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1、数学期望的定义第1页，共18页，编辑于2022年，星期六预备知识预备知识1 1、算术平均值、算术平均值 若有若有n n个数个数为为 的的算术平均值算术平均值.例：一个数学专业在校大学新生，期末成绩为：数学分析例：一个数学专业在校大学新生，期末成绩为：数学分析8080分，分，高等代数高等代数8585分，解析几何分，解析几何9090分，大学英语分，大学英语8585分，形势与政策分，形势与政策8080分，分，则该学生的算术平均分数为：则该学生的算术平均分数为：称称第2页，共18页，编辑于2022年，星期六 这个数字显然不能反映该同学的真正成绩这个数字显然不能反映该同学的真正成绩 ，因为它没有考，因为
2、它没有考虑到这五个科目的相对重要性。譬如在这个年级中，数学分析虑到这五个科目的相对重要性。譬如在这个年级中，数学分析为为5 5学分，高等代数学分，高等代数4 4学分，解析几何学分，解析几何3 3学分，大学英语学分，大学英语3 3学分，形学分，形势与政策势与政策1 1学分学分.因此下面的计算更为合理些：因此下面的计算更为合理些：预备知识预备知识第3页，共18页，编辑于2022年，星期六 2 2、加权平均值、加权平均值给定权给定权 预备知识预备知识满足满足 称称 为为 关于权关于权的的加权平均值加权平均值.权，又称权重权，又称权重(Weight)第4页，共18页，编辑于2022年，星期六3、加权平
3、均值与所选的、加权平均值与所选的“权权”有关有关 在这个例子中，若数学分析为每周在这个例子中，若数学分析为每周6 6学时，高等代数学时，高等代数4 4学学时，解析几何时，解析几何3 3学时，大学英语学时，大学英语4 4学时，形势与政策学时，形势与政策1 1学时，则该学时，则该生的加权平均分也可以用下式表达：生的加权平均分也可以用下式表达：预备知识预备知识第5页，共18页，编辑于2022年，星期六预备知识预备知识等分等分“权权”（算术平均值）（算术平均值）按学分分配按学分分配“权权”按学时分配按学时分配“权权”第6页，共18页，编辑于2022年，星期六1、设、设 X 为离散为离散 r.v.,分布
4、律为分布律为若级数若级数绝对收敛绝对收敛,则称其和为则称其和为 X 的的数学期望，数学期望，又称又称期望期望,均值或（加权）平均值，均值或（加权）平均值，记作记作 E(X),即即4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望的定义一、离散型随机变量的数学期望的定义即即第7页，共18页，编辑于2022年，星期六一、离散型随机变量的数学期望的定义一、离散型随机变量的数学期望的定义2 2、在定义中对级数要求绝对收敛的必要性、在定义中对级数要求绝对收敛的必要性因为诸的顺序对随机变量取期望并不是本质的因而在数学期望定义中应允许任意改变求和次序，而不影响收敛性及其和值，这在数学上
5、相当于绝对收敛.反例反例 设离散型随机变量 X 的概率分布为因此按照数学期望定义，该随机变量的数学期望不存在.第8页，共18页，编辑于2022年，星期六 3 3、数学期望是随机变量的数字特征，而不是本质特征、数学期望是随机变量的数字特征，而不是本质特征.一、离散型随机变量的数学期望的定义一、离散型随机变量的数学期望的定义P-1 0 1 0.1 0.8 0.1P-2 0 2 0.2 0.6 0.2 它们具有相同的数学期望，但是却是两个完它们具有相同的数学期望，但是却是两个完全不同的随机变量全不同的随机变量.注：随机变量的概率分布，才是随机变量唯一的注：随机变量的概率分布，才是随机变量唯一的本质特
6、征本质特征.第9页，共18页，编辑于2022年，星期六例1设r.v X 的分布律如下表,求 E(X).XP -1 3解甲乙两人赌博，甲赢的概率为 ，输的概率为 ，甲每赢一次可从乙处得3元，而每输一次，要给乙1元，则甲平均每次可赢 元。4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望二、数学期望的应用实例二、数学期望的应用实例第10页，共18页，编辑于2022年，星期六4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望二、数学期望的应用实例二、数学期望的应用实例例2某人有10万元现金，想投资某个项目，预计成功的机会为30%，可得利润8万元；失败的机会为70%，将损失2万元，若存入银行，利率为5%，问是否做
7、此项投资？X 8 -2 P 0.3 0.7分析分析：记为投资利润，其概率分布为因此而存入银行的利息为0.5万元，从数学期望角度，似应该选择投资，当然要看当事人是否愿意冒这个风险.第11页，共18页，编辑于2022年，星期六1 1、X B(n,p),即即 则2、若若X B(1,p),即即 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望三、常用离散型随机变量的数学期望三、常用离散型随机变量的数学期望则则第12页，共18页，编辑于2022年，星期六三、常用离散型随机的变量数学期望三、常用离散型随机的变量数学期望3 3、X Possion(),即即则第13页，共18页，编辑于2022年，星期六4.1 随
8、机变量的数学期望随机变量的数学期望三、常用离散型随机的变量数学期望三、常用离散型随机的变量数学期望4、X G(p),即即则 某篮球运动员投篮命中率为某篮球运动员投篮命中率为50%，规定该运动员首次，规定该运动员首次投篮命中时即刻停止，则投篮次数投篮命中时即刻停止，则投篮次数 X 的平均值为的平均值为2，即平均，即平均每投篮每投篮 2 次才进次才进1个球，正好也反映了命中率个球，正好也反映了命中率.第14页，共18页，编辑于2022年，星期六讨论题讨论题 将将 4 个不同色的球随机放入个不同色的球随机放入 4 个盒子中个盒子中,每盒容纳球数每盒容纳球数无限无限,求空盒子数的数学期望求空盒子数的数
9、学期望.分析：分析：设设 X 为空盒子数为空盒子数,则则 X 的概率分布为的概率分布为X P0 1 2 3第15页，共18页，编辑于2022年，星期六思考思考 我们知道，所谓离散型随机变量就是它的取值在数轴上的分布是不稠密的，分散的；那么对于在数轴上取值稠密的连续性随机变量来说，如何描述数学期望（平均值）呢？第16页，共18页，编辑于2022年，星期六小结小结 一、离散型随机变量的数学期望的定义一、离散型随机变量的数学期望的定义二、数学期望的应用实例二、数学期望的应用实例 三、常用离散型随机的变量的数学期望三、常用离散型随机的变量的数学期望随机变量的取值以“概率权”为权重的加权平均值0-1两点分布、二项分布、Possion分布、几何分布作业：作业：概率论基础概率论基础 P273：2，3第17页，共18页，编辑于2022年，星期六谢谢大家！第18页，共18页，编辑于2022年，星期六