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1、会计学1第二随机变量第二随机变量(su j bin lin)及其分及其分布第布第 节节第一页，共70页。又例如，在一批灯泡中任取一只，测试又例如，在一批灯泡中任取一只，测试(csh)其寿命。其寿命。其样本空间为其样本空间为 如果如果(rgu)用用X表示灯泡的表示灯泡的寿命值寿命值,则每一个灯泡的测试结果即每一个样本则每一个灯泡的测试结果即每一个样本点都对应着点都对应着 X 的一个值，且的一个值，且X取不同值或在不同取不同值或在不同范围内取值对应着不同的事件。如范围内取值对应着不同的事件。如 X=1000（小时）表示（小时）表示“灯泡的寿命为灯泡的寿命为1000小小时时”，（小时）表示（小时）表
2、示“灯泡的寿命为小于灯泡的寿命为小于或等于或等于1500小时小时”。在上述两例中，试验的结果本身就是数量性在上述两例中，试验的结果本身就是数量性质的随机现象，可直接用某一变量质的随机现象，可直接用某一变量(binling)来表示。但还来表示。但还有一些试验的结果不能直接用数量表示。有一些试验的结果不能直接用数量表示。第1页/共70页第二页，共70页。如考察一台机器在一年内是否发生故障如考察一台机器在一年内是否发生故障(gzhng)这一随这一随机现象，可能的结果共有两个，机现象，可能的结果共有两个，“完好完好”或或“故障故障(gzhng)”。它们并不表示为数量；又如掷硬币的试验也一样。它们并不表
3、示为数量；又如掷硬币的试验也一样。对这些试验的结果，我们可以把它们数量化，对这些试验的结果，我们可以把它们数量化，如引入一个只取两个值如引入一个只取两个值(1或或0)的变量的变量X，用，用“X=1”表示表示(biosh)机器完好这一随机事件，用机器完好这一随机事件，用“X=0”表示表示(biosh)机器发机器发生故障这一随机事件。生故障这一随机事件。由此可知，随机试验的结果往往可以用一个变量来表示，变量取什么值由试验的结果决定，而试验结果又是样本空间的一个子集。为此(wi c)，我们给出随机变量的定义。第2页/共70页第三页，共70页。定义定义定义定义(dngy(dngy)：设随机试验的样本空
4、间为设随机试验的样本空间为S=e。X=X(e)是是定义在样本空间定义在样本空间S上的实值单值函数上的实值单值函数(hnsh)。称称 X=X(e)为随机变量。为随机变量。随机变量一般用大写随机变量一般用大写(dxi)的字母如的字母如X,Y,Z 等表示等表示,而随机变量的取值一般用小写的字母如而随机变量的取值一般用小写的字母如x,y,z表示。表示。随机变量随机变量随机变量随机变量X X 常常简记为常常简记为常常简记为常常简记为 r r.v v.X X。随机变量与一般的变量有着本质的区别，随机变量与一般的变量有着本质的区别，主要主要表现在：表现在：(1)取值的随机性取值的随机性-即即X取什么值在试验
5、之前无法取什么值在试验之前无法知道知道.(但在试验之前但在试验之前X的所有可能取值是已知的的所有可能取值是已知的)(2)取值的统计规律性取值的统计规律性-即即X取某个值或在某个区取某个值或在某个区间内取值的概率是完全确定的。间内取值的概率是完全确定的。第3页/共70页第四页，共70页。随机变量的引入，使我们能用其来描述各种随机变量的引入，使我们能用其来描述各种随机现象，使我们有可能利用数学分析的方法对随机现象，使我们有可能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛随机试验的结果进行深入广泛(gungfn)的研究和讨论。的研究和讨论。在实际中，常用在实际中，常用(chn yn)的随机变量有如
6、下两类：的随机变量有如下两类：(1)离散离散(lsn)型随机变量型随机变量 这类随机变量的主要特征是这类随机变量的主要特征是它们可能取的值是有限个或无限可列个；它们可能取的值是有限个或无限可列个；除了离散型随机变量以外除了离散型随机变量以外的随机变量。的随机变量。(2)非离散型随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量 非离散型随机变量的情况比较复杂，在实用非离散型随机变量的情况比较复杂，在实用中中,常遇到的是它的一个特殊情形常遇到的是它的一个特殊情形-连续型随机连续型随机连续型随机连续型随机变量变量变量变量。这类随机变量的主要特征是它们可能的取这类随机变量的主要特征是它们可能的
