第二 随机变量及其分布.pptx

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1、1 【引例引例2 2】设随机试验设随机试验E E：测试灯泡寿命：测试灯泡寿命(小时小时).).样本空间为样本空间为S=t|t0S=t|t0，现在我们，现在我们将试验的灯泡寿命将试验的灯泡寿命记为记为X X,令令则则X X是定义在样本空间为是定义在样本空间为S=t|t0S=t|t0上的函数，其值域为上的函数，其值域为|且取值具有随机性且取值具有随机性.“灯炮寿命在灯炮寿命在1000100025002500小时小时”的事件可表示为的事件可表示为 引例1，2 上面两例中上面两例中,我们是在随机试验样本空间上定义了实我们是在随机试验样本空间上定义了实值函数值函数X,X,显然它取值具有随机性显然它取值具

2、有随机性,故称它们为随机变量故称它们为随机变量.第1页/共85页2注意注意 普通函数的定义域是实数普通函数的定义域是实数集集,而随机变量的定义域是样本而随机变量的定义域是样本空间空间(样本点不一定为实数样本点不一定为实数););SeX(e)R定义1随机变量 定义定义1 1 设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为S=e,S=e,称定义在称定义在S S上单值实值函数上单值实值函数 X=X(e)(e X=X(e)(eS)S)为为随机变量随机变量,记为。记为。随机变量与普通函数的区别随机变量与普通函数的区别:第2页/共85页3 普通函数随自变量变化所取的函数值无概率可普通函数随自变量变化所

3、取的函数值无概率可言言,而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定概率的概率的;此外此外,因试验的随机性使得随机变量的取值也具因试验的随机性使得随机变量的取值也具有随机性有随机性,即知道随机变量的取值范围即知道随机变量的取值范围,但在一次试验前但在一次试验前无法确定它取何值无法确定它取何值.注意 利用随机变量可以描述随机事件利用随机变量可以描述随机事件:随机变量随机变量X X在任意实数集在任意实数集L L上取值上取值,记为记为XXL=e|X(e)L=e|X(e)L,L,它表示一切使随机变量它表示一切使随机变量X X取值在取值在L L上的样本点所构成

4、的上的样本点所构成的事件事件,从而从而第3页/共85页4 例如例如,在试验在试验E:“E:“掷一枚骰子掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”中中,如果如果定义随机变量定义随机变量X=k(e=“X=k(e=“出现出现k k点点”,k=1,2,3,4,5,6),k=1,2,3,4,5,6),则事件则事件“出现偶数点出现偶数点”就可表示为就可表示为 XXL=e|X(e)L=e|X(e)L,L,其中其中L=2,4,6,L=2,4,6,事件事件“出现出现3 3点点”就可表示为就可表示为 X=3.X=3.显然显然,X,X1,3,51,3,5表示表示“出现奇数点出现奇数点”,X1,X1为为不可能不可能事

5、件事件,X,XRR为为必然事件必然事件,等等等等.举例举例第4页/共85页5 随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系:随机事件是从静态的角度研究随机现象，而随机变随机事件是从静态的角度研究随机现象，而随机变量是从动态的角度研究随机现象。量是从动态的角度研究随机现象。随机变量可以描述随机事件，它涵盖了随机事件，随机变量可以描述随机事件，它涵盖了随机事件，是一个更为广泛的概念。是一个更为广泛的概念。随机变量的引入使得利用数学方法研究随机现象成随机变量的引入使得利用数学方法研究随机现象成为可能为可能，是实现随机现象，是实现随机现象“数量化数量化”的重要工具的重要工具。因此，。因此，随机变量

6、的研究是概率论的中心内容。随机变量的研究是概率论的中心内容。为了更好地利用数学知识研究随机变量统计规律为了更好地利用数学知识研究随机变量统计规律性，引入下列分布函数的概念，它是一个普通实函数。性，引入下列分布函数的概念，它是一个普通实函数。第5页/共85页6 定义定义2 2 设设X X为随机变量为随机变量,x,x为为任意实数任意实数,函数函数为随机变量为随机变量X X的的分布函数分布函数(distribution function)(distribution function)，记，记为。为。分布函数分布函数F(x)F(x)是随机事件是随机事件XxXx的的概率概率,它是一个它是一个普通函数普通

