交通大学课件设有函数设有函数 z=3x-y+2l 10其中：其中：x=2l+5,y=3l-6已知已知 l 的中误差为的中误差为 ml,计算函数计算函数z的中误差的中误差 mz。解法解法1.mx=2ml ,my=3ml mz2=9mx2+my2+4ml2=49ml2 mz=7ml36重庆交
29、通大学课件解法解法2.z=3x-y+2l 10，x=2l+5,y=3l-6z=6l+15-3l+6+2l 10 =5l+11 所以：所以：mz=5ml两种方法，两样结果，哪里错了？两种方法，两样结果，哪里错了？37重庆交通大学课件1.用某经纬仪测角时，若一方向观测一次的读数用某经纬仪测角时，若一方向观测一次的读数中误差为中误差为m方方=6,求用求用4测回测得某一角度时的测测回测得某一角度时的测角中误差角中误差m。2.已知某角观测四测回取平均值后的中误差为已知某角观测四测回取平均值后的中误差为10,今在同样的观测条件下今在同样的观测条件下,欲将测角中误差提欲将测角中误差提高到高到6,问至少需要观测几个测回问至少需要观测几个测回?38重庆交通大学课件