7、取值充满了某个有限或无限的区间。值充满了某个有限或无限的区间。第4页/共70页第五页，共70页。第二节第二节第二节第二节 离散离散离散离散(lsn)(lsn)型随机变量及其分布律型随机变量及其分布律型随机变量及其分布律型随机变量及其分布律 离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值。为了全面地描述离散型随机变量，我们值。为了全面地描述离散型随机变量，我们(w men)不仅要不仅要知道它可能取的值是哪一些，而且还要知道它取这知道它可能取的值是哪一些，而且还要知道它取这些值的概率是多少。只有这样，才能确切地掌握离些值的概率是多少。只有这样，才能确切地掌握离散
8、型随机变量的统计规律性。散型随机变量的统计规律性。设离散型随机变量设离散型随机变量X所有所有(suyu)可能的取值为可能的取值为X取各个可能值的概率，即事件取各个可能值的概率，即事件的概率为的概率为则称上述一系列等式为则称上述一系列等式为离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量X X的分布律的分布律的分布律的分布律。第5页/共70页第六页，共70页。离散离散(lsn)型随机变量型随机变量X的分布律也可以用表格形式给出：的分布律也可以用表格形式给出：由概率的定义可知，离散型随机变量的分布律具由概率的定义可知，离散型随机变量的分布律具有以下两个有以下两个(lin)性质：性质：第6页
9、/共70页第七页，共70页。例例1：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号信号(xnho)灯，灯，每组信号每组信号(xnho)灯以灯以1/2的概率允许或禁止汽车的概率允许或禁止汽车通过。以通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号表示汽车首次停下时，它已通过的信号(xnho)灯的组数（设各组信号灯的组数（设各组信号(xnho)灯的工作是相互独立的），灯的工作是相互独立的），求求X的分布律。的分布律。解：解：解：解：以以p表示表示(biosh)每组信号灯禁止汽车通过的概率，每组信号灯禁止汽车通过的概率，以以p=1/2代入并列代入并列(bngli)成表
10、格，得成表格，得易知：易知：第7页/共70页第八页，共70页。例例2：一袋中装有：一袋中装有5只球，编号只球，编号(bin ho)为为1,2,3,4,5.在袋中同在袋中同时取时取3只，以只，以X表示取出的表示取出的3只球中的最大号码，写只球中的最大号码，写出出X的分布律。的分布律。解：解：解：解：列成表格列成表格(biog)，得，得第8页/共70页第九页，共70页。几个常用几个常用几个常用几个常用(chn(chn yn yn)的离散型随机变量的的离散型随机变量的的离散型随机变量的的离散型随机变量的分布分布分布分布（一）（一）（一）（一）两点分布两点分布两点分布两点分布(fnb)(fnb)（贝努
11、利分布（贝努利分布（贝努利分布（贝努利分布(fnb)(fnb)）如果如果(rgu)离散型随机变量离散型随机变量X只取只取a，b两个值，且两个值，且其分布律为其分布律为则称离散型随机变量则称离散型随机变量X服从服从两点分布两点分布两点分布两点分布(贝努利分布贝努利分布贝努利分布贝努利分布)或称离散型随机变量或称离散型随机变量X的分布为的分布为两点分布两点分布两点分布两点分布。当当 a=0，b=1 时，又称时，又称（0 10 1）分布）分布）分布）分布第9页/共70页第十页，共70页。（二）（二）（二）（二）贝努利试验贝努利试验贝努利试验贝努利试验(shyn)(shyn)、二项分布、二项分布、二项
12、分布、二项分布则称则称E为贝努利试验为贝努利试验(shyn)。将将E独立重复地进行独立重复地进行(jnxng)n次，则称这一串次，则称这一串重复的独立试验为重复的独立试验为n重贝努利试验。重贝努利试验。若在若在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A发生的次数为发生的次数为X，则，则X的可能的取值为的可能的取值为0,1,n。而人们所关心的问题是：事件而人们所关心的问题是：事件A恰好发生恰好发生k次的次的概率是多少？概率是多少？则易证：则易证：第10页/共70页第十一页，共70页。则有则有显然显然(xinrn)，-二项概率二项概率二项概率二项概率(gil)(gil)公式公式公式公式第11页/