7、函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量因而可用微积分的方法来研究随机变量.随机点随机点实数点实数点二、分布函数二、分布函数二、分布函数二、分布函数事件概率事件概率普通函数普通函数第6页/共85页7 利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质质:1 1、F(x)F(x)是是单调不减函数单调不减函数,即对任意实数即对任意实数x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2),),有有F(xF(x1 1)F(x)F(x2 2););4 4、0F(x)1;0F(x)1;2 2、F(x)F(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点,且在其间断点处是且在

8、其间断点处是右连续右连续.3 3、F(-)=0,F(+)=1F(-)=0,F(+)=1图像值域范围图像值域范围图像左右趋势图像左右趋势间断点右连续间断点右连续图像自左至右呈上升图像自左至右呈上升5 5、PxPx1 1XxXx2 2=F(x=F(x2 2)-F(x)-F(x1 1)利用分布函数计算事件概率利用分布函数计算事件概率满足满足1 1，2 2，3 3的函的函数即为某随机变数即为某随机变量的分布函数量的分布函数参见：课本参见：课本P.34-35P.34-35。第7页/共85页8【例例1 1】设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为试求试求 (1)(1)系数系数A,BA,B；(2)

9、X(2)X取值落在（取值落在（-1-1，11中的概率。中的概率。解解（1 1）由）由解得：解得：于是，分布函数为：于是，分布函数为：第8页/共85页9 （2 2）由分布函数计算事件概率公式得：）由分布函数计算事件概率公式得：分布函数完全描述了随机变量的统计规律性。分布函数完全描述了随机变量的统计规律性。下面，分别讨论实际问题最常见的两类随机变量下面，分别讨论实际问题最常见的两类随机变量离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量和连续型随机变量。请大家注意它们的定义和讨论方法的异同。请大家注意它们的定义和讨论方法的异同。第9页/共85页1022、离散型随机变、离散型随机变量量 定义定义1 1

10、 全部可能取值为有限个或可列无限个的随全部可能取值为有限个或可列无限个的随机变量称为机变量称为离散型随机变量离散型随机变量.描述一个离散型随机变量描述一个离散型随机变量X X必须且只需知道必须且只需知道:X:X的所的所有可能取的值以及有可能取的值以及X X取每个可能值的概率取每个可能值的概率.一、概念一、概念二、概率分布及其性质二、概率分布及其性质 设离散型随机变量设离散型随机变量X X所有可能取值为所有可能取值为 ,且且X X取各个可能值的概率为取各个可能值的概率为第10页/共85页11上式称为离散型随机变量上式称为离散型随机变量X X的的概率分布概率分布(分布律或分布列分布律或分布列).)

11、.二、分布律 数列:分布列的分布列的表示表示:表格表格:矩阵矩阵:图形图形:在随机变量每个可能取值的点处画一长度为相在随机变量每个可能取值的点处画一长度为相应概率值的线段。应概率值的线段。P.36:图图2-1第11页/共85页12二、分布律 由概率的性质易知离散型随机变量的由概率的性质易知离散型随机变量的分布列分布列满足下列特征满足下列特征性质性质:概率的非负性公理概率的非负性公理 概率的完备性公理概率的完备性公理 分布函数与分布列关系分布函数与分布列关系 是非负数列为是非负数列为离散随机变量分布离散随机变量分布列的充要条件列的充要条件 可见可见,离散型随机变量的离散型随机变量的分布列分布列与

