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1、第三章第三章 测量误差基本测量误差基本知识知识本讲稿第一页，共四十页9.1 9.1 观测误差的分类观测误差的分类一、观测误差基本概念一、观测误差基本概念 1 1、观测误差：、观测误差：某量的各观测值之间，或各观测值与其理某量的各观测值之间，或各观测值与其理论上的应有值论上的应有值(或最或然值或最或然值)之间的不符值，统称为观测之间的不符值，统称为观测误差。误差。2 2、真值与真误差、真值与真误差 a.a.真值：真值：观测量在理论上的应有值称为观测量的真值。观测量在理论上的应有值称为观测量的真值。b.b.真误差：真误差：观测量的真值与观测值之差称为真误差，即观测量的真值与观测值之差称为真误差，即
2、 3 3、最或然值与改正数、最或然值与改正数 a.a.最或然值：最或然值：根据某量观测值求得的该量的最终结果称根据某量观测值求得的该量的最终结果称为最或然值，或最可靠值、平差值。为最或然值，或最可靠值、平差值。b.b.改正数：改正数：观测量的最或然值与观测值之差称为改正数观测量的最或然值与观测值之差称为改正数即即 本讲稿第二页，共四十页二、观测误差产生因的原二、观测误差产生因的原 1.1.人的原因人的原因 由于观测者感觉器官的鉴别力的局限由于观测者感觉器官的鉴别力的局限性，在进行仪器的安置、瞄准、读数等性，在进行仪器的安置、瞄准、读数等工作时，都会产生一定的误差工作时，都会产生一定的误差。与此
3、同。与此同时，观测者的技术水平、工作态度也会时，观测者的技术水平、工作态度也会对观测结果产生不同的影响。对观测结果产生不同的影响。本讲稿第三页，共四十页 2.2.仪器的原因仪器的原因 观测所使用仪器都具有一定的精密度，而使观测结果观测所使用仪器都具有一定的精密度，而使观测结果受到相应的影响。受到相应的影响。例如使用只有厘米刻划的普通钢尺例如使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，就难以保证估读厘米以下的尾数的准确性。量距，就难以保证估读厘米以下的尾数的准确性。再说仪器本身也含有一定的误差，例如水准仪的视再说仪器本身也含有一定的误差，例如水准仪的视准轴不平行于水准管水准轴、水准尺的分划误差等准轴不平行于
4、水准管水准轴、水准尺的分划误差等等。显然，使用这些仪器进行测量也就给观测结果等。显然，使用这些仪器进行测量也就给观测结果带来误差。带来误差。本讲稿第四页，共四十页 3.3.外界环境的影响外界环境的影响 在观测过程中所处的外界自然环境，如地形、温度、湿度、在观测过程中所处的外界自然环境，如地形、温度、湿度、风力、大气折射等因素都会给观测结果带来种种影响。而且这风力、大气折射等因素都会给观测结果带来种种影响。而且这因素随时都有变化，由此对观测结果产生的影响也随之变化，因素随时都有变化，由此对观测结果产生的影响也随之变化，这就必然使观测结果带有误差。这就必然使观测结果带有误差。无论观测条件如何，都会
5、含有误差。但是各种因素引无论观测条件如何，都会含有误差。但是各种因素引起的误差性质是各不相同的，表现在对观测值有不同的影起的误差性质是各不相同的，表现在对观测值有不同的影响，影响量的数学规律也是各不相同的。因此，有必要将响，影响量的数学规律也是各不相同的。因此，有必要将各种误差影响根据其性质加以分类，以便采取不同的处理各种误差影响根据其性质加以分类，以便采取不同的处理方法。方法。本讲稿第五页，共四十页三、观测误差的分类与处理原则三、观测误差的分类与处理原则 1.1.系统误差系统误差 在相同观测条件下对某个固定量所进行的一系列观测中，在相同观测条件下对某个固定量所进行的一系列观测中，在在数值和符
