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1、第三章随机变量的数字特征本讲稿第一页，共四十页 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.本讲稿第二页，共四十页随机变量的数学期望随机变量的数学期望Mathematical ExpectationMathematical Expectation以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均，反映了这，反映了这7位同学高数成位同学高数成绩的平
2、均状态。绩的平均状态。一、引例一、引例 某7名学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？本讲稿第三页，共四十页二、数学期望的定义二、数学期望的定义u离散型随机变量Def 设离散型随机变量的概率分布为 u连续型随机变量Def 设连续型随机变量的概率密度为，若广义积分本讲稿第四页，共四十页u随机变量数学期望所反应的意义例例3.1已知随机变量X的分布律为1/41/21/4654求数学期望解：解：由数学期望的定义例例3.2已知随机变量X的分布律为10求数学期望解：解：由数学期望的定义本讲稿第五
3、页，共四十页例例3.3已知随机变量。求数学期望例例3.4已知随机变量。求数学期望本讲稿第六页，共四十页例例3.5已知随机变量。求数学期望本讲稿第七页，共四十页例例3.6已知随机变量。求数学期望本讲稿第八页，共四十页例例3.7若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.的分布函数为本讲稿第九页，共四十页u二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X X,Y Y)为二维离散型随机变量(X(X,Y Y)为二维连续型随机变量本讲稿第十页，共四十页例例3.8 设(X,Y)的联合密度为1 11 13 3解：解：本讲稿第十一页，共四十页本讲稿第十二页，共四十页u随机变量函数的
4、数学期望1.一元随机变量函数的情况设是随机变量 X的函数，离散型离散型连续型连续型本讲稿第十三页，共四十页该公式的重要性在于:当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例例3.9解：解：因为本讲稿第十四页，共四十页2.二元随机变量函数的情况离散型离散型连续型连续型本讲稿第十五页，共四十页例例3.10例例3.11 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为本讲稿第十六页，共四十页本讲稿第十七页，共四十页u随机变量数学期望的性质 1.设C是常数，则E(C)=C；2.若k是常数，则E(kX)=kE(X)；3.E(X+Y)=E(X)
5、+E(Y)；4.设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立证明：证明：这里只证明行至3,4本讲稿第十八页，共四十页利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。本讲稿第十九页，共四十页例例3.12 设随机变量XB(n,p)，求二项分布的数学期望。XB(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。解：解：本讲稿第二十页，共四十页例例3.12 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1+p2则X的所有可能取值为0,1,2设产生故障的仪器数目为X解解:所以，产生故障的
6、仪器数目的数学期望本讲稿第二十一页，共四十页数学期望在医学上的一个应用数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X需要计算X的数学期望，然后与10
7、比较本讲稿第二十二页，共四十页 化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律X=1=“10人都是阴性”X=11=“至少1人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。注意求注意求 X期望期望值的步骤！值的步骤！问题的进一步讨论问题的进一步讨论 1.概率p对是否分组的影响？2.概率p对每组人数n的影响?本讲稿第二十三页，共四十页随机变量的方差随机变量的方差Varianceu 随机变量方差的定义 设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 与 有相同的量纲u均方差（标准差）u方差的统计意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能
8、取值的聚散程度。本讲稿第二十四页，共四十页离散型离散型设离散型随机变量X的概率函数为连续型连续型设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)例例3.14已知随机变量X的分布律为10求方差解：解：u方差的计算公式 本讲稿第二十五页，共四十页例例3.15已知随机变量。求方差本讲稿第二十六页，共四十页例例3.16已知随机变量。求方差本讲稿第二十七页，共四十页例例3.17已知随机变量。求方差本讲稿第二十八页，共四十页例例3.18已知随机变量。求方差本讲稿第二十九页，共四十页例例3.19解：解：X的密度函数为 所以有本讲稿第三十页，共四十页u方差的性质 1.设C是常数，则D(C)=0；2.若a，b是常数，则
9、 3.相互独立时 当随机变量证明证明:例例3.20本讲稿第三十一页，共四十页解：解：本讲稿第三十二页，共四十页随机变量的矩与中位数随机变量的矩与中位数u 随机变量的矩 原点矩与原点矩原点矩与原点矩Def 设X是随机变量，若 存在，则称其为X的k阶原点矩，若存在，则称其为X的k阶中心矩，中位数中位数Def显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差本讲稿第三十三页，共四十页随机变量间的随机变量间的的协方差与相关系数协方差与相关系数Covariance and Correlation coefficientu 随机变量间协方差与相关系数 Def协方差的定义协方差的定义相关系数的定义相关系数
10、的定义Def本讲稿第三十四页，共四十页u 随机变量间协方差的计算 离散型离散型连续型连续型注意：注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协方差有单位，而相关系数无单位。本讲稿第三十五页，共四十页例例3.211/83/83/81/81/41/8001/833/403/83/8013210解：解：边际分布如表本讲稿第三十六页，共四十页例例3.22解：解：边际概率密度为本讲稿第三十七页，共四十页u 随机变量间协方差与相关系数的性质 性质性质6,7说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。本讲稿第三十八页，共四十页证明证明:u 随机变量间线性无关的概念 Def本讲稿第三十九页，共四十页例例3.231/31/31/310-1解：解：01/311/30001/3-110这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。本讲稿第四十页，共四十页