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1、第七章随机变量的数字特征本讲稿第一页，共八十四页 3 3、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。随机变量的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特特征。随机变量的数
2、字特征就是用数字表示随机变量的分布特点，在理论和实践上都具有重要的意义。点，在理论和实践上都具有重要的意义。第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征本讲稿第二页，共八十四页第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望数学期望 方差和标准差方差和标准差 协方差和相关系数协方差和相关系数 切比雪夫不等式及大数定理切比雪夫不等式及大数定理 中心极限定理中心极限定理本讲稿第三页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望从平均数说起，设以数据集从平均数说起，设以数据集 2，3，2，4，2，3，4，5，
3、3，2为总体，求其平均数（设为为总体，求其平均数（设为）=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+22+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10/10 =（24+33+42+5124+33+42+51）/10/10 =24/10+33/10+42/10+51/10 =24/10+33/10+42/10+51/10 =3 =3概括得：概括得：本讲稿第四页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望下面我们逐步分析如何由分布来求下面我们逐步分析如何由分布来求“均值均值”：（1 1）算术平均：如果有）算术平均：如果有n n个
4、数个数x x1 1,x,x2 2,x,xn n，那么求这，那么求这n n个数的算个数的算术平均，只需将此术平均，只需将此n n个数相加后除以个数相加后除以n n，即，即 （2 2）加权平均：如果这）加权平均：如果这n n个数中有相同的，不妨设其中有个数中有相同的，不妨设其中有n ni i 个个取值为取值为x xi i(i=1,2,k)(i=1,2,k)，列表为，列表为 频频率率频频数数取取值值本讲稿第五页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望其实，这个其实，这个“加权加权”平均的权数平均的权数n ni i/n/n
5、 就是出现数值就是出现数值 x xi i的频率，的频率，而频率在而频率在 n n 很大时，就稳定在其概率附近。很大时，就稳定在其概率附近。（3 3）对于一个离散随机变量）对于一个离散随机变量 X X，如果其可能取值为，如果其可能取值为x x1 1,x,x2 2,x,xn n，若将这若将这n n个数相加后除以个数相加后除以n n作为作为“均值均值”，则肯定是不妥的，则肯定是不妥的，原因在于原因在于X X 取各个值的概率是不同的，概率大的出现的机取各个值的概率是不同的，概率大的出现的机会就大，在计算中其权数就应该大。会就大，在计算中其权数就应该大。用取值的概率作为一种用取值的概率作为一种“权数权数
6、”作加权平均是十分合理的。作加权平均是十分合理的。本讲稿第六页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1.定义定义 设离散随机变量设离散随机变量X X的分布律为的分布律为 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望为随机变量为随机变量X X的的数学期望数学期望，或称为该分布的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。简称期望或均值。若级数若级数 不收敛不收敛,则称则称X X的期望不存在。的期望不存在。如果如果则称则称XPx1 x2 xn p1 p2 pn 本讲稿第七页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机
7、变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望(1)X(1)X的期望的期望E(X)E(X)是一个数，它形式上是是一个数，它形式上是X X的可能值的加权的可能值的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它体现了平均，其权重是其相应的概率，实质上它体现了X X取值的真取值的真正平均，为此我们又称它为正平均，为此我们又称它为X X的均值。因为它完全由的均值。因为它完全由X X的分的分布所决定，所以又称为分布的平均值。布所决定，所以又称为分布的平均值。(2)E(X)(2)E(X)作为刻划作为刻划X X的某种特性的数值，不应与各项的的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。排列