6、号上固定不变，或按一定的规律变化的误差数值和符号上固定不变，或按一定的规律变化的误差，称，称为为系统误差系统误差。系统误差对观测结果的危害性很大，但由于它有系统误差对观测结果的危害性很大，但由于它有规律规律性性而可以设法将它消除或减弱。如在水准测量中，可以用而可以设法将它消除或减弱。如在水准测量中，可以用前后视距离相等的办法来减少由于仪器不水平造成的误差前后视距离相等的办法来减少由于仪器不水平造成的误差 。系统误差具有系统误差具有累积性累积性，所以要尽量采取合适的仪器、合，所以要尽量采取合适的仪器、合理的观测方法来消除其影响。理的观测方法来消除其影响。本讲稿第六页，共四十页 2.2.偶然误差偶
7、然误差 在相同的观测条件下对某个量进行重在相同的观测条件下对某个量进行重复观测中，如果单个误差的出现复观测中，如果单个误差的出现没有一定没有一定的规律性的规律性，也就是说单个误差在大小和符，也就是说单个误差在大小和符号都不固定，表现出号都不固定，表现出偶然性偶然性，这种误差称，这种误差称为为偶然误差偶然误差，或称为，或称为随机误差随机误差。在测量中，除不可避免的误差之外，在测量中，除不可避免的误差之外，还可能发生还可能发生错误错误。例如在观测时读错读数、。例如在观测时读错读数、记录时记错等等，在观测结果中是不允许记录时记错等等，在观测结果中是不允许存在错误的。存在错误的。本讲稿第七页，共四十页
8、 3.3.粗差粗差 由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为粗差，如瞄错目标、读错大数等。的误差称为粗差，如瞄错目标、读错大数等。4.4.误差处理原则误差处理原则 粗差是大于限差的误差，是由于观测者的粗心大粗差是大于限差的误差，是由于观测者的粗心大意或受到干扰造成的错误。错误应该可以避免，包意或受到干扰造成的错误。错误应该可以避免，包含有错误的观测值应该舍弃，并重新进行观测。含有错误的观测值应该舍弃，并重新进行观测。系统误差可通过采取适当的观测程序，或加以改系统误差可通过采取适当的观测程序，或加以改正消除或削弱。正消除或削弱。偶然误差偶然误差则
9、是不可避免则是不可避免的！的！本讲稿第八页，共四十页四、偶然误差的特性四、偶然误差的特性（以两组三角形闭合差为例以两组三角形闭合差为例）纵坐标：频率除以间隔纵坐标：频率除以间隔横坐标：误差大小横坐标：误差大小+2+1 1-1-2本讲稿第九页，共四十页 通过大量实验统计结果表明，特别是当观通过大量实验统计结果表明，特别是当观测次数较多时，可以总结出偶然误差具有如测次数较多时，可以总结出偶然误差具有如下的下的规律性规律性：1.1.在一定的观测条件下，偶然误差有界，即绝对值不在一定的观测条件下，偶然误差有界，即绝对值不会超过一定的限度；会超过一定的限度；（界限性）（界限性）2.2.绝对值小的误差比绝
10、对值大的误差出现的机会要大；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要大；（聚中性）（聚中性）3.3.绝对值相等的正误差与负误差，基其出现的机会基绝对值相等的正误差与负误差，基其出现的机会基本相等。本相等。（对称性）（对称性）4.4.当观测次数无限增多时、偶然误差的算术平均值趋近当观测次数无限增多时、偶然误差的算术平均值趋近于零。于零。本讲稿第十页，共四十页9.2 9.2 衡量精度的标准衡量精度的标准表征精度特征的量有如下几种：表征精度特征的量有如下几种：一、方差一、方差 当观测次数足够多时，误差分布符合正态分当观测次数足够多时，误差分布符合正态分布，在一定的观测条件下进行一组观测，它对布，在
11、一定的观测条件下进行一组观测，它对应着一定的误差分布。描述这种分布的方程为：应着一定的误差分布。描述这种分布的方程为：式中参数式中参数本讲稿第十一页，共四十页 式中参数式中参数 是观测误差的方差，是观测误差的方差，是观测误差的标准差（方根差或是观测误差的标准差（方根差或均方根差），当均方根差），当 愈小时，误差分布比较密集，表示该组观测质愈小时，误差分布比较密集，表示该组观测质量好些；当量好些；当 愈大时，误差分布比较分散，表示该组观测质量愈大时，误差分布比较分散，表示该组观测质量差些差些。由此可见，参数由此可见，参数 的值表征了的值表征了误差扩散的特征误差扩散的特征。精度：是指误差密集或离散