12、与分布函数分布函数均能完整均能完整地描述离散型随机变量的统计规律性地描述离散型随机变量的统计规律性.第12页/共85页13分布列的分布列的求法求法:利用古典概率、条件概率等计算方法及运算性质利用古典概率、条件概率等计算方法及运算性质求事件求事件X=xX=xk k 概率概率;利用已知的重要分布的分布列利用已知的重要分布的分布列;利用分布函数利用分布函数.分布列的分布列的应用应用:确定分布列中的待定参数确定分布列中的待定参数;求分布函数；求分布函数；求随机事件的概率求随机事件的概率.分布律的求法与应用第13页/共85页14分布律的形象化解释分布律的形象化解释分布律的形象化解释分布律的形象化解释 设

13、想有一设想有一单位单位质量的物质质量的物质(如一克面粉如一克面粉),),被分配在被分配在随机变量随机变量X X的所有可能取值的所有可能取值处处,其各点物质的分配量依次相应为其各点物质的分配量依次相应为个单位个单位,这就是一个这就是一个概率分布概率分布.如何计算离散随机变量落在一个区间内的概率？第14页/共85页15 【例例1 1】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯均以设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯均以p p的概的概率允许汽车通过，各信号灯的工作是相互独立的。设率允许汽车通过，各信号灯的工作是相互独立的。设X X表示表示“汽车首次停下时已通过的汽车

14、首次停下时已通过的信号灯的盏数信号灯的盏数”，求，求X X的分布律的分布律P.37P.37 为便于理解为便于理解,设事件设事件 :“:“第第k k盏灯为绿灯盏灯为绿灯(通行通行)”,)”,由由独立性独立性得得:例1 解解设设X X是是“汽车首次停下已经通过的信号灯的盏汽车首次停下已经通过的信号灯的盏数数”,则则X X为随机变量为随机变量,其可能取值为其可能取值为0,1,2,3,4;0,1,2,3,4;现求现求X X取取各值的概率各值的概率.第15页/共85页16即所求即所求分布律分布律为为续第16页/共85页17例2 【例例2 2】一袋中装有一袋中装有5 5只球，编号为只球，编号为1,2,3,

15、4,5.1,2,3,4,5.在袋中在袋中同时取同时取3 3只只,以以X X表示取出的表示取出的3 3只球的最大号码只球的最大号码,写出随机写出随机变量变量X X的分布律和分布函数。的分布律和分布函数。P.65:3P.65:3 【解】由于X表示取出的3只球的最大号码,故X的所有可能取值为3,4,5。必取必取3号球号球,只能再取只能再取1,2号球号球必取必取4号球号球,再从再从1,2,3号球中取号球中取2只只必取必取5号球号球,再从再从1,2,3,4号球中取号球中取2只只由古典概率可得：第17页/共85页18Xpk3450.10.30.6即所求分布律为即所求分布律为:由分布函数概念可知：由分布函数

16、概念可知：分布函数是累积和。因此，分布函数是累积和。因此，对离散型随机变量由分布列求分布函数时需分段考虑，对离散型随机变量由分布列求分布函数时需分段考虑，X X的所有可能取值就是分界点，即应该就的所有可能取值就是分界点，即应该就x x分别位于区间分别位于区间（-，3 3），），33，4 4），），44，5 5），），55，+）来分别计）来分别计算事件算事件XxXx的概率。的概率。当 时,例2-1第18页/共85页19 当 时,当 时,基本事件互基本事件互斥斥 当 时,故故X X的分布函数为的分布函数为例2-2第19页/共85页20 分布函数的图形为:例2-3 右连续右连续的阶梯的阶梯函数函数第

17、20页/共85页21 【例3】设随机变量X的分布律为 【解】由概率可加性与分布函数定义可得分布函数求X的分布函数和概率PX0.5,P1.5X 2.5,P2 X 3.例3-1第21页/共85页22 由分布列求分布函数时：用由分布列求分布函数时：用X X可能取的值可能取的值分分(-(-，+）为）为k+1个区间个区间分别就分别就x落在上述各区间内计算落在上述各区间内计算Xx的值概率的值概率累积和累积和即求出即求出F(x)的值；的值；注意注意几点：注意几点：离散型随机变量离散型随机变量X落在区间落在区间I内的概率可以利用分内的概率可以利用分布列或分布函数计算，即含于布列或分布函数计算，即含于I内点的概