8、次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。注释注释本讲稿第八页，共八十四页所以所以A A 的射击技术较的射击技术较B B的好的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称例例:有有A A，B B 两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？射手本领较好？解解 A A射击平均击中环数为射击平均击中环数为B B射击平均击中环数为射击平均击中环数为本讲稿第九页，共八十四页例例:设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销
9、售不出去而回收。根据市场分定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为析，这三种情况发生的概率分别为0.60.6，0.30.3，0.10.1。在这三种情。在这三种情况下每件产品的利润分别为况下每件产品的利润分别为1010元，元，0 0元，元，1515元（即亏损元（即亏损1515元）。元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？问厂家对每件产品可期望获利多少？解解:设设X X表示一件产品的利润（单位元），表示一件产品的利润（单位元），X X是随机变量，是随机变量，且且X X的分布律为的分布律为 X 10 0 -15 P 0.6 0.3 0.1 依题意，所要求的
10、是依题意，所要求的是X X的数学期望的数学期望 E(X)=100.6+00.3+(-15)0.1=4.5(E(X)=100.6+00.3+(-15)0.1=4.5(元元)本讲稿第十页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望2.2.几种典型的离散型随机变量的数学期望几种典型的离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望i.Xi.X服从参数为服从参数为p p的的(0,1)(0,1)分布：分布：ii.ii.若若X X b(n,p),b(n,p),则则E(X)=npE(X)=np；证明：证明：X X的分布律为的分布律为E(X)=0(1-p)+
11、1p=pE(X)=0(1-p)+1p=p；X 0 1 P q p 本讲稿第十一页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望2.2.几种典型的离散型随机变量的数学期望几种典型的离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望iii.iii.若若X X P()P()，则，则E(X)=E(X)=。证明：证明：X X的分布律为的分布律为 本讲稿第十二页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 1.1.定义定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度
12、为f(x)f(x)，如果如果 则称则称 为随机变量为随机变量X X的数学期望，记为的数学期望，记为E(X).E(X).本讲稿第十三页，共八十四页例例:设随机变量设随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为试求试求X X的数学期望的数学期望解解本讲稿第十四页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望2.2.几种典型的连续型随机变量的数学期望几种典型的连续型随机变量的数学期望 i.i.若若X X U(a,b),U(a,b),则则 E(X)=(a+b)/2E(X)=(a+b)/2.证：证：X X的概率密度为的概率密度为
13、本讲稿第十五页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望2.2.几种典型的连续型随机变量的数学期望几种典型的连续型随机变量的数学期望证：证：X X的概率密度为的概率密度为ii.ii.若若X X N(,N(,2 2)，则，则 E(X)=E(X)=.特别地，若特别地，若X X N(0,1)N(0,1)，则，则E(X)=0.E(X)=0.本讲稿第十六页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望2.2.几种典型的连续型随机变量的数学期望几种典型的连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连
14、续型随机变量的数学期望证：证：X X的概率密度为的概率密度为iii.iii.若若X X服从参数为服从参数为的指数分布，则的指数分布，则 E(X)=1/E(X)=1/.本讲稿第十七页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望三、随机变量的函数的数学期望三、随机变量的函数的数学期望定理定理 设设Y Y是随机变量是随机变量X X的函数的函数:Y=g(X)(g:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)，(1)X(1)X是离散型随机变量，它的分布律为是离散型随机变量，它的分布律为PX=PX=x xk k=p=pk k ，k=1k=1，2 2，若若 绝对收敛，绝对收敛，则有则有(2)X
15、(2)X是连续型随机变量，它的概率密度为是连续型随机变量，它的概率密度为f f(x x)，若若 绝对收敛，绝对收敛，则有则有本讲稿第十八页，共八十四页例例 已知随机变量的分布律如下已知随机变量的分布律如下求求解解0.2 0.1 0.1 0.3 0.30.2 0.1 0.1 0.3 0.3-2 -1 0 1 2-2 -1 0 1 2 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 0.3 0.30.1 0.4 0.5 0 1 4对相同的值合并，并把对应的概率相加，可得对相同的值合并，并把对应的概率相加，可得所以所以或或的数学期望。的数学期望。的分布律为的分布律为本讲稿第十九页，共