12、的程度。精度：是指误差密集或离散的程度。本讲稿第十二页，共四十页 二、中误差二、中误差 由于一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观由于一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观测结果的精度。所以测结果的精度。所以在评定观测精度时，只要设法计算出该在评定观测精度时，只要设法计算出该组误差所对应的标准差的值组误差所对应的标准差的值。在测量工作中，观测个数总是。在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述公式：有限的，为了评定精度，一般采用下述公式：m m 称为中误差。这里的方括号表示总和，称为中误差。这里的方括号表示总和，（i i=1=1，2,2,n n）为）为一组
13、同精度观测误差。一组同精度观测误差。从二者的公式可以看出，从二者的公式可以看出，中误差实际上是标准差的近似中误差实际上是标准差的近似值（估值）；随着值（估值）；随着n n 的增大，的增大，m m 将趋近于将趋近于 。本讲稿第十三页，共四十页 三、平均误差三、平均误差 在测绘工作中，有时用平均误差作为评定精度的指标，计算公在测绘工作中，有时用平均误差作为评定精度的指标，计算公式如下：式如下：称为平均误差，它是误差绝对值的平均值。平均误差称为平均误差，它是误差绝对值的平均值。平均误差与中误差的关系为与中误差的关系为本讲稿第十四页，共四十页 四、相对中误差四、相对中误差 有时中误差不能很好的体现观测
14、结果的精度。例如，观测有时中误差不能很好的体现观测结果的精度。例如，观测50005000米和米和10001000米的两段距离的中误差都是米的两段距离的中误差都是0.50.5米。从总的距离米。从总的距离来看它们的精度是相同的，但这两段距离单位长度的精度却是来看它们的精度是相同的，但这两段距离单位长度的精度却是不相同的。为了更好的体现类似的误差，在测量中经常采用相不相同的。为了更好的体现类似的误差，在测量中经常采用相对中误差来表示观测结果的精度。对中误差来表示观测结果的精度。本讲稿第十五页，共四十页 所谓所谓相对中误差相对中误差就是利用中误差与观测值的比就是利用中误差与观测值的比值值 来评定精度，
15、通常称此比值为相对中误来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差都要求写成分子为差。相对中误差都要求写成分子为1 1的分式，即的分式，即1 1N N。与相对误差相对应，与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误真误差、中误差、容许误差、平均误差差、平均误差都称为都称为绝对误差绝对误差。本讲稿第十六页，共四十页五、容许误差（极限误差）五、容许误差（极限误差）由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就称为偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就称为容许误差容许误差。经计算，绝对值大于一倍、
16、二倍、三倍中。经计算，绝对值大于一倍、二倍、三倍中误差的偶然误差的概率分别为误差的偶然误差的概率分别为31.731.7，4.64.6，0.30.3；即大于二倍中误差的偶然误差出现的概率很小，即大于二倍中误差的偶然误差出现的概率很小，大于大于三倍中误差的偶然误差出现的概率近于零三倍中误差的偶然误差出现的概率近于零，属于小概，属于小概率事件。率事件。本讲稿第十七页，共四十页 在实际测量工作中，以在实际测量工作中，以三倍中误差三倍中误差作为偶然误差作为偶然误差的极限误差，即容许误差：的极限误差，即容许误差：在精度要求较在精度要求较高高时，以时，以二倍中误差二倍中误差作为偶然误差的作为偶然误差的容许值
