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1、第四章 随机变量的数字特征本讲稿第一页，共六十一页第四章 随机变量的数字特征 n 我们知道,随机变量的分布律或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便.n 已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断.本讲稿第二页，共六十一页1 随机变量的数学期望1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 n例：例：
2、有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称数学期望数学期望描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征本讲稿第三页，共六十一页5416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即n 例例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:本讲稿第四页，共六十一页n 如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替
3、上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值.n 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.本讲稿第五页，共六十一页n 定义定义:设离散型随机变量X的概率分布为如若则称为随机变量X的数学期望数学期望,记为E(X).n 如果则称随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.本讲稿第六页，共六十一页所以A的射击技术较B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称n 例例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为本讲稿第七页，共六十一页 解解 分布律为：X0123P0.30.40
4、.20.1 平均废品数为：本讲稿第八页，共六十一页n 例例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X).解解 虽然有收敛,但发散,因此E(X)不存在.本讲稿第九页，共六十一页1.1.1（0-1）分布数学期望）分布数学期望 设X的分布列为：X01Pqp则 其中本讲稿第十页，共六十一页1.1.2 二项分布数学期望二项分布数学期望 n 定理定理:设随机变量X服从二项分布,即则随机变量X的数学期望E(X)=np.证明证明本讲稿第十一页，共六十一页1.1.3 泊松分布数学期望泊松分布数学期望 n 证明:n 定理定理:设随机变量X服从泊松分布,即则随机变量X的数学期望E(X)=.本讲稿第十二页，共六十一页为连
5、续型随机变量为连续型随机变量X的的数学期望,记为记为E(X).n 定义定义:设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若 则称 n 如果则称连续型随机变量X的数学期望不存在数学期望不存在.1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 本讲稿第十三页，共六十一页n 例例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解解本讲稿第十四页，共六十一页n 例例:若随机变量X的概率密度函数为问随机变量X的数学期望E(X)是否存在.解解所以E(X)不存在.但本讲稿第十五页，共六十一页1.2.1 均匀分布的数学期望均匀分布的数学期望 n 定理定理:设连续型随机变量X的密度函数为则E(X)=(a+b)
6、/2.n 证明证明:本讲稿第十六页，共六十一页1.2.2 指数分布的数学期望指数分布的数学期望 n 定理定理:设连续型随机变量X的密度函数为则随机变量X的数学期望为E(X)=1/.证明证明本讲稿第十七页，共六十一页1.2.3 正态分布的数学期望正态分布的数学期望 n 定理定理:设连续型随机变量XN(,2),则 E(X)=.证明证明本讲稿第十八页，共六十一页2 随机变量函数的数学期望n定理定理:设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数).n (1)设离散型随机变量X的概率分布为PX=xk=pk,k=1,2,.n (2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 若则则有2.1 随机变量
7、函数的数学期望随机变量函数的数学期望本讲稿第十九页，共六十一页n 定理定理:设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y)(f是连续函数).n (1)设二维随机向量(X,Y)的分布律为n (2)设二维随机向量(X,Y)的分布密度为f(x,y),若若则则本讲稿第二十页，共六十一页n 例例:已知随机变量XN(0,1),求E(X2).解法解法1 先求Y=X2 的概率密度函数:若y0,则所以Y=X2 的概率密度函数为解法解法2再求本讲稿第二十一页，共六十一页例例:设（X,Y）的联合分布律如下，Z=XY，求E(Z).解解 本讲稿第二十二页，共六十一页n 例例:设风速V在(0,a)上服从均匀分布,又设飞机机翼
8、受到的正压力W是V的函数:W=kV2(k0,常数),求W的数学期望.解解 因为随机变量V的密度函数为所以本讲稿第二十三页，共六十一页n 例例:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试求XY的数学期望.解解本讲稿第二十四页，共六十一页n 例例:按季节出售的某种应时商品,每售出一公斤获利润b元.如到季末尚有剩余商品,则每公斤净亏损a元.设某商品在季节内这种商品的销售量X(以公斤计)是一随机变量,X在区间(s1,s2)上服从均匀分布.为使商店所获得利润的数学期望最大,问商店应进多少货?解解以s(公斤)表示进货数,进货s所得利润记为Ys(X),则X的概率密度为本讲稿第二十五页，共六十一页由得于是本讲稿第
9、二十六页，共六十一页2.2 数学期望的性质数学期望的性质n 1.若aXb,则E(X)存在,且有aE(X)b.特别,若C是常数,则E(C)=C.n 2.设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b,E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的情况.n 3.设X,Y是互相独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y)此性质可推广到有限个互相独立的随机变量之积的情况.本讲稿第二十七页，共六十一页n 定理：定理：若aXb,则E(X)存在,且有aE(X)b.特别,若C是常数,则E(C)=C.证明证明(1)设离散
10、型随机向量X分布列为X=xi=pi,i=1,2,则n(2)设连续型随机变量X的概率密度为p(x),则 n(3)因为PX=C=1,故E(C)=E(X)=C1=C本讲稿第二十八页，共六十一页n 定理定理:设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b,E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)证明证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,PX=xi=pi.,i=1,2,PY=yj=p.j,j=1,2,则本讲稿第二十九页，共六十一页n(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和