18、率之和或分布内点的概率之和或分布函数在函数在I上的增量，必要时加减端点概率值。上的增量，必要时加减端点概率值。第22页/共85页23 离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数是一个的分布函数是一个右连续右连续的的阶梯函数阶梯函数，其，其定义域定义域是是(-,+),(-,+),值域值域是是0,10,1。三、几种重要的离散型随机变量三、几种重要的离散型随机变量 定义定义2 2 设随机变量设随机变量X X可能取值为可能取值为0 0，1 1，2 2，n n，且其分布列为，且其分布列为1、二项分布、二项分布则称则称X X服从参数服从参数n n，p p的二项分布，记为的二项分布，记为 特别的，当特别的，当

19、n=1n=1时，称之为两点分布或时，称之为两点分布或0-10-1分布分布。三、几种重要的离散型随机变量第23页/共85页24 二项分布分布律满足二项分布分布律满足:二项式公式 二项分布分布律的图形二项分布分布律的图形:二项分布性质与图形第24页/共85页25 二项分布是离散型随机变量中最重要的一种分布，二项分布是离散型随机变量中最重要的一种分布，它所适用的模型就是贝努里试验。它所适用的模型就是贝努里试验。设随机试验设随机试验E E的只有两个样本点：的只有两个样本点：，其中，其中 则则n n重贝努里试验重贝努里试验E En n中中“事件事件A A发生发生的次数的次数”X X就是服从二项分布就是服

20、从二项分布 ，即，即 E En n中的样本点都是中的样本点都是“n n个格子中有个格子中有k k格放格放A A，其余的，其余的n-kn-k个格子放个格子放A A”，这样的样本点共有，这样的样本点共有 ，由基本事件的互，由基本事件的互斥性与试验的独立性可得上述结果。斥性与试验的独立性可得上述结果。以三重贝努里试验中以三重贝努里试验中A A发生发生2 2次的概率计算为例。次的概率计算为例。第25页/共85页26 设设A Ai i为第为第i i次出现次出现A A（i=1,2,3i=1,2,3）,X,X表示表示“三次试验中三次试验中A A发生的次数发生的次数”，则，则“三次试验中三次试验中A A发生发

21、生2 2次次”的事件为：的事件为：由概率有限可加性与独立性可得：由概率有限可加性与独立性可得：第26页/共85页27 【例例4 4】一大楼装有一大楼装有5 5个同类型的供水设备个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻调查表明在任一时刻t t每个设备被使用每个设备被使用的概率为的概率为0.1,0.1,问在同一时刻问在同一时刻 (1)(1)恰有恰有2 2个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少?(2)(2)至少有至少有3 3个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少?(3)(3)至多有至多有3 3个设备被使用的概率是多少个设备被使用的概率是多少?(4)(4)至少有一个设备被使用的概率是

22、多少至少有一个设备被使用的概率是多少?【解解】设设X X表示表示“5 5个设备中同时被使用的个数个设备中同时被使用的个数”,则则有有r.v.XB(5,0.1).r.v.XB(5,0.1).于是，于是，例4 (1).恰有2个设备被使用的概率为 第27页/共85页28 (2).至少有三个设备被使用的概率为 =0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.(3).至多有三个设备被使用的概率为 =1-0.00045-0.00001=0.99954.例4-1第28页/共85页29 (4).至少有一个设备被使用的概率为 =1-0.59049=0.40951.泊松公式 请看教材请看教材P.4

23、1:例例3.关于关于二项分布的近似计算二项分布的近似计算,当当n20,p0.05n20,p0.05特别特别,n100,=np 10n100,=np 10时时,有如下的有如下的泊松公式泊松公式:学会查学会查附表附表3:泊松分布表泊松分布表.第29页/共85页30 【例例5 5】为保证设备正常工作为保证设备正常工作,需配备适量的维修工人需配备适量的维修工人(配备多了就浪费配备多了就浪费,少了会影响工少了会影响工作作),),现有同类型设备现有同类型设备300300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率均为发生故障的概率均为0.01.0.01.一台设备的一台设备的故障可由一个维