16、八十四页例：某公司生产的机器其无故障工作时间例：某公司生产的机器其无故障工作时间X X有密度函数有密度函数公司每出售一台机器可获利公司每出售一台机器可获利16001600元元,若机器售出后使用若机器售出后使用1.21.2万万小时之内出故障小时之内出故障,则应予以更换则应予以更换,这时每台亏损这时每台亏损12001200元元;若在若在1.21.2到到2 2万小时之间出故障万小时之间出故障,则予以维修则予以维修,由公司负担维修费由公司负担维修费400400元元;在使用在使用2 2万小时以后出故障万小时以后出故障,则用户自己负责则用户自己负责.求该公司售出每求该公司售出每台机器的平均获利台机器的平均
17、获利.解解:设设Y Y表示售出一台机器的获利表示售出一台机器的获利.则则本讲稿第二十页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望三、随机变量的函数的数学期望三、随机变量的函数的数学期望 定理定理:设设Z Z是随机变量是随机变量X,YX,Y的函数的函数Z=g(X,Y)(gZ=g(X,Y)(g是连续函数是连续函数).).(1)(1)设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为(2)(2)设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)(X,Y)的分布密度为的分布密度为f(f(x x,y y),),若若若若则则则则本讲稿第二十一页，共八十四页例例:设（设（X,YX
18、,Y）的联合分布律如下，）的联合分布律如下，Z=XYZ=XY，求，求E(Z).E(Z).解解 XY 1 2 3 010.1 0.15 0.25 0.25 0.15 0.1 本讲稿第二十二页，共八十四页例：设例：设(X(X，Y)Y)服从服从A A上的均匀分布上的均匀分布,其中其中A A为由为由x x轴，轴，y y轴及直线轴及直线x+y/2=1x+y/2=1围成的平面三角形区域围成的平面三角形区域,求求E(XY)E(XY)x+y/2=1x+y/2=12 20 01 1x xy y解：解：本讲稿第二十三页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的
19、性质1.1.若若C C是常数是常数,则则 E(C)=C.E(C)=C.2.2.设设X,YX,Y是两个随机变量是两个随机变量,若若E(X),E(Y)E(X),E(Y)存在存在,则对任意的实则对任意的实数数a a、b,E(b,E(a aX+bY)X+bY)存在存在,且有且有 E(E(a aX+bY)=X+bY)=a aE(X)+bE(Y)E(X)+bE(Y)3.3.设设X,YX,Y是互相独立的随机变量是互相独立的随机变量,则有则有 E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)性质性质2 2、3 3都可推广到有限个互相独立的随机变量之积都可推广到有限个互相独立的随机变量之积 的的情况情况
20、.本讲稿第二十四页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质2 2 E(E(a aX+bY)=X+bY)=a aE(X)+bE(Y)E(X)+bE(Y)证明证明(1)(1)设离散型随机向量设离散型随机向量(X,Y)(X,Y)的联合分布列和边缘分布列分别为的联合分布列和边缘分布列分别为PX=PX=x xi i,Y=y,Y=yj j=p=pijij,i,j=1,2,i,j=1,2,PX=PX=x xi i=p=pi i.,i=1,2,.,i=1,2,PY=yPY=yj j=p.=p.j j,j=1,2,j=1,2,则则本讲稿第二十五
21、页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质2 2 E(E(a aX+bY)=X+bY)=a aE(X)+bE(Y)E(X)+bE(Y)(2)(2)设连续型随机向量设连续型随机向量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为的联合概率密度和边际概率密度分别为f(f(x,yx,y)和和f fX X(x x),f),fY Y(y y)则则本讲稿第二十六页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质3 3 如如X,YX,Y是互相独立是互相独立,则则 E(XY)=
22、E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)证明证明(1)(1)设离散型随机向量设离散型随机向量(X,Y)(X,Y)的联合分布律和边缘分布律分别的联合分布律和边缘分布律分别为为PX=PX=x xi i,Y=y,Y=yj j=p=pijij,i,j=1,2,i,j=1,2,PX=PX=x xi i=p=pi i.,i=1,2,.,i=1,2,PY=yPY=yj j=p.=p.j j,j=1,2,j=1,2,则则本讲稿第二十七页，共八十四页7.1 7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质3 3 如如X,YX,Y是互相独立是互相独立,则则 E(XY)=
