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1、第3章随机变量的数字特征本讲稿第一页，共二十五页3.1 数学期望数学期望 1.1.数学期望的定义数学期望的定义数学期望是反映随机变量的平均取值情况的量数学期望是反映随机变量的平均取值情况的量.一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望设设X的分布律的分布律:PX=xk=pk,k=1,2,收敛，定义收敛，定义X的数学期望的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望设设X的概率密度为的概率密度为f(x),若若收敛，收敛，定义定义X的数学期望的数学期望若若本讲稿第二页，共二十五页例例1 设袋中有设袋中有5个球，其中个球，其中2个白球，个白球，3个黑球，从中任取个
2、黑球，从中任取2个球，个球，记记X为取到的黑球数，求为取到的黑球数，求EX.解：解：C52=10,PX=0=1/10,PX=1=6/10,PX=2=3/10,X的分布律：的分布律：X 0 1 2P 0.1 0.6 0.3EX=0 0.1+1 0.6+2 0.3=1.21.数学期望的定义（续数学期望的定义（续1）本讲稿第三页，共二十五页1.数学期望的定义（续数学期望的定义（续2）例例2 某车站每天某车站每天8：009：00，9：0010：00都恰有一辆客车到站，都恰有一辆客车到站，但到站时刻是随机的，且两者到站时间相互独立。规律为但到站时刻是随机的，且两者到站时间相互独立。规律为到站到站 8：1
3、0 8：30 8：50时刻时刻 9：10 9：30 9：50概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8：20到车站，求他候车时间到车站，求他候车时间X(以分记以分记)的数学期望。的数学期望。解：解：X的分布律：的分布律：X 10 30 50 70 90PkEX=103/6+302/6+501/36+703/36+902/36=27.22(分分)3/62/61/61/61/63/61/62/6本讲稿第四页，共二十五页1.数学期望的定义数学期望的定义（续（续3 3）例例3 有有2个相互独立工作的电子装置，其寿命个相互独立工作的电子装置，其寿命X1,X2服从同一指数分布，服从同一指数分布，若将它
4、们串联组成整机，求整机寿命（单位：小时）若将它们串联组成整机，求整机寿命（单位：小时）N的数学期望。的数学期望。概率密度：概率密度：解：解：N=minX1,X2,FN(z)=1-1-F(z)2,F(z)为为Xk的分布函数，的分布函数，本讲稿第五页，共二十五页例例5 设设 X的概率密度为的概率密度为f(x)（柯西分布）柯西分布）,求求EX.解解:由于由于发散发散,所以所以X的数学期望不存在的数学期望不存在.1.数学期望的定义（续数学期望的定义（续5）本讲稿第七页，共二十五页几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望一、离散型一、离散型X 0 1p 1-p pEX=pE(X)=np2、二项分布、
5、二项分布：XB(n,p),3、泊松分布、泊松分布：XP()PX=k=EX=k=0,1,2,1、0-1分布分布：分布律分布律PX=k=k=0,1,2,n本讲稿第八页，共二十五页二、连续型二、连续型1、均匀分布、均匀分布：EX2、指数分布、指数分布：EX3、正态分布、正态分布：EX=本讲稿第九页，共二十五页2.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望已知随机变量已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的的某个函数的期望，比如说某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为
6、g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，就的分布，就可以按照期望的定义把可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较的分布，一般是比较复杂的复杂的.那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？本讲稿第十页，共二十五页 设设X是随机变量是随机变量,Y=g(X),g(x)为实连续函数为实连续函数,
7、且且E(g(X)存在存在,则：则：(1)若若X为离散型为离散型,PX=xi=pi,i=1,2,.,有有(2)若若X为连续型随机变量为连续型随机变量,概率密度为概率密度为 f(x),则则例例6.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4求求E(X2+2).解解:E(X2+2)=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4=1+3/4+6/4=13/42.随机变量函数的数学期望（续随机变量函数的数学期望（续1）本讲稿第十一页，共二十五页2.随机变量函数的数学期望（续随机变量函数的数学期望（续2）例例7.设随机变量设随机变量X的概率密度的概率密度
8、解：解：E(|X|)=前一积分设前一积分设t=-x，得，得E(|X|)=求求E(|X|).本讲稿第十二页，共二十五页3.数数学期望的基本性质学期望的基本性质1)E(C)=C (C为常数为常数);2)E(kX+b)=kEX+b(k为常数为常数);3)Eg(X)+h(X)=Eg(X)+Eh(X).本讲稿第十三页，共二十五页3.2 方差方差 数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征重要的数字特征.方差方差是随机变量的另一个是随机变量的另一个重要的重要的数字特征数字特征,用它用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度来
9、度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.本讲稿第十四页，共二十五页例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量现用甲、乙两台仪器各测量10次，次，将测量结果将测量结果X用坐标上的点表示如图：用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？些呢？甲仪器测量结果甲仪器测量结果测量结果的均值测量结果的均值都是都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近乙仪器测量结果乙仪器测量结果较好较好3.2 方差方差(续续1)本讲稿第十五页，共二十五页3.