17、，即容许值，即 ，在测量上将，在测量上将大于大于2 2倍或倍或3 3倍中误差的偶然误差作为粗差倍中误差的偶然误差作为粗差，即错误来看待。，即错误来看待。本讲稿第十八页，共四十页9.3 9.3 误差传播定律误差传播定律 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为的定律，称为误差传播定律。误差传播定律。一、一、误差传播定律一般形式误差传播定律一般形式 设设Z Z为独立变量为独立变量 （即独立观测值）的函数，即（即独立观测值）的函数，即 若已知独立观测量若已知独立观测量 具有真误差具有真误差 相相应的中误差为应的中误差为 ，而，而Z Z的真误差为
18、的真误差为Z Z，相应的中误差相应的中误差 ，即，即 本讲稿第十九页，共四十页 这些真误差都是一个小量，将上式在处展开成级数，并这些真误差都是一个小量，将上式在处展开成级数，并取其近似值为：取其近似值为：即：即：若对各独立观测量进行了若对各独立观测量进行了k k次观测，每次所得方程自乘，然次观测，每次所得方程自乘，然后相加可得：后相加可得：本讲稿第二十页，共四十页 上式中，当上式中，当 时，上式中各偶然误差时，上式中各偶然误差的交的交叉项总和为零，又有叉项总和为零，又有 则则 或或 上式就是函数中误差与观测值中误差的一般关上式就是函数中误差与观测值中误差的一般关系式，即系式，即误差传播律的一般
19、形式误差传播律的一般形式。本讲稿第二十一页，共四十页 二、测量中常见的形式测量中常见的形式 1.1.倍数的函数倍数的函数 设有函数：设有函数：式中式中Z Z为观测值的函数，为观测值的函数，f f为常数（无误差，下同），为常数（无误差，下同），x x为观测值，已知其中误差为为观测值，已知其中误差为m mx x，现在求，现在求Z Z的中误差的中误差m mz z，则有：，则有：本讲稿第二十二页，共四十页 2.和或差的函数和或差的函数 设有函数设有函数 式中式中Z Z是是 的和或差的函数，的和或差的函数，为独立观测值，已知它们的中误差为为独立观测值，已知它们的中误差为 ，现在求，现在求Z Z的中误差的
20、中误差 ,则有则有 若各观测值是同精度时，即若各观测值是同精度时，即 ，则有，则有本讲稿第二十三页，共四十页 3.线性函数线性函数 设有函数设有函数 式中式中 为独立观测值，已知它们的中为独立观测值，已知它们的中误差为误差为 ，现在求，现在求Z Z的中误差的中误差 ,则有则有 对于任意非线性的函数都可以展开成级数，变换成对于任意非线性的函数都可以展开成级数，变换成线性形式，再利用误差传播律进行计算。线性形式，再利用误差传播律进行计算。本讲稿第二十四页，共四十页9.4 9.4 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了设在相同的观测条件下对未知量观测
21、了n n次，观测值次，观测值为为 ，现在要根据这，现在要根据这n n个观测值确定出该个观测值确定出该未知量的最或然值。未知量的最或然值。设未知量的真值为设未知量的真值为X X，则可写出观测值的真误差公式为，则可写出观测值的真误差公式为 将上式相加得将上式相加得 本讲稿第二十五页，共四十页 设以设以x表示上式观测值的算术平均值，则有表示上式观测值的算术平均值，则有 其中其中 将上式两边取极限，得将上式两边取极限，得 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，趋近于零，即时，趋近于零，即 本讲稿第二十六页，共四十页 可见：可见：n n趋近无穷大时，算术
