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1、1第十讲第十讲 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第1页/共55页2 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法并提出求秩的有效方法 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大富，难度较大.第2页/共55页3引例引例一、消元法
2、解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程第3页/共55页4解解第4页/共55页5用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：第5页/共55页6于是解得于是解得（2）第6页/共55页7小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍下三种变换：下三种变换：（与相互
3、替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）第7页/共55页83上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换第8页/共55页9因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的增广矩阵）的
4、变换）的变换这样的变换叫矩阵的初等行变换这样的变换叫矩阵的初等行变换第9页/共55页10定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换第10页/共55页11定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型且变换类型相同相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换第11页/共55页12两个矩阵的等价关系两个矩阵的等价关系 定义定义3 如
5、果矩阵如果矩阵如果矩阵如果矩阵 A A 经有限次初等行变换变经有限次初等行变换变经有限次初等行变换变经有限次初等行变换变成矩阵成矩阵成矩阵成矩阵 B B,就称就称就称就称 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与与与与 B B 行等价行等价行等价行等价,记作记作记作记作 A A B B;r如果矩阵如果矩阵如果矩阵如果矩阵 A A 经有限次初等列变换变成矩阵经有限次初等列变换变成矩阵经有限次初等列变换变成矩阵经有限次初等列变换变成矩阵 B B,就称就称就称就称矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与与与与 B B 列等价列等价列等价列等价,记作记作记作记作 A A B B;c如果矩阵如果矩阵如果矩阵如果矩阵 A A 经
6、经经经有限次初等变换变成矩阵有限次初等变换变成矩阵有限次初等变换变成矩阵有限次初等变换变成矩阵 B B,就称就称就称就称 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与与与与 B B 等价等价等价等价,记作记作记作记作 A A B.B.第12页/共55页13矩阵等价关系的性质：矩阵等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价第13页/共55页14用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：第14页/共55页15第15页/共55页16(行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵
7、)（行最简形矩阵行最简形矩阵）第16页/共55页17第17页/共55页18行阶梯形矩阵的特点：行阶梯形矩阵的特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零台阶数即是非零行的行数，行的行数，非零元，即非零行的第一个非零元非零元，即非零行的第一个非零元阶梯线的竖线后面的第一个元素为阶梯线的竖线后面的第一个元素为第18页/共55页19行阶梯形矩阵行行阶梯形矩阵行 还称为最简形还称为最简形矩阵矩阵行最简形行最简形矩阵矩阵的特点：的特点：（1 1）、行最简形）、行最简形矩阵矩阵是行阶梯形矩阵是行阶梯形
8、矩阵 （2 2）、非零行的第一个非零元素为）、非零行的第一个非零元素为 1 1，且，且这些非零元所在列的其他元素全为这些非零元所在列的其他元素全为 0.0.第19页/共55页20由引例可见：由引例可见：注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的由引例可知：由引例可知：要解方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩要解方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵阵第20页/共55页21 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形A的等价标准形的等价标准形
9、特点：特点：第21页/共55页22例如例如第22页/共55页23 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.进一步有：进一步有：（1）mn 矩阵矩阵 A B 的充要条件是的充要条件是 A与与 B 有相同的有相同的标准形标准形.（2）第23页/共55页24矩阵初等变换的一个基本性质矩阵初等变换的一个基本性质矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介
10、绍它的一个最基本的性质它的一个最基本的性质.第24页/共55页25定理定理定理定理 1 1 设设设设 A A 与与与与 B B 为为为为 m m n n 矩阵，那么矩阵，那么矩阵，那么矩阵，那么（i i）A A B Br的充要条件是存在的充要条件是存在的充要条件是存在的充要条件是存在 m m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵P P，使，使，使，使 PAPA=B B；（ii ii）A A B Bc的充要条件是存在的充要条件是存在的充要条件是存在的充要条件是存在 n n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q Q，使，使，使，使 AQAQ=B B；（iiiiii）A A B B 的充