11、边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则本讲稿第三十页，共六十一页n 定理定理:设X,Y是互相独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y)证明证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,PX=xi=pi.,i=1,2,PY=yj=p.j,j=1,2,则本讲稿第三十一页，共六十一页n(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则本讲稿第三十二页，共六十一页n 例例:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客
12、下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).n 解解:引入随机变量易知X=X1+X2+X10任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1-(9/10)20.即PXi=0=(9/10)20,PXi=1=1-(9/10)20本讲稿第三十三页，共六十一页所以E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,10进而E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101-(9/10)20=8.784n 注注:本题的特点是将X分解为数个随机变量的和,再求数学期望.此种方法具有普遍意义.本讲稿第三十四页，
13、共六十一页解n 例例:设一电路中电流I(安)与电阻R(欧)是两个相互理独立的随机变量,其概率密度分别为求电压V=IR的数学期望.本讲稿第三十五页，共六十一页解解 因此，有 本讲稿第三十六页，共六十一页 又当-1x1时，故得 同理可得 由于 所以X与Y不相互独立 本讲稿第三十七页，共六十一页例例:抛掷6颗骰子，X表示出现的点数之和，求E(X).从而由期望的性质可得 本讲稿第三十八页，共六十一页3 随机变量的方差 n 例：例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：n 易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达
14、出来呢?3.1 方差的概念方差的概念 本讲稿第三十九页，共六十一页分析原因：分析原因：n A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小.n 研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的.n 怎么样去度量这个偏离程度呢?n (1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差;n (2)EX-E(X)不能反映X与E(X)之间的整体偏差;n (3)E|X-E(X)|可以度量X与E(X)之间的整体偏差,但运算不方便;n (4)EX-E(X)2可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便.本讲稿第四十页，共六十一页n 定义：定义：设X是一个随机变量,若EX
15、-E(X)2存在,则称EX-E(X)2为X的方差方差.记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2称为X的标准差标准差或均方差均方差.n 定理定理:证明证明 D(X)=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2 =E(X2)-E(X)2本讲稿第四十一页，共六十一页n 方差实际上是随机变量X的函数f(X)=X-E(X)2的数学期望.于是n (1)对于离散型随机变量X,若PX=xk=pk,k=1,2,则n (2)对于连续型随机变量X,若其概率密度为p(x),则本讲稿第四十二页，共六十一页n 例：例：A，B两种手表的日
16、走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?解解 易知E(XA)=E(XB)=0.所以由于D(XA)D(XB),因此A手表较B手表的质量好.本讲稿第四十三页，共六十一页n 例例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X).解解于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/6本讲稿第四十四页，共六十一页3.2 常见分布的方差常见分布的方差 3.2.1（0-1）分布的方差）分布的方差n 定理：定理：若PX=0=q,PX=1=p,则D(X)=pq.证明证明本讲稿第四十五页，共六十一页3.2.2 二项分布的方差二项分布的方差n 定理定理:若随机变量X服从二项分布XB(n,p),则 D(X)=np
17、q.证明证明本讲稿第四十六页，共六十一页3.2.3 泊松分布的方差泊松分布的方差n 定理：定理：设随机变量X服从泊松分布X(),则D(X)=.证明证明本讲稿第四十七页，共六十一页3.2.4 均匀分布的方差均匀分布的方差n 定理定理:设随机变量X服从均匀分布XU(a,b),则D(X)=(b-a)2/12.证明证明本讲稿第四十八页，共六十一页3.2.5 指数分布的方差指数分布的方差n 定理定理:设随机变量X服从参数为 的指数分布,则证明证明本讲稿第四十九页，共六十一页3.2.6 正态分布的方差正态分布的方差n 定理定理:设随机变量X服从正态分布XN(,2),则D(X)=2.证明证明本讲稿第五十页，
18、共六十一页常见分布的期望和方差表常见分布的期望和方差表 本讲稿第五十一页，共六十一页解法解法1 1 X的边缘密度函数是 故 本讲稿第五十二页，共六十一页 解法解法2 于是 本讲稿第五十三页，共六十一页解解 由于 所以 本讲稿第五十四页，共六十一页3.3 随机变量方差的性质随机变量方差的性质n (1)设C是常数,则D(C)=0n (2)设C是常数,X是随机变量,则有 D(CX)=C2D(X)n (3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)n (5)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即 PX=C=1n (4)对于任意常数CE(X),有 D(X)E(X-C
19、)2本讲稿第五十五页，共六十一页n 定理定理:D(aX+b)=a2D(X)证明证明 D(aX+b)=E(aX+b)-E(aX+b)2 =E(aX+b)-E(aX)-b2 =EaX-E(aX)2 =Ea(X-E(X)2 =a2EX-E(X)2 =a2D(X)本讲稿第五十六页，共六十一页n 定理定理:设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)证明证明 D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 =E X-E(X)2+PY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y)n 由于X,Y相互独立,知X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,从而有
20、2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)E Y-E(Y)=0.n 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)本讲稿第五十七页，共六十一页n 定理定理:对于任意常数CE(X),有 D(X)0从而有D(X)E(X-C)2本讲稿第五十八页，共六十一页n 例例:设X服从二项分布XB(n,p),求E(X)和D(X).解解 令X1,X2,Xn相互独立,且它们的分布律为PXi=0=1-p,PXi=1=p,i=1,2,n.则有 X=X1+X2+.+Xn从而有n E(X)=E(X1+X2+.+Xn)=E(X1)+E(X2)+.+E(Xn)=npn D(X)=D(X1+X2+.+Xn)=D(X1)+D(X2)+.+D(Xn)=npq本讲稿第五十九页，共六十一页 解解 由期望与方差的性质可得 本讲稿第六十页，共六十一页 解解 由题意 于是 本讲稿第六十一页，共六十一页