22、平均值即趋近无穷大时，算术平均值即为真值为真值。在实际应用中，。在实际应用中，不论观测次数的多不论观测次数的多少均以算术平均值少均以算术平均值 x 作为未知量的最或然作为未知量的最或然值值，这是误差理论中的一个公理。，这是误差理论中的一个公理。这种这种只有一个未知量只有一个未知量的平差问题，在传的平差问题，在传统的平差计算中称为统的平差计算中称为直接平差直接平差。本讲稿第二十七页，共四十页 现在来推导算术平均值的中误差公式：现在来推导算术平均值的中误差公式：式中，式中，为常数。由于各独立观测值的精度相为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为同，设其中误差均为m m。以。以 表示算术平
23、均值的中误表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为差，则可得算术平均值的中误差为 故故 现在来推导算术平均值的中误差公式：现在来推导算术平均值的中误差公式：式中，式中，为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为中误差均为m m。以。以 表示算术平均值的中误差，则可得表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为算术平均值的中误差为 故故 本讲稿第二十八页，共四十页 可以看出，随着可以看出，随着n n的增大，的增大，x x的精度不断提的精度不断提高，那么，随意增加观测个数对高，那么，随意增加观测个数对L L的精度都有利的精度都有利而经
24、济上又合算的呢？而经济上又合算的呢？设观测值精度在一定时，例如设设观测值精度在一定时，例如设m=1m=1时，当时，当n n取不同值时，可得取不同值时，可得m mx x值如表值如表6.4-16.4-1：n1234561020304050100mx1.000.710.580.500.450.410.320.220.180.160.140.10表表9.4-1本讲稿第二十九页，共四十页 可以看出，随着可以看出，随着n n的增大，的增大，m mx x值不断减少，即值不断减少，即x x的精度不断提高。但是，的精度不断提高。但是，当观测次数增加到某一定当观测次数增加到某一定的数目以后，再增加观测次数，精度就
25、提高得很少的数目以后，再增加观测次数，精度就提高得很少。可见，要提高最或然值的精度，单靠增加观测次数是可见，要提高最或然值的精度，单靠增加观测次数是不经济的，需要考虑采不经济的，需要考虑采用适当的仪器、改进操作方法用适当的仪器、改进操作方法等。等。本讲稿第三十页，共四十页9.5 9.5 加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定 一、一、广义算术平均值广义算术平均值 设对未知量进行了设对未知量进行了n次同精度观测，得次同精度观测，得 ；现将现将n个观测值分成两组，其中第一组有个观测值分成两组，其中第一组有n1个观个观测值，第二组有测值，第二组有n2个观测值，则个观测值，则 。将两组观测值分别
26、进。将两组观测值分别进行平差计算。分别求得两组观测值的算术平均值，并以行平差计算。分别求得两组观测值的算术平均值，并以 及及 表示为：表示为：（1）本讲稿第三十一页，共四十页 设观测值的中误差为设观测值的中误差为m m，则它们的中误差可求得，为：，则它们的中误差可求得，为：（2 2）根据全部同精度观测值求该未知量的最或然值为：根据全部同精度观测值求该未知量的最或然值为：（3 3）得得 （4 4）本讲稿第三十二页，共四十页 从上式可见，如果将从上式可见，如果将 及及 看成两个不同精度观看成两个不同精度观测值，则为求被观测量的最或然值时，在本例的情况下，只测值，则为求被观测量的最或然值时，在本例的