13、共70页第十二页，共70页。如果离散如果离散(lsn)型随机变量型随机变量X可能取的值为可能取的值为0,1,2,n。且其分布律为且其分布律为则称离散则称离散(lsn)型随机变量型随机变量X服从二项分布，记为服从二项分布，记为特别特别(tbi)地，当地，当 n=1 时，时，即为即为（0-1）分布。）分布。事件事件A至少出现至少出现m次的概率为次的概率为第12页/共70页第十三页，共70页。例例1：某人进行射击，设每次射击的命中率为：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击独立射击400次，试求至少次，试求至少(zhsho)击中两次的概率。击中两次的概率。解：解：解：解：将一次射击将一
14、次射击(shj)看成是一次试验（贝努利试验）看成是一次试验（贝努利试验）设击中的次数设击中的次数(csh)为为X，则，则X的分布律为的分布律为所以所求概率为所以所求概率为第13页/共70页第十四页，共70页。例例2：某人进行射击，设每次射击的命中率为：某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.02，问至少必须进行多少问至少必须进行多少(dusho)次独立射击，才能使至少击中次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于一次的概率不小于0.9。解：解：解：解：设设 X 为为n次射击次射击(shj)中击中的次数，则中击中的次数，则第14页/共70页第十五页，共70页。例例3：某店内有：某店内有4名售货员
15、，据以往经验，每名售名售货员，据以往经验，每名售货员平均在一小时货员平均在一小时(xiosh)内只用秤内只用秤15分钟。问该店应配分钟。问该店应配置几台秤较为合理？置几台秤较为合理？解：解：解：解：观察一名售货员是否观察一名售货员是否(sh fu)用秤作为一次试验用秤作为一次试验（贝努利试验）（贝努利试验）X的分布的分布(fnb)律为律为则观察四名售货员在某一时刻是否都在用秤则观察四名售货员在某一时刻是否都在用秤就是就是4重贝努利试验重贝努利试验设某一时刻需用秤的售货员人数为设某一时刻需用秤的售货员人数为X，则，则第15页/共70页第十六页，共70页。则则由此可见，配置由此可见，配置(pizh
16、)2台秤较为合理。台秤较为合理。第16页/共70页第十七页，共70页。例例4：从某工厂的产品中进行重复抽样检查，共取出：从某工厂的产品中进行重复抽样检查，共取出200件件样品，经检查后发现其中共有样品，经检查后发现其中共有(n yu)4件次品。件次品。问能否相信该厂出次品的概率不超过问能否相信该厂出次品的概率不超过0.005？解：解：解：解：先假设该厂出次品的概率先假设该厂出次品的概率(gil)为为 0.005，那么，那么200件件样品中的次品数样品中的次品数 X 服从服从则则200件样品件样品(yngpn)中有中有4件次品的概率为件次品的概率为这说明，当该厂出次品的概率为这说明，当该厂出次品
17、的概率为0.005时，检查时，检查200件产品发现有件产品发现有4件次品的事件是件次品的事件是小概率事件小概率事件小概率事件小概率事件，因为因为小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但现在小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但现在居然发生了。因此，我们有理由怀疑原来的假设有居然发生了。因此，我们有理由怀疑原来的假设有问题。即该厂出次品的概率不超过问题。即该厂出次品的概率不超过0.005不可信。不可信。第17页/共70页第十八页，共70页。（三）（三）（三）（三）泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)如果如果(rgu)离散型随机变量离散型随机变量X可能取的值为可能取的值为0,1,