24、修工人来处理故障可由一个维修工人来处理,问至少需配备多少维修工人问至少需配备多少维修工人,才能保证设备发生故障但不才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于能及时维修的概率小于0.01.0.01.参考参考P.45:P.45:例例55 【解解】设设X X表示表示“300300台设备中同时发生故障的台数台设备中同时发生故障的台数”,则有则有r.v.XB(300,0.01).r.v.XB(300,0.01).又设需又设需要配备维修工人要配备维修工人N N人人.例5 由由题题意意“设设备备发发生生故故障障但但不不能能及及时时维维修修”即即发发生生故故障障的的设设备备数数大大于于维维修修工工人人数数

25、的的概率概率 由泊松公式得:第30页/共85页31 学查学查附表附表3:泊松分布表泊松分布表.P.296 在在P.297找到找到=np=3000.01=3一列一列,向下找到第向下找到第一个小于一个小于0.01的值为的值为0.003803,横向左找到横向左找到x=9,即即N+1=9,得得:N=8.答答:至少需配备至少需配备8个维修工人个维修工人.例5-1 请自学请自学P.45:例例5.注意其实际意义注意其实际意义.上面例子告诉我们，利用重要随机变量分布律也上面例子告诉我们，利用重要随机变量分布律也可求随机事件的概率！可求随机事件的概率！第31页/共85页322 2、泊松分布、泊松分布 定义定义3

26、 3 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,，且其分布律为则称随机变量则称随机变量X X服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布,记为记为2、泊松分布 容易验证泊松分布的分布律满足：容易验证泊松分布的分布律满足：泊松分布有着广泛的应用泊松分布有着广泛的应用P.44第32页/共85页33 【例例6 6】设某地区每年发表有关设某地区每年发表有关“利用圆规与直尺三利用圆规与直尺三等分一个角等分一个角”的文章的篇数的文章的篇数X X服从参数为服从参数为6 6的泊松分布的泊松分布,求求明年没有次类文章的概率明年没有次类文章的概率.【解解】因为所以其分布律为：因为所以其分布律为：从而，所求概率为：从而，

27、所求概率为：例例6 6第33页/共85页34常见指数函数常见指数函数e ex x值值X-1-2-3-4-5ex0.36790.13530.049790.01830.0067X-6-7-8-9-10ex0.0024790.0009120.0003350.0001230.000045 下面下面,让我们来看一个利用定义求分布函数的例子让我们来看一个利用定义求分布函数的例子,并从所得分布函数不是并从所得分布函数不是“阶梯函数阶梯函数”确定相应的随机变量确定相应的随机变量不再是不再是“离散型离散型”随机变量，由此引入随机变量，由此引入“连续型连续型”随机变量。随机变量。第34页/共85页35靶子靶子例7

28、 【例例7 7】设一靶子为半径为设一靶子为半径为2 2米的圆盘米的圆盘,射击射击(假设射击均能中靶假设射击均能中靶)靶上任一同心圆盘上靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘的面积成正比点的概率与该圆盘的面积成正比,以以X X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离,求随机变量求随机变量X X的分布函数的分布函数.弹着点弹着点 【解】只能按分布函数定义来求.1、当x0时,Xx为不可能事件(因为弹着点与圆心的距离不可能为负),故 2、当0 x 00为常数为常数,则称随机变量则称随机变量X X服从参数为服从参数为 的的指数分指数分布布，记为，记为 其分布函数为其分布函数为2 2 2 2、指数分布、指

29、数分布第51页/共85页52 【例例3 3】设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(X(分钟分钟)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为 某顾客在窗口等待服务某顾客在窗口等待服务,若超过若超过1010分钟分钟,他就离开他就离开.他一个月要到银行他一个月要到银行5 5次次.以以Y Y表示一个月表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数内他未等到服务而离开窗口的次数,写出写出Y Y的分布律的分布律,并求并求PY1.PY1.【解解】这是一道综合题这是一道综合题:指数分布指数分布+二项分布二项分布.先求先求“他未等到服务而离开他未等到服务而离开”的概率的概率:

30、例3第52页/共85页53 因为因为-2-2),),所以所以Y Y的分布律为的分布律为:于是于是,“,“一个月内至少有一次未等到服务而离开一个月内至少有一次未等到服务而离开”的概率为的概率为:例3-1第53页/共85页54例4 【例例4 4】设设K K在在(0,5)(0,5)上服从均匀分布上服从均匀分布,求方程求方程 有实根的概率有实根的概率.【解解】因为所以因为所以K K的概率密度为的概率密度为:又方程又方程 有实根有实根,当且仅当判别式当且仅当判别式第54页/共85页55即即 或或 ,故事件故事件“方程有实根方程有实根”的概率为的概率为 例4-1第55页/共85页563 3 3 3、正态分

31、布、正态分布 定义定义4 4 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为其中其中,(0),(0)均为常数均为常数,则称随机变量则称随机变量X X服从参数为服从参数为,的正态分布的正态分布,记为记为 分布函数为分布函数为此积分不能直此积分不能直接积分出来接积分出来第56页/共85页57 特别的特别的,当当=0,=1=0,=1时称服从时称服从标准正态分布标准正态分布,其其概率密度概率密度与与分布函数分布函数分别为分别为:正态分布的正态分布的性质性质:(1 (1、概率密度曲线关于直线、概率密度曲线关于直线x=x=成成轴对称轴对称;(2 (2、概率密度函数、概率密度函数最大值最大值

32、为为:且在点出且在点出xx处有处有拐点拐点,并以并以x x轴为轴为水平渐近线水平渐近线;正态分布性质第57页/共85页58 (3 (3、位置参数位置参数(X(X的数学的数学期望期望)确定概率密度曲线的确定概率密度曲线的位置位置;形状参数形状参数(X(X的的均方差均方差)确定概率密度曲线的形状确定概率密度曲线的形状;(4 (4、标准正态分布函数满足公式、标准正态分布函数满足公式:由于标准正态分布概率密度函数关于由于标准正态分布概率密度函数关于y y轴对称轴对称,因此因此,概率密度曲线在概率密度曲线在(-,-x,(-,-x,x,+)x,+)上与上与x x轴所围成的轴所围成的面积相等面积相等,而它们

33、分别为而它们分别为:续1第58页/共85页59 (5 (5、非标准正态分布函数与标准正态分布函数之间、非标准正态分布函数与标准正态分布函数之间的关系的关系 标准化标准化:续2 定理定理 设r.v.,则r.v.【证明证明】利用定积分的利用定积分的换元积分法换元积分法,此略此略.由上述定理可得由上述定理可得:因此因此,关于正态分布的计算只需利用标准正态分布即可关于正态分布的计算只需利用标准正态分布即可,而标而标准正态分布函数值可查准正态分布函数值可查附表附表2:2:标准正态分布表标准正态分布表P.295P.295求得。求得。第59页/共85页60 一般一般,有下列公式有下列公式:设设2 2),),

34、则则计算公式 (6 (6、标准正态分布的、标准正态分布的上上分位点分位点与与双侧双侧/2/2分位点分位点:定义定义5 5 设设 N(0,1),N(0,1),则称满足条件则称满足条件的点的点 为标准正态分布为标准正态分布的的上上分位点分位点.即即第60页/共85页61上分位点 查表求上查表求上 分位点时应根据表头定义来具体处理分位点时应根据表头定义来具体处理.例如例如：由附表：由附表2 2应利用应利用 当当=0.05=0.05时时,1-=0.95,1-=0.95,在附表在附表2P.2952P.295的表中函数值的表中函数值中找到最接近中找到最接近0.950.95的值的值:0.9495:0.949