27、情况下，只要考虑求得它们的观测次数要考虑求得它们的观测次数n n1 1和和n n2 2，并代入（，并代入（4 4）式就可求得。为）式就可求得。为了得出由不同精度观测值求被观测量的最或然值的一般公式，可将了得出由不同精度观测值求被观测量的最或然值的一般公式，可将（2 2）式代入（）式代入（4 4）式，得）式，得 （5 5）从上式可见，如果将上式中的从上式可见，如果将上式中的m m2 2换成另一常数，并不影响换成另一常数，并不影响x x的值。的值。在测量工作中，令在测量工作中，令 （6 6）本讲稿第三十三页，共四十页 则则 （7）可以看出，可以看出，的精度愈高，则的精度愈高，则mi愈小，而愈小，而
28、 愈大，相应的愈大，相应的 在在x中的比重就大。反之，中的比重就大。反之，的精度愈低，即的精度愈低，即mi愈大，而愈大，而 愈小，相应的愈小，相应的 在在x中的比重就小。所以，也可以说：中的比重就小。所以，也可以说：值的大值的大小，权衡了观测值小，权衡了观测值 在在x中所占比重的大小，故称中所占比重的大小，故称 为为 的的权权。对于对于同精度观测值同精度观测值的算术平均值的算术平均值L L来说，来说，其权就是其权就是参与计算的观测值的次数参与计算的观测值的次数。本讲稿第三十四页，共四十页 当对某未知量进行了当对某未知量进行了n次不同精度观测，得次不同精度观测，得 ，其相应的权为，其相应的权为
29、，求该量的最或然值时，求该量的最或然值时，可将（可将（7）式扩充为：）式扩充为：称上式为称上式为广义算术平均值广义算术平均值，或，或带权平均值带权平均值。本讲稿第三十五页，共四十页 二、二、权权 求权的基本公式为（求权的基本公式为（6）式，即）式，即 （8）式中式中 是任意常数。这个是任意常数。这个 值含有什么意义呢？值含有什么意义呢？可可见见：当当 时时，所所以以 是是权权等等于于1的的观观测测值值的的中中误误差差，通通常常称称等等于于1的的权权为为单单位位权权，权权为为1的的观观测测值值为为单单位位权权观观测测值值。而而 为为单单位位权权观测值的中误差，简称为单位权中误差。观测值的中误差，
30、简称为单位权中误差。本讲稿第三十六页，共四十页 权反映了观测值之间的相互精度关系权反映了观测值之间的相互精度关系。就计算。就计算p p值来说，不在乎权本身数值的大小，而值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定在于确定它们之间的比例关系它们之间的比例关系。由（。由（5 5）式可知：）式可知：值的不同，值的不同，对对x x 值的计算毫无影响，即它并不改变最或然值的计值的计算毫无影响，即它并不改变最或然值的计算结果。算结果。本讲稿第三十七页，共四十页 这里不加证明地说明常见测量方式的定权方法：这里不加证明地说明常见测量方式的定权方法：1 1、同精度测量边长时，边长的权与边长成反比；同精度测量边长时
31、，边长的权与边长成反比；即即2 2、每公里水准测量精度相同时，水准路线观测高差的权每公里水准测量精度相同时，水准路线观测高差的权与路线长度成反比；即与路线长度成反比；即3 3、各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比；即权与测站数成反比；即4 4、由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。即与观测值个数成正比。即本讲稿第三十八页，共四十页 三、三、观测值函数的权观测值函数的权 求观测值函数的权可以按误差传播定律求出观测函数求观测值函数的权可以按误差传播定律求出观测函数的中误差，然后按（的中误差，然后按（8）式定其权。）式定其权。设有独立观测值设有独立观测值 ，它们的中误差及权分别，它们的中误差及权分别为为 和和 。令观测值函数为令观测值函数为 按误差传播定律：按误差传播定律：按定权公式（按定权公式（8）得：）得：本讲稿第三十九页，共四十页 式中式中 是常量，用是常量，用 表示，即表示，即 =。上式约去。上式约去 后得，后得，这就是独立观测值权倒数与其函数权倒数之间关系的这就是独立观测值权倒数与其函数权倒数之间关系的表达式。这个表达式称为表达式。这个表达式称为权倒数传播律权倒数传播律。本讲稿第四十页，共四十页