18、2,且其分布律为且其分布律为则称离散型随机变量则称离散型随机变量X服从服从(fcng)泊松分布，记为泊松分布，记为易知，易知，=1.第18页/共70页第十九页，共70页。在现实生活中有许多随机现象服从泊松分布，在现实生活中有许多随机现象服从泊松分布，这种情况特别集中这种情况特别集中(jzhng)在两个领域中，一是在两个领域中，一是社会生活中的服务领域，如电话交换台在一段时社会生活中的服务领域，如电话交换台在一段时间内来到的呼叫数；公共汽车站在一段时间内来间内来到的呼叫数；公共汽车站在一段时间内来到的乘客数；某地区在一天内邮递遗失的信件数；到的乘客数；某地区在一天内邮递遗失的信件数；某一医院在一
19、天内的急诊人数；某一地区在一段某一医院在一天内的急诊人数；某一地区在一段时间间隔内发生的交通事故数等。另一领域是物时间间隔内发生的交通事故数等。另一领域是物理学，如在一段时间内由放射性物质发出的、落理学，如在一段时间内由放射性物质发出的、落在某区域内的质点数；在一段时间内由显微镜观在某区域内的质点数；在一段时间内由显微镜观察得到的落在某区域内血球数等。它们都服从泊察得到的落在某区域内血球数等。它们都服从泊松分布。松分布。第19页/共70页第二十页，共70页。课课 外外 习习 题题第第第第 68 页页2,32,3，5，6，7 7第20页/共70页第二十一页，共70页。第三节第三节第三节第三节 随
20、机变量的分布随机变量的分布随机变量的分布随机变量的分布(fnb)(fnb)函数函数函数函数 对于非离散型随机变量对于非离散型随机变量X，由于其取值不能，由于其取值不能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来刻画它。另外，我们通变量那样可以用分布律来刻画它。另外，我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于值的概率都等于0（这一点在下一节将会讲到）。（这一点在下一节将会讲到）。再着，在实际问题的讨论中，对有些随机变量，再着，在实际问题的讨论中，对有些随机变量，例如误差例如
21、误差 ，元件的寿命，元件的寿命T等，我们并不会对误等，我们并不会对误差差 ，寿命，寿命T=1251.3(h)的概率感兴趣，的概率感兴趣，而是考虑误差落在某个区间的概率，寿命大于某而是考虑误差落在某个区间的概率，寿命大于某个值的概率，因而我们现在考虑随机变量所取的个值的概率，因而我们现在考虑随机变量所取的值落在一个区间的概率：值落在一个区间的概率：第21页/共70页第二十二页，共70页。为此，现引入随机变量为此，现引入随机变量(su j bin lin)的分布函数的概念。的分布函数的概念。定义定义定义定义(dngy)(dngy)：设设X是一个是一个(y)随机变量，随机变量，x是任意实数，函数是任
22、意实数，函数称为称为X的的分布函数分布函数分布函数分布函数。分布函数具有以下几个性质：分布函数具有以下几个性质：分布函数具有以下几个性质：分布函数具有以下几个性质：(1)F(x)是是x的不减函数，的不减函数，第22页/共70页第二十三页，共70页。(4)F(x)至多有可列个间断至多有可列个间断(jindun)点，且在其间断点，且在其间断(jindun)点处是点处是 右连续的。右连续的。对离散型随机变量对离散型随机变量(su j bin lin)X，若其分布律为，若其分布律为则其分布则其分布(fnb)函数为函数为第23页/共70页第二十四页，共70页。例例1：设随机变量：设随机变量(su j b
23、in lin)X的分布律为的分布律为求求X的分布的分布(fnb)函数，并求函数，并求解：解：解：解：第24页/共70页第二十五页，共70页。即分布即分布(fnb)函数函数F(x)为为F(x).-1 1 2 3 x 1.。第25页/共70页第二十六页，共70页。第26页/共70页第二十七页，共70页。例例2：一个靶子是半径为：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，比，并设射击都能中靶，以以X表示弹着点与圆心表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量的距离。试求随机变量X的分布的
