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1、测量第六章测量误差的基本知识本讲稿第一页，共二十五页对未知量进行测量的过程，称为对未知量进行测量的过程，称为观测观测。测量所获得的数值称为测量所获得的数值称为观测值观测值。进行多次测量时，进行多次测量时，观测值之间往往存在差异观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表。这种差异实质上表现为现为观测值与其真实值观测值与其真实值(简称为真值简称为真值)之间的差异之间的差异，这种差异称为，这种差异称为测量测量误差误差 或或 观测误差。观测误差。6.1 观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类6.1.1 6.1.1 观测及观测误差观测及观测误差用用L Li i代表
2、观测值，代表观测值，X X代表真值，则有代表真值，则有i i=L=Li i-X-X(6-1)(6-1)式中式中i i就是观测误差，通常称为就是观测误差，通常称为 真误差真误差，简称，简称误差误差。一般情况下，一般情况下，只要是观测值必然含有误差只要是观测值必然含有误差只要是观测值必然含有误差只要是观测值必然含有误差。本讲稿第二页，共二十五页观测误差来源于三个方面观测误差来源于三个方面（观测条件观测条件）：）：观测者视觉鉴别能力和技术水平；观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。观测时外界条件的好坏。观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的
3、各次观测称为等精度观测等精度观测；观测条件不相同的观测条件不相同的各次观测，称为各次观测，称为非等精度观测非等精度观测。6.1观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类6.1.2 6.1.2 观测误差的来源观测误差的来源一一般般认认为为，在在测测量量中中人人们们总总希希望望测测量量误误差差越越小小越越好好，甚甚至至趋近于零。趋近于零。在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差。在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差。本讲稿第三页，共二十五页根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误
4、差6.1观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类6.1.3 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法1 1、系统误差、系统误差符号和大小保持不变或按一定规律变化。符号和大小保持不变或按一定规律变化。系统误差具有积累性，对测量结果影响很大系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。尽量设法消除和减小系统误差，方法有：尽量设法消除和减小系统误差，方法有：在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响。的影响。找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的找出产生
5、系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正。改正。将系统误差限制在允许范围内。将系统误差限制在允许范围内。如，经纬仪照准部如，经纬仪照准部管管水准器轴水准器轴不垂直于不垂直于仪器竖轴仪器竖轴的误差对水平角的的误差对水平角的影响，将其影响减小到允许范围内。影响，将其影响减小到允许范围内。本讲稿第四页，共二十五页2 2、偶然误差、偶然误差在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测时，符号和大小均不一定。时，符号和大小均不一定。6.1观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类6.1.3 6.1.3 观测误差的分类及其处
6、理方法观测误差的分类及其处理方法产生原因：产生原因：不固定的不固定的和和难以控制难以控制的。如观测者的估读误差、照准误的。如观测者的估读误差、照准误差等；不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。差等；不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。偶然误差是不可避免偶然误差是不可避免的，的，并且是消除不了的并且是消除不了的。它在消除了一定的系它在消除了一定的系统误差的观测值中占主导地位。统误差的观测值中占主导地位。从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并
7、且误差个大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显数越多，规律性越明显。例如某一测区在相同观测条件下观测了例如某一测区在相同观测条件下观测了368368个三角形的全部内角。个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值180(180(表表6-1)6-1)本讲稿第五页，共二十五页6.1观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类6.1.3 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法规律：小误差比大误差出现的频率高；
8、规律：小误差比大误差出现的频率高；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近；最大误差不超过最大误差不超过24。本讲稿第六页，共二十五页6.1观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类6.1.3 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：特性特性1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。值不超过一定的限值。(有界性有界性)特性特
9、性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。率小。(大小性大小性)特性特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(对称性对称性)特性特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，即，即(抵偿性抵偿性)本章此处及以后本章此处及以后“”表示取括号中下标变量的代数和表示取括号中下标变量的代数和，即，即 i i=本讲稿第七页，共二十五页6.1观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类观测误差来源及其分类6.