35、5与与0.9505,0.9505,它们对应的它们对应的x x值分值分别为别为1.641.64与与0.65,0.65,故可取其算术平均值为上故可取其算术平均值为上0.050.05分位点分位点:当当=0.005=0.005时时,1-=0.995,1-=0.995,在表中函数值中找到最接在表中函数值中找到最接近近0.9950.995的值的值:0.9949:0.9949与与0.9951,0.9951,它们对应的它们对应的x x值分别为值分别为2.572.57与与2.58,2.58,故可取其算术平均值为上故可取其算术平均值为上0.0050.005分位点分位点:第61页/共85页62 例如，当例如，当=0

36、.05=0.05时时,/2=0.025,1-/2=0.975,/2=0.025,1-/2=0.975,查查标准标准正态分布表正态分布表可得可得双侧双侧0.0250.025分位点分位点为为双侧/2分位点此外，在数理统计中还经常用到此外，在数理统计中还经常用到“双侧双侧/2/2分位点分位点”：第62页/共85页63 (7 (7、利用标准正态分布函数、利用标准正态分布函数可以计算概率积分：可以计算概率积分：续3 (8 (8、正态分布的、正态分布的“3-3-原则原则”第63页/共85页64 【例例5 5】设随机变量设随机变量XN(3,4),XN(3,4),例5 (1)(1)求求P2X5,P-4X2,P

37、X3;P2X5,P-4X2,PX3;(2)(2)确定确定c,c,使使PXc=PXc.PXc=PXc.【解解】(1)(1)=2=2第64页/共85页65(2)(2)因为因为所以所以 续于是，于是，即即 第65页/共85页66 关于重要分布关于重要分布,请看教材请看教材附表附表1:1:几种常用的概率分几种常用的概率分布布P.292-294.P.292-294.2 2-分布、分布、t-t-分布、分布、F-F-分布分布将在第六章中简单扼要将在第六章中简单扼要地予以介绍地予以介绍,它们是数理统计的基础，请预习之它们是数理统计的基础，请预习之!第66页/共85页6744、随机变量函数的分、随机变量函数的分

38、布布 已知随机变量已知随机变量X X的分布的分布,现求其现求其连续函数连续函数Y=g(X)Y=g(X)的分的分布。此时，布。此时，Y Y也是随机变量。也是随机变量。一、离散型随机变量函数分布列的求法一、离散型随机变量函数分布列的求法 （同一表格法）（同一表格法）设离散型的分布律为设离散型的分布律为则求函数则求函数Y=g(X)Y=g(X)的分布律的的分布律的步骤步骤为：为：求求Y Y的所有可能取值的所有可能取值 计算计算Y Y取各可能值的概率：取各可能值的概率：如果如果Y Y各可能取值各可能取值互异互异,即即 则则第67页/共85页68 如果如果Y Y各可能取值中存在多个值相等各可能取值中存在多

39、个值相等,则则Y Y取该值取该值的概率为这些相等值对应的的概率为这些相等值对应的X X取值的概率之和取值的概率之和.例如例如,当当则由基本事件互斥性与概率可加性得：则由基本事件互斥性与概率可加性得：一、离散型第68页/共85页69 【例例1 1】设的分布律为设的分布律为:求求X-1,XX-1,X2 2-1-1的分布律的分布律.【解解】采用采用“同一表格法同一表格法”.X-1012pk0.20.30.10.4pk0.20.30.10.4X-1012X-1X-1-2-2-1-10 01 1XX2 2-1-10-1-103 3例1互异互异有等值有等值第69页/共85页70X-1-2-101pk0.2

40、0.30.10.4 故故X-1X-1分布律为分布律为:X X2 2-1-1的分布律为的分布律为:X2-1-103pk0.30.30.4例1-1 其中其中 第70页/共85页71二、连续型随机变量函数概率密度的求法二、连续型随机变量函数概率密度的求法 方法方法1 1 分布函数法分布函数法(一般情形一般情形)设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为 ,则求则求Y=g(X)Y=g(X)的概率密度的概率密度 的步骤为：的步骤为：其中积分区间是以其中积分区间是以y y的函数为端点的区间。的函数为端点的区间。分布函数对分布函数对y y求导数即得概率密度：求导数即得概率密度：,求导求导