23、E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)(2)(2)设连续型随机向量设连续型随机向量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别的联合概率密度和边际概率密度分别为为f(f(x,yx,y)和和f fX X(x x),f),fY Y(y y)则则本讲稿第二十八页，共八十四页例：将例：将n n个球随机地放入个球随机地放入M M个盒子中去，设每个球放入各个盒子个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数是等可能的，求有球盒子数X X的期望的期望解：解：记记i=1,2,M,=1,2,M,则则P(第第i个盒无球个盒无球)因而因而本讲稿第二十九页，共八十四页例例:抛掷抛掷6 6颗骰子
24、，颗骰子，X X表示出现的点数之和，求表示出现的点数之和，求E(X).E(X).从而由期望的性质可得从而由期望的性质可得 本讲稿第三十页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差引例引例 有两批钢筋有两批钢筋(每批每批1010根根)它们的抗拉强度为：它们的抗拉强度为：第一批第一批 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140 第二批第二批 90,100,120,125,125,130,135,145,145,145 90,100,120,125,125,130,135,1
25、45,145,145 可以计算出两批数据的平均数都是可以计算出两批数据的平均数都是 126,126,但直观上第二但直观上第二批数据与平均数批数据与平均数126126有较大的偏离有较大的偏离因此因此,欲描述一组数据的分布欲描述一组数据的分布,单单有中心位置的指标单单有中心位置的指标是不够的是不够的,尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标的指标.通常可用通常可用EX-E(X)EX-E(X)2 2描述相对于期望的偏离描述相对于期望的偏离本讲稿第三十一页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差一、方差的定义一、方差的定义 定义定义 设设X X是一
26、个随机变量，若是一个随机变量，若EX-E(X)EX-E(X)2 2存在，则称存在，则称 EX-EX-E(X)E(X)2 2 为为X X的方差，记为的方差，记为D(X)D(X)，即即:D(X)=EX-E(X)D(X)=EX-E(X)2 2注释：注释：(1)(1)方差是随机变量方差是随机变量X X与其与其“中心中心”E(X)”E(X)的偏差平方的平均。的偏差平方的平均。它表达了它表达了X X的取值与其期望值的取值与其期望值E(X)E(X)的偏离程度。若的偏离程度。若 X X 取取值较集中，则值较集中，则D(X)D(X)较小，反之，若取值较分散，则较小，反之，若取值较分散，则D(X)D(X)较大。较
27、大。(2)(2)应用上，常用量应用上，常用量 ，称为，称为标准差标准差或均方差，记为或均方差，记为 (X)=(X)=。本讲稿第三十二页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差二、二、方差的计算公式方差的计算公式 方差实际上是随机变量方差实际上是随机变量X X的函数的函数g(X)=X-E(X)g(X)=X-E(X)2 2的数学期望的数学期望.于是于是 (1)(1)对于离散型随机变量对于离散型随机变量X,X,若若PX=PX=x xk k=p=pk k,k=1,2,k=1,2,则则 (2)(2)对于连续型随机变量对于连续型随机变量X,X,若其概率密度为若其概率密度为f(f(x x),),
28、则则本讲稿第三十三页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差二、二、方差的计算公式方差的计算公式(3)(3)D(X)=E(XD(X)=E(X2 2)-E(X)-E(X)2 2 证明：证明：D(X)=EX-E(X)D(X)=EX-E(X)2 2=E(X=E(X2 2-2XE(X)+E(X)-2XE(X)+E(X)2 2)=E(X=E(X2 2)-2E(X)E(X)+E(X)-2E(X)E(X)+E(X)2 2=E(X=E(X2 2)-E(X)-E(X)2 2本讲稿第三十四页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差1.1.（0-10-1）
29、分布的方差）分布的方差定理：若定理：若PX=0=q,PX=1=p,PX=0=q,PX=1=p,则则 D(X)=pqD(X)=pq.证明证明X 0 1 P q p 本讲稿第三十五页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差2.2.二项分布的方差二项分布的方差定理定理:若随机变量若随机变量X X服从二项分布服从二项分布X XB(n,p),B(n,p),则则 D(X)=npqD(X)=npq.证明证明本讲稿第三十六页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差3.3.泊松分布的方差泊松分布的方差定理：设随机变量