24、分布(fnb)函数。函数。解：解：解：解：故得故得 k=1/4，于是于是(ysh)第27页/共70页第二十八页，共70页。即分布即分布(fnb)函数函数F(x)为为F(x).-1 1 2 3 x 1.第28页/共70页第二十九页，共70页。容易看出容易看出(kn ch)，对上述的，对上述的F(x)，存在存在(cnzi)f(t)，使得，使得 这就是说，这就是说，F(x)恰是非负函数恰是非负函数 f(t)在区间在区间 上的积分。上的积分。在这种情况我们在这种情况我们(w men)称称X为连续型随机变量。为连续型随机变量。第29页/共70页第三十页，共70页。课课 外外 习习 题题第第第第 69 6
25、9 页页页页1111，1212，1313第30页/共70页第三十一页，共70页。第四节第四节第四节第四节 连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量(su j bin lin(su j bin lin)及其概率密度及其概率密度及其概率密度及其概率密度 如果如果(rgu)对于随机变量对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x),存在非存在非负函数负函数f(x),使对于使对于(duy)任意实数任意实数 x 有有则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量，其中函数，其中函数f(x)称为称为X的的概率密度函数概率密度函数概率密度函数概率密度函数，简称，简称概率密
26、度概率密度概率密度概率密度。可以证明连续型随机变量可以证明连续型随机变量X的分布函数的分布函数 F(x)是连续函数。是连续函数。概率密度函数概率密度函数概率密度函数概率密度函数 f f(x x)的性质：的性质：的性质：的性质：第31页/共70页第三十二页，共70页。由此可得，由此可得，此式表明，此式表明，f(x)不是不是 X 取值取值 x 的概率的概率(gil)，而是，而是 X 在在 x点概率点概率(gil)分布的密集程度。由分布的密集程度。由 f(x)的大小可反映出的大小可反映出X 在在 x 点附近取值的概率点附近取值的概率(gil)大小。大小。第32页/共70页第三十三页，共70页。由上式
27、，还可得：由上式，还可得：对连续型随机变量对连续型随机变量(su j bin lin)X，有，有因此，如因此，如A是不可能是不可能(knng)事件，则事件，则 P(A)=0,但反之不然。但反之不然。另外另外(ln wi)有：有：第33页/共70页第三十四页，共70页。以后以后(yhu)当我们提到一个随机变量当我们提到一个随机变量X的的“概率分布概率分布”时，指的是它的分布函数；时，指的是它的分布函数；或者，当或者，当 X 是连续型随机变量时指的是它是连续型随机变量时指的是它的概率密度，当的概率密度，当 X 是离散型随机变量时指是离散型随机变量时指的是它的分布律。的是它的分布律。第34页/共70
28、页第三十五页，共70页。例：设连续性随机变量例：设连续性随机变量(su j bin lin)X的概率密度为的概率密度为解：解：解：解：第35页/共70页第三十六页，共70页。第36页/共70页第三十七页，共70页。几个几个几个几个(j(j )常用的连续型随机变量的分布常用的连续型随机变量的分布常用的连续型随机变量的分布常用的连续型随机变量的分布（一）（一）（一）（一）均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布 如果如果(rgu)连续型随机变量连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为则称连续型随机变量则称连续型随机变量X在区间在区间(q jin)(a,b)上服从均匀分布。上服从均匀分布。记为记为 在区
29、间在区间 (a,b)上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量 X，具，具有下述意义的等可能性：即它落在区间有下述意义的等可能性：即它落在区间 (a,b)中任意中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。等长度的子区间内的可能性是相同的。第37页/共70页第三十八页，共70页。如果如果 X在区间在区间(q jin)(a,b)上服从均匀分布。上服从均匀分布。则其概率密