41、时一般用到时一般用到变限函数变限函数的导数公式的导数公式.二、连续型 求求Y Y的分布函数：的分布函数：第71页/共85页72 【例例2 2】设设r.v.Xr.v.X的概率密度为的概率密度为 求求Y=XY=X2 2的概率密度。的概率密度。【解解】设设Y Y的分布函数为的分布函数为 ，则，则对对y y求导得：求导得：例2第72页/共85页73 特别的特别的,如则如则例2-1第73页/共85页74于是，于是，Y=XY=X2 2的分布律为的分布律为 此时，称此时，称Y Y服从自由度为服从自由度为1 1的的 2-2-分布分布。例2-2变限函数求导公式变限函数求导公式:第74页/共85页75 【例例3

42、3】设求设求Y=eY=eXX的概率密度的概率密度.【解解】因为所以因为所以X X的概率密度为：的概率密度为：例3从而从而,整个整个y轴相应地也被分为三轴相应地也被分为三部分部分:(-,1),1,e),e,+).如图如图,的非零段将整个的非零段将整个x轴分为三部分轴分为三部分:(-,0),0,1),1,+);因此因此,应就应就y分为上述三个区分为上述三个区间来求间来求Y的分布函数的分布函数.第75页/共85页76 (1)(1)当当y1y1时时,再分为两种情形再分为两种情形:(a)(a)当当y0y0时时,(b)(b)当当0 y10 y1时时,续1故当故当y1y1时时,第76页/共85页77 (2)

43、(2)当当1ye1ye时时,(3)(3)当当yeye时时,续2第77页/共85页78 综上所述得综上所述得Y Y的的分布函数分布函数为为:求导得求导得Y Y的的概率密度概率密度为为:续3注意注意:本题是重要题型本题是重要题型,必须熟练掌握。必须熟练掌握。第78页/共85页79 方法方法2 2 公式法公式法(y=g(x)(y=g(x)为为单调可导单调可导函数函数)函数函数g(x)g(x)处处可导且有恒有处处可导且有恒有公式法 定理定理 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为则则Y=g(X)Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为是连续型随机变量，且其概率密度为其中其中

44、h(y)h(y)为为g(x)g(x)的反函数，且的反函数，且证明自学证明自学第79页/共85页80若若 只在有限区间只在有限区间 上不为零，则只需上不为零，则只需 假设在假设在 上恒有上恒有 ，此时，此时例2解法2由概率密度求随机变量函数分布的方法由概率密度求随机变量函数分布的方法当随机变量函数是单调可导函数时当随机变量函数是单调可导函数时,可采用可采用公式法公式法;当随机变量函数不是单调函数时当随机变量函数不是单调函数时,可采用可采用分布函数法分布函数法.核心核心:事件事件g(X)g(X)yy等价转换为等价转换为XX IyIy。第80页/共85页81此时，此时，【例例2 2】设求设求Y=eY

45、=eXX的概率密度的概率密度.【解解】因为所以因为所以X X的概率密度为：的概率密度为：由公式得：由公式得：第81页/共85页82 续第82页/共85页83例3 【证证】因为因为2 2),),所以所以X X的概率密度为：的概率密度为：【例例3 3】设设2 2),),则则Y=aX+b(a0)Y=aX+b(a0)也服从正也服从正态分布。态分布。而而y=g(x)=ax+by=g(x)=ax+b单调可导，且有：单调可导，且有：由公式得Y=aX+b的概率密度为：第83页/共85页84 即 即有：即有：Y=aX+bN(a+b,(a)Y=aX+bN(a+b,(a)2 2).).上述结果表明：上述结果表明：正态分布的线性函数仍为正态分布正态分布的线性函数仍为正态分布。续第84页/共85页85感谢您的观看！第85页/共85页