30、定理：设随机变量X X服从泊松分布服从泊松分布X XP(),P(),则则 D(X)=.D(X)=.证明证明本讲稿第三十七页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差4.4.均匀分布的方差均匀分布的方差定理定理:设随机变量设随机变量X X服从均匀分布服从均匀分布X XU(U(a a,b),b),则则 D(X)=(b-D(X)=(b-a a)2 2/12/12.证明证明本讲稿第三十八页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差5.5.指数分布的方差指数分布的方差定理定理:设随机变量设随机变量X X服从参数为
31、服从参数为 的指数分布的指数分布,则则证明证明本讲稿第三十九页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差三、三、常见分布的方差常见分布的方差6.6.正态分布的方差正态分布的方差定理定理:设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布XN(,2),),则则 D(X)=D(X)=2 2证明证明本讲稿第四十页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差常见分布的期望和方差表常见分布的期望和方差表本讲稿第四十一页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差四、方差的性质四、方差的性质假定以下所遇到的随机变量的方差存在假定以下所遇到的随机变量的方差存在:(1)(1)设设C C是
32、常数，则是常数，则 D(C)=0D(C)=0；(2)(2)设设X X是随机变量，是随机变量，a a是常数，则是常数，则D(D(a aX)=X)=a a2 2D(X),D(X),从而从而 D(D(a aX+b)=X+b)=a a2 2D(X)D(X)；(3)(3)设设X X，Y Y是两个相互独立的随机变量，则有是两个相互独立的随机变量，则有 D(XD(X Y)=D(X)+D(Y)Y)=D(X)+D(Y)；(2)(2)证证:D(:D(a aX+b)=E(X+b)=E(a aX+b)-E(X+b)-E(a aX+b)X+b)2 2 =E(=E(a aX+b)-E(X+b)-E(a aX)-bX)-b
33、2 2 =E =Ea aX-E(X-E(a aX)X)2 2 =E =Ea a(X-E(X)(X-E(X)2 2 =a a2 2EX-E(X)EX-E(X)2 2 =a a2 2D(X)D(X)本讲稿第四十二页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差 由于由于X X，Y Y相互独立，相互独立，X XE(X)E(X)与与Y YE(Y)E(Y)也相互独立，由数也相互独立，由数学期望的性质，学期望的性质，2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)EY-E(Y)=0 EY-E(Y)=0 于是得于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y).D(X
34、+Y)=D(X)+D(Y).四、方差的性质四、方差的性质(3)(3)证证:D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y):D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)=E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 2 =EX-E(X)=EX-E(X)2 2+EY-E(Y)+EY-E(Y)2 2 +2EX-E(X)Y-E(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。之和的情况。本讲稿第四十三页，共八十四页7.2 7.2 方差和标准差方差和标准差四、方差的性质四、方差的性质若若相
35、互独立，相互独立，为常数为常数则则若若X,Y X,Y 相互独立相互独立本讲稿第四十四页，共八十四页例例 设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n独立同分布，独立同分布，E(X)=E(X)=,D(X,D(X1 1)=)=2 2.记记 若用若用X X1 1,X,X2 2,X,Xn n表示对某物件重量的表示对某物件重量的n n次重复测量的误差次重复测量的误差,而而2 2为测量误差大小的度量，公式为测量误差大小的度量，公式 表明表明n n次次重复测量的平均误差是单次测量误差的重复测量的平均误差是单次测量误差的1/n1/n，换言之，重，换言之，重复测量的平均精度比单次测量的精度高复测量的平均精度比单
36、次测量的精度高.证明证明:证证 注注 本讲稿第四十五页，共八十四页已知已知 X X 的的 概率密度函数为概率密度函数为其中其中 A,B A,B 是常数，且是常数，且 E E(X X)=0.5.)=0.5.(1)(1)求求 A,B.A,B.(2)(2)设设 Y=X Y=X 2 2,求求 E E(Y Y),),D D(Y Y)本讲稿第四十六页，共八十四页解解(1)(1)本讲稿第四十七页，共八十四页(2)(2)本讲稿第四十八页，共八十四页7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数引引 言言 对于二维随机向量对于二维随机向量(X,Y)(X,Y)来说来说,数学期望数学期望E(X)E(X)、E(Y)