10、2 方差（续方差（续3）方差的算术平方根方差的算术平方根 称为称为标准差标准差 1.定义：设定义：设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-EX)2，则称则称Var(X)=DX=E(X-EX)2 为为X的方差的方差.X为离散型，为离散型，PX=xk=pkX为连续型，概率密度为为连续型，概率密度为f(x)由定义，由定义，本讲稿第十七页，共二十五页3.2 方差（续方差（续4）2.计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 DX=EX2-(EX)2 展开展开证：证：DX=E(X-EX)2=EX2-2XEX+(EX)2=EX2-2(EX)2+(EX)2=EX2-(EX)2利用期望利用期望性质性
11、质例例1 设设X和和Y的的分布律如下，求分布律如下，求DX和和DY。解：解：EX=70.3+80.2+90.2+100.3=8.5EX2=720.3+820.2+920.2+1020.3=73.7,DX=73.7-8.52=1.45EY=70+80.6+90.4+100=8.4EY2=820.6+920.4=70.8,DY=70.8-8.42=0.24X7 8 9 10P0.3 0.2 0.2 0.3Y7 8 9 10P0 0.6 0.4 0本讲稿第十八页，共二十五页例例2.设设X的概率密度为的概率密度为,求求EX,DX.解解:(1)EX=1(2)E(X2)=7/6所以所以,DX=EX2-(E
12、X)2=7/6-1=1/63.2 方差（续方差（续5）本讲稿第十九页，共二十五页3.方差的性质方差的性质 1).设设C是常数是常数,则则D(C)=0;2).若若C是常数是常数,则则D(CX)=C2 D(X);D(aX+b)=a2 D(X).3).DX=0PX=c=13.2 方差（续方差（续6）本讲稿第二十页，共二十五页3.2 方差（续方差（续7）几种重要分布的方差几种重要分布的方差一、离散型一、离散型X 0 1p q=1-p pEX=p,EX2=02q+12p=pk=0,1,2,nEX=np,D(X)=E(X2)-(EX)2=npq2、二项分布、二项分布：XB(n,p),1、0-1分布分布：分
13、布律：分布律DX=p-p2=pqPX=k=本讲稿第二十一页，共二十五页3.2 方差（续方差（续8）几种重要分布的方差几种重要分布的方差3、泊松分布、泊松分布：X PX=k=EX=k=0,1,2,EX2=E(X2-X+X)=EX(X-1)+EXDX=EX2-(EX)2=本讲稿第二十二页，共二十五页二、连续型二、连续型1、均匀分布、均匀分布：EX2、指数分布、指数分布：EX3、正态分布、正态分布：EX=EX2=DX=EX2-(EX)2=(a-b)2/12EX2=DXDX=EX-EX2=DX=2 方差（续方差（续9）本讲稿第二十三页，共二十五页第第3章小结章小结(1)1.X的数学期望的数学期望连续型
14、连续型:离散型离散型:2.一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望(1)若若X为离散型为离散型,PX=xi=pi,i=1,2,.,有有(2)若若X为连续型为连续型,概率密度为概率密度为 f(x),3.数学期望的性质数学期望的性质4.方差：方差：DX=E(X-EX)2DX=EX2-(EX)25.方差的性质方差的性质:1).D(C)=0;2)D(CX)=C2 D(X);D(aX+b)=a2 D(X).本讲稿第二十四页，共二十五页几种重要分布的期望与方差几种重要分布的期望与方差1、0-1分布分布：EX=pDX=pq2、二项分布、二项分布：XB(n,p),X 0 1p q pEX=np,D(X)=npq3、泊松分布、泊松分布：XP()EX=DX=4、均匀分布、均匀分布：EXDX=(a-b)2/125、指数分布、指数分布：EXDX6、正态分布、正态分布：EXDX=第第3章小结（章小结（2）本讲稿第二十五页，共二十五页