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1、 一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.第一节 随机变量第1页/共38页 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份郑州的最高温度；每天从郑州下火车的人数；昆虫的产卵数；第2页/共38页2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.第3页/共38页这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样
2、吗？第4页/共38页（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.称这种定义在样本空间上的实值函数为随量机变简记为 r.v.(random variable)第5页/共38页 有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件收到不少于1次呼叫 X 1 没有收到呼叫 X=0 第6页/共38页三、随机变量的分类 通常分为两类
3、：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.第7页/共38页 这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.随机变量连续型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法.第8页/共38页 设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1,x2,.为了描述随机变量 X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.第二节第二节 离散型随机变
4、量离散型随机变量第9页/共38页其中 (k=1,2,)满足：k=1,2,（1）（2）定义1：设xk(k=1,2,)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 k=1,2,为离散型随机变量X的概率分布或分布律，有的书上也称概率函数.用这两条性质判断一个函数是否是概率分布一、离散型随机变量概率分布的定义第10页/共38页二、常见的离散型随机变量的概率分布(I)(I)两点分布(设E E是一个只有两种可能结果的随机试验,用=1 1,2 2 表示其样本空间.P(P(1 1)=p,P()=p,P(2 2)=1-p)=1-pl来源来源X()=1,=10,=2第11页/共38页 每次试验成功的概率都是p p，这样
5、的n次独立重复试验称作n n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则称r.v.r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作 XB(n,p)（II)II)二项分布第12页/共38页注:贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ，且P(A)=p，；（3）各次试验相互独立.第13页/共38页 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松
6、分布,记作XP().(III)泊松分布第14页/共38页 由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等第15页/共38页 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.第三节第三节 连续型随机变量连续型随机变量第16页/共38页,使得对任意 ,有 对于随机变量 X,如果存在非负可积函数f(x),x 则称 X为连续
7、型r.v.,称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度.一、连续型r.v.及其概率密度函数的定义第17页/共38页 概率密度函数的性质1 o2 o这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为1第18页/共38页 故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.若x是 f(x)的连续点，则：=f(x)对 f(x)的进一步理解第19页/共38页 要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a
8、附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo第20页/共38页若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.第21页/共38页二、随机变量的分布函数 设X(X()是一个随机变量.称函数 F(x):=PXx,-x F(x):=PXx,-x 为随机变量X X的分布函数.l分布函数的性质分布函数的性质（1 1）ab,a0，则称X服从参数为 和 的正态分布.(Normal)第29页/共38页(2)正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲
9、线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.第30页/共38页 决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布 的图形特点第31页/共38页故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值:令x=+c,x=-c(c0),分别代入f(x),可得f(+c)=f(-c)且 f(+c)f(),f(-c)f()第32页/共38页这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。当x 时，f(x)0,第33页/共38页用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。第34页/共38页若 r.v.X的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X Ua,b（II）均匀分布）均匀分布(Uniform)（注：X U（a,b）第35页/共38页均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。若X Ua,b，则对于满足的c,d,总有第36页/共38页则称 X 服从参数为 的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.（III）指数分布：若 r.v X具有概率密度常简记为 XE().第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页