11、要条件是存在的充要条件是存在的充要条件是存在的充要条件是存在 m m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P P及及及及 n n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q Q，使，使，使，使 PAQPAQ=B B.为了证明定理为了证明定理 1 1，需引进初等矩阵的知识，需引进初等矩阵的知识.第25页/共55页26初等矩阵初等矩阵 定义定义4 4 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵:E第26页/共55页27EE第27页/共55页28初等矩阵的性质初等矩阵的性质初等矩阵
12、都可逆初等矩阵都可逆.容易验证，容易验证，初等矩阵的逆初等矩阵的逆矩阵仍为同类型的矩阵仍为同类型的初等矩阵初等矩阵.即有：即有：第28页/共55页29初等矩阵与初等变换之间的关系初等矩阵与初等变换之间的关系先看一个例子先看一个例子相当于相当于第29页/共55页30相当于相当于第30页/共55页31 性质性质1 1 对对 mn 矩阵矩阵A 施行一次初等行施行一次初等行(列列)变变换，相当于在换，相当于在 A 的左的左(右右)边乘以相应的边乘以相应的m(n)阶阶初等矩阵初等矩阵.一般地，有：一般地，有：证明证明 设设 A 是是 mn 矩阵矩阵,记记第31页/共55页32其中其中用初等矩阵用初等矩阵
13、 E(i,j)左乘矩阵左乘矩阵 A,得得第32页/共55页33 同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也成立成立.类似的，可以得到初等列变换的情形类似的，可以得到初等列变换的情形.性质性质2:2:n 阶矩阵阶矩阵A 可逆的充要条件是存在有限可逆的充要条件是存在有限P1,P2,Pl，使，使 A=P1P2 Pl.个个n 阶初等矩阵阶初等矩阵 证证 A 可逆可逆 A 的标准形为的标准形为EA E存在有限个存在有限个 n 阶初等矩阵阶初等矩阵E A即即 A=P1P2 Pl .P1,P2,Pl，使，使P1P2 P3EP4 Pl E=A.第33页/共55页34定理定
14、理定理定理1 1 1 1的证明的证明的证明的证明:类似可证明类似可证明(ii)和和(iii).(i)由由A Br的定义和初等行变换的性质，有的定义和初等行变换的性质，有A BrA 经有限次初等行变换变成经有限次初等行变换变成 B存在有限个存在有限个 m 阶初等矩阵阶初等矩阵P1,P2,Pl，使，使P1P2 Pl A=B存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P，使，使 PA=B.第34页/共55页35 证证 存在存在可逆可逆矩阵矩阵P，使使 PA=E推论推论1:方阵方阵 A 可逆的充要条件可逆的充要条件 A E.r A 可逆可逆A E.r第35页/共55页36定理定理1表明，如果表明，如果A B，
15、r即即 A 经一系列经一系列初等行变换变为初等行变换变为 B，则有可逆矩阵，则有可逆矩阵 P，使，使 PA=B.那么，如何去求出这个可逆矩阵那么，如何去求出这个可逆矩阵 P 呢呢?由于由于 PA=BPA=BPE=PP(A,E)=(B,P)(A,E)(B,P)，r因此，如果对矩阵因此，如果对矩阵(A,E)作初等行变换，那么，当作初等行变换，那么，当把把 A 变为变为 B 时，时，E 就变为就变为 P.求逆矩阵的初等行变换法求逆矩阵的初等行变换法第36页/共55页37 特别地，如果特别地，如果 B=E，则由，则由 PA=E，知知 A 可可逆，且逆，且 P=A-1，得得(A,E)(E,A-1)r这便
16、是这便是用初等行变换求逆矩阵的方法用初等行变换求逆矩阵的方法。因此，如果对矩阵因此，如果对矩阵(A,E)作初等行变换，作初等行变换，那么，当把那么，当把 A 变为变为 E 时，时，E 就变为就变为 A-1.第37页/共55页38例例 1 设设 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 F,求求 F，并求一个可逆矩阵，并求一个可逆矩阵 P，使，使 PA=F.解解第38页/共55页39 故故 为为A的行最简形矩阵的行最简形矩阵,而使而使 PA=F 的可逆矩阵的可逆矩阵 注注：行最简形矩阵行最简形矩阵 F 是是唯一确定的，但唯一确定的，但使使 PA=F 的的可逆矩阵可逆矩阵P 一般一般是不唯一的是不唯一的但
17、当但当 F=E 时，时，P=A-1 是唯一的是唯一的第39页/共55页40 解解例例2 2第40页/共55页41第41页/共55页42用初等行变换求解矩阵方程用初等行变换求解矩阵方程AX=B的方法的方法设有可逆矩阵设有可逆矩阵 P，使，使 PA=F 为行最简形，则为行最简形，则即即(A,B)(F,PB)r 特别地，如果特别地，如果 F=E，则由，则由 PA=E，知知 A 可逆可逆，且且 P=A-1，得得(A,B)(E,A-1B)r这便是这便是用初等行变换求解矩阵方程用初等行变换求解矩阵方程AX=B的方法的方法。第42页/共55页43就是把方程就是把方程 AX=B 的增广矩阵的增广矩阵(A,B)
18、化为行化为行最简形，从而求得方程的解最简形，从而求得方程的解.(A,b)化为行最简形的方法是一样的化为行最简形的方法是一样的.求求A-1 也就是求方程也就是求方程 AX=E 的解的解.这与求解线性方程组这与求解线性方程组 Ax=b 时，把增广矩阵时，把增广矩阵具体说来：具体说来：第43页/共55页44例例3 3解解第44页/共55页45第45页/共55页46习题二习题二P56 第第15题题解法二解法二:由由 AB=A+2B，得得(A 2E)B=A,第46页/共55页47第47页/共55页48列变换列变换行变换行变换第48页/共55页49解解例例4 4第49页/共55页50第50页/共55页51第51页/共55页52三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换第52页/共55页534.4.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换5.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:第53页/共55页54四、课外作业四、课外作业1、P78 第1题（4）2、P78 第2题3、P78 第4题（1）4、P78 第6题第54页/共55页55感谢您的观看！第55页/共55页