37、E(Y)只只反映了反映了X X与与Y Y各自的平均值各自的平均值,方差只反映了方差只反映了X X与与Y Y各自离开各自离开均值的偏离程度均值的偏离程度,它们对它们对X X与与Y Y之间相互关系不提供任何之间相互关系不提供任何信息信息.但二维随机向量但二维随机向量(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度p(p(x x,y),y)或分布律或分布律p pijij全面地描述了全面地描述了(X,Y)(X,Y)的统计规律的统计规律,也包含有也包含有X X与与Y Y之间关系之间关系的信息的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系映这种联系.本讲稿第四十
38、九页，共八十四页7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数一、一、协方差协方差定义定义：设二随机向量：设二随机向量(X,Y)(X,Y)的数学期望的数学期望(E(X),E(Y)(E(X),E(Y)存在存在,若若E(X-E(X)(Y-E(Y)E(X-E(X)(Y-E(Y)存在存在,则称它为随机变量则称它为随机变量X X与与Y Y的协方差的协方差,记为记为cov(X,Y),cov(X,Y),即即cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)若若X X，Y Y为连续型随机变量为连续型随机变量 (1)(1)用定义求：若用定义求：若X X，Y Y为离
39、散型随机变量为离散型随机变量 计算计算 本讲稿第五十页，共八十四页7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数一、一、协方差协方差 协方差有协方差有计算公式计算公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(2)(2)用公式求用公式求证证 由协方差的定义及数学期望的性质，得由协方差的定义及数学期望的性质，得 本讲稿第五十一页，共八十四页7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数一、一、协方差协方差 任意两个随机变量任意两个随机变量X X与与Y Y的和的方差的和的方差 D(XD(XY)=D(X)+D(Y)Y)=D(X)+D(Y)2Cov
40、(X,Y)2Cov(X,Y)(2)(2)用公式求用公式求证证 由方差公式及协方差的定义，得由方差公式及协方差的定义，得 本讲稿第五十二页，共八十四页例例设（设（X X，Y Y）有联合分布律）有联合分布律YX01011/41/41/31/67/125/121/21/21求求 cov(X cov(X，Y Y）.解解E E（X X）=01/2+11/2=1/2=01/2+11/2=1/2E E（Y Y）=07/12+15/12=5/12=07/12+15/12=5/12E E（XYXY）=11/6=1/6=11/6=1/6cov(X,Y)=Ecov(X,Y)=E（XYXY）-E-E（X X）E E（
41、Y Y）=1/6-5/24=1/6-5/24=1/24=1/24本讲稿第五十三页，共八十四页例例:设设(X(X，Y)Y)N(N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2,),)，求，求cov(X,Y)cov(X,Y)Y YN(N(2 2,2 22 2)，解解:X:XN(N(1 1,1 12 2),),E(X)=E(X)=1 1,D(X)=,D(X)=1 12 2；E(Y)=E(Y)=2 2,D(X)=,D(X)=2 22 2；令令本讲稿第五十四页，共八十四页7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数一、一、协方差协方差(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(1)Cov(X,Y)=Co
42、v(Y,X)；(3)Cov(3)Cov(a aX+b,X+b,c cY+d)=Y+d)=acacCov(X,Y)Cov(X,Y)，a,b,c,da,b,c,d为常数；为常数；(2)Cov(X,(2)Cov(X,X X)=)=D D(X)(X)；性质性质 证证 Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(Y-E(Y)(X-E(X)=E(Y-E(Y)(X-E(X)=Cov(Y,X)=Cov(Y,X)证证 Cov(Cov(a aX+b,cY+d)=E(X+b,cY+d)=E(a aX+b-E(X+b-E(a aX+b)(cY+d-E(cY+d
43、)X+b)(cY+d-E(cY+d)=E =Ea a(X-E(X)c(Y-E(Y)(X-E(X)c(Y-E(Y)=a acEX-E(X)Y-E(Y)cEX-E(X)Y-E(Y)=a acCov(X,Y)cCov(X,Y)本讲稿第五十五页，共八十四页7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数二、二、相关系数相关系数定义定义:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的方差的方差D(X)0,D(Y)0,D(X)0,D(Y)0,协方差协方差Cov(X,Y)Cov(X,Y)均存在均存在,则称则称为随机变量为随机变量X X与与Y Y的的相关系数相关系数或或标准协方差标准协方差.一般地，数学期