10、1.3 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法 图示法图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表的数据，以误差大小可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表的数据，以误差大小为横坐标，以频率为横坐标，以频率k/n与区间与区间d的比值为纵坐标，如图所示。的比值为纵坐标，如图所示。频率直频率直方图方图。可以设想，当误差个数可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间，同时又无限缩小误差区间d，图中各，图中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为误差分布曲线误差分布曲线。本讲稿第八页，共二十五页6.2观测量的估计及精度评
11、定观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定 在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都具有同样的一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都具有同样的精度。为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法，精度。为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法，绘绘出频率直方图或误差分布表加以分析来衡量出频率直方图或误差分布表加以分析来衡量。但这样做实际应用十但这样做实际应用十分不便，又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能分不便，又缺乏一个简单的关于精
12、度的数值概念。这个数值应该能反映误差分布的密集或离散程度，即应反映误差分布的密集或离散程度，即应反映其离散度的大小反映其离散度的大小，作为，作为衡量精度的指标。衡量精度的指标。本讲稿第九页，共二十五页6.2观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定6.2.1 6.2.1 中中 误误 差差 在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中定义在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中定义中误中误差差mm作为衡量精度的一种标准：作为衡量精度的一种标准：1、真值已知、真值已知2、真值未知、真值未知i i=L=Li i-X-X真误差真误差：观测值与真
13、值之差：观测值与真值之差：v =l-L -L 本讲稿第十页，共二十五页6.2观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定6.2.2 6.2.2 相相 对对 误误 差差 中误差和真误差都是中误差和真误差都是绝对误差绝对误差。在衡量观测值精度时，单纯用绝对误差有时不能完全表达精在衡量观测值精度时，单纯用绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为度的优劣。例如，分别测量了长度为100m和和200m的两段距离，中的两段距离，中误差皆为误差皆为0.02m。显然不能认为两段距离测量精度相同。为了客观地。显然不能认为两段距离测量精度相同。为了客观地
14、反映实际精度，必须引入相对误差的概念。反映实际精度，必须引入相对误差的概念。相对误差相对误差K是是中中误差误差m的绝对值与观测值的绝对值与观测值D的比值的比值：本讲稿第十一页，共二十五页6.2观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定观测量的估计及精度评定6.2.3 6.2.3 极限极限 误误 差和容许误差差和容许误差极限误差极限误差由偶然误差的特性由偶然误差的特性1可知，可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这就是值不会超过一定的限值。这就是极限误差极限误差。容许误差容许误差测量实践中，是测量实践中，是在极限误
15、差范围内利用容许误差对偶然误差的大小进在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的大小进行数量限制行数量限制的。的。在实际应用的测量规范中，在实际应用的测量规范中，常常以以2倍倍或或3倍倍中误差作为偶然误差的容许中误差作为偶然误差的容许值，称为值，称为容许误差容许误差，即，即容容2m或或容容3m如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。靠，应舍去不用，并重测。本讲稿第十二页，共二十五页5.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律律律律前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出
16、在测量工作中前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量工作中通常以中误差作为衡量精度的指标通常以中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些未知量不可能或不。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜，可以用光电测距仪测量斜距距S，并用经纬仪测量竖直角，并用经纬仪测量竖直角，以函数关系，以函数关系D=Scos来推算。显然，在此来推算。显然，在此
17、情况下，情况下，函数函数D的中误差与观测值的中误差与观测值S及及的中误差之间的中误差之间，必定有一定的关系。，必定有一定的关系。阐述这种函数关系的定律，称为阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律误差传播定律。设有一般函数设有一般函数Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17)式中式中X1、X2、，Xn为可为可直接观测直接观测的未知量；的未知量；Z为不便于直接观测的为不便于直接观测的未知量。未知量。其中函数其中函数Z的中误差为的中误差为mZ，各独立变量，各独立变量X1、X2，Xn对应的观测值对应的观测值中误差分别为中误差分别为m1,m2,mn，如果知道了，如果知道了mz与与mi之间的关系，就可由各
18、变量之间的关系，就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观测值中误差与共函数的中误各变量的观测值中误差与共函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律差之间的关系式，称为误差传播定律。Z=f(X1,X2,，Xn)(5-17)本讲稿第十三页，共二十五页5.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律律律律设设xi(i=1、2、n)的独立观测值为的独立观测值为 li,其相应的真误差为其相应的真误差为xi。由于。由于xi的存在，使函数的存在，使函数Z亦产生相应的亦产生相应的真误差真误差Z。将。将(5-17)取全微分取全微分因误差因误差xi及及
19、Z都很小，故在上式中，可近似用都很小，故在上式中，可近似用xi及及Z代替代替dx及及dz，于是有，于是有式中式中 为函数为函数f对各自变量的偏导数。将对各自变量的偏导数。将xi=li代入各偏导数中，即代入各偏导数中，即为确定的常数，设为确定的常数，设则上式可写成则上式可写成Z=f1x1+f2x2+fnxn为了求得函数和观测值之间的为了求得函数和观测值之间的中误差关系式中误差关系式，设想对各，设想对各xi进行了进行了k次观测，次观测，则可写出则可写出k个类似上式的关系式个类似上式的关系式Z=f1x1+f2x2+fnxn本讲稿第十四页，共二十五页5.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定
20、定定 律律律律将上式各式等号两边平方后，再相加，得将上式各式等号两边平方后，再相加，得上式两端各除以上式两端各除以k本讲稿第十五页，共二十五页5.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律律律律设对各设对各xi的观测值的观测值li为彼此独立的观测，则为彼此独立的观测，则xixj当当ij时，亦为时，亦为偶然误差偶然误差。根据偶然误差的特性根据偶然误差的特性 4 可知，可知，上式末项当上式末项当k时趋近于零时趋近于零，即，即故故根据中误差（标准差）的定义（根据中误差（标准差）的定义（5-5)，上式可写成，上式可写成当当k为有限值时，可写为为有限值时，可写为：本讲稿第十六页，共二十五页
21、6.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律及应用律及应用律及应用律及应用上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：各各观测值是相互独立的变量观测值是相互独立的变量。利用它可导出表所列简单函数的误差传播公式：利用它可导出表所列简单函数的误差传播公式：本讲稿第十七页，共二十五页最或然值的中误差最或然值的中误差设对某量进行设对某量进行n次次等精度观测等精度观测，观测值为，观测值为l1,l2,，ln,中误差为中误差为m。最最或然值或然值x 的中误差的中误差M的计算公式推导如下：的计算公式推导如下：根据误差传播定律，
22、有：根据误差传播定律，有：所以所以6.3 误误误误 差差差差 传传传传 播播播播 定定定定 律及应用律及应用律及应用律及应用本讲稿第十八页，共二十五页6.4加加加加权平均值与中误差权平均值与中误差权平均值与中误差权平均值与中误差不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值“权权”的数值来表示。的数值来表示。“权权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内例如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了各观测值是等精度的。设第一
23、组观测了4次，其观测值为次，其观测值为l1、l2、l3、l4；第二组观测了第二组观测了3次，观测值为次，观测值为l1、l2、l3。这些观测值的可靠程度都。这些观测值的可靠程度都相同，每组分别取算术平均值作为最后观测结果，即相同，每组分别取算术平均值作为最后观测结果，即本讲稿第十九页，共二十五页对于观测值对于观测值L1、L2来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应为：来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应为：权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比值，权通常用字母值，权通常用字母p表示，且恒取正值。表示，且恒取正值。6.4加加加加权平均值与中误差
24、权平均值与中误差权平均值与中误差权平均值与中误差本讲稿第二十页，共二十五页一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，也可根据中条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，也可根据中误差来定义观测值的权。误差来定义观测值的权。1 1 权与中误差的关系权与中误差的关系设设n个不等精度观测观测值的中误差分别为个不等精度观测观测值的中误差分别为m1，m2，mn，则权可以用，则权可以用下式来定义：下式来定义：其中其中可取为任意正常数可取为任意正常数。前面所举的例子，前
25、面所举的例子，l1、l2、l3、l4和和l1、l2、l3是等精度观测，则第是等精度观测，则第1组的组的算术平均值算术平均值L1的中误差的中误差m1可以得：可以得：同理，可得第同理，可得第2组算术平均值组算术平均值L2的中误差为：的中误差为：6.4加加加加权平均值与中误差权平均值与中误差权平均值与中误差权平均值与中误差本讲稿第二十一页，共二十五页在式在式(6-42)中分别代入中分别代入m1和和m2，得：，得：1 1 权与中误差的关系权与中误差的关系式中式中为任意常数。设为任意常数。设=m2,则则L1、L2的权为的权为权与中误差的平方成反比权与中误差的平方成反比。任意选择。任意选择值，可以使权变为
26、便于计算值，可以使权变为便于计算的数值的数值。L1：L2：p1=4 ,p2=36.4加加加加权平均值与中误差权平均值与中误差权平均值与中误差权平均值与中误差本讲稿第二十二页，共二十五页设对同一未知量进行了设对同一未知量进行了n次非等精度观测，观测值为次非等精度观测，观测值为l1、l2、ln，其相应的权为其相应的权为p1、p2、pn，则加权算术平均值则加权算术平均值L0为为非等精度观测值非等精度观测值的的最或是值最或是值(最可靠值最可靠值)，其计算公式可写为，其计算公式可写为2 2 加加权平均值与中误差的关系权平均值与中误差的关系式中式中vi=li-L0为最或是误差。为最或是误差。或或由式由式(6-47)，根据误差传播定律，可得，根据误差传播定律，可得L0的中误差的中误差M0为：为：式中式中:m1，m2,mn为为l1,l2ln的中误差。的中误差。6.4加加加加权平均值与中误差权平均值与中误差权平均值与中误差权平均值与中误差本讲稿第二十三页，共二十五页习题与思考题习题与思考题1、2、3、4本讲稿第二十四页，共二十五页本讲稿第二十五页，共二十五页