44、望为一般地，数学期望为0 0，方差为，方差为1 1的随机变量的分布称为标的随机变量的分布称为标准分布，故准分布，故XYXY又称为又称为标准协方差标准协方差。本讲稿第五十六页，共八十四页7.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数二、二、相关系数相关系数性质性质1 1.|.|XYXY|1|1；3 3.|.|XYXY|=1|=1，称之为称之为X X与与Y Y完全相关，其充要条件为完全相关，其充要条件为,存在常数存在常数a a,b,b使使得得PY=PY=a aX+b=1.X+b=1.2 2.XYXY=0=0，称之为，称之为X X与与Y Y不相关；不相关；意义意义:|:|XYXY|=1|=1当且仅
45、当当且仅当Y Y跟跟X X几乎有线性关系。这在一定程度上说明了相几乎有线性关系。这在一定程度上说明了相关系数的概率意义。关系数的概率意义。XYXY并不是刻画并不是刻画X X，Y Y之间的之间的“一般一般”关系，而只是刻画关系，而只是刻画X X，Y Y之间线性相关的程度。之间线性相关的程度。说明：说明：假设随机变量假设随机变量X X，Y Y的相关系数的相关系数XYXY存在，当存在，当X X与与Y Y相互独时相互独时,XYXY=0,=0,即即X X与与Y Y不相关，反之若不相关，反之若X X与与Y Y不相关，不相关，X X与与Y Y却不一定相互独立。却不一定相互独立。本讲稿第五十七页，共八十四页7
46、.3 7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数二、二、相关系数相关系数o oX XY Yo oo oo oX XX XX XY YY YY Y0101-10-10,0,恒有恒有其中其中若上式对任何若上式对任何00成立，则称成立，则称 依概率收敛于依概率收敛于，且可表示为且可表示为本讲稿第七十页，共八十四页7.4 7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律一、一、伯努利大数律伯努利大数律例如例如:意思是意思是:当当a a而而意思是意思是:时时,X,Xn n落在落在内的概率越来越大内的概率越来越大.,当当本讲稿第七十一页，共八十四页7.4 7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大
47、数律切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)不等式不等式:设随机变量设随机变量X X具有数学期望具有数学期望E(X)=,E(X)=,方差方差D(X)=D(X)=2 2,则则对于任意正数对于任意正数,有有二、二、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)不等式不等式本讲稿第七十二页，共八十四页7.4 7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律证明证明 (1)(1)设设X X的概率密度为的概率密度为p(p(x x),),则有则有(2)(2)设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为PX=PX=x xk k=p=pk k,则有则有二、二
48、、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)不等式不等式本讲稿第七十三页，共八十四页例例:在供暖的季节在供暖的季节,住房的平均温度为住房的平均温度为2020度度,标准差为标准差为2 2度度,试试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4 4度的概率的度的概率的下界下界.解解本讲稿第七十四页，共八十四页7.4 7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律三、三、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)(Chebyshev)大数定律大数定律 设设 X X1 1,X,X2 2,是相互独立的随机变量序列是相互独立的随机变量序列,具有数学期
49、望具有数学期望E(XE(Xi i)和方差和方差 D(X D(Xi i)i=1,2,.)i=1,2,.若存在常数若存在常数 C,C,使得使得D(XD(Xi i)C(i=1,2,),)C(i=1,2,),则对于任意给定的则对于任意给定的 0,0,恒有恒有证明证明本讲稿第七十五页，共八十四页7.5 7.5 中心极限定理中心极限定理 在一定条件下在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布许多随机变量的极限分布是正态分布:“:“若一若一个随机变量个随机变量X X可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小每一种因素的影响都很小,都有
50、不起压倒一切的主导作用都有不起压倒一切的主导作用,则则X X一一般都可以认为近似地服从正态分布般都可以认为近似地服从正态分布.”.”例如对某物的长度进行测量例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影在测量时有许多随机因素影响测量的结果响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测使测量产生误差量产生误差X X1 1;测量者观察时视线所产生的误差测量者观察时视线所产生的误差X X2 2;测量者心测量者心理和生理上的变化产生的测量误差理和生理上的变化产生的测量误差X X3 3;显然这些误差是微小的、显然这些误差是微小的、随机的随机的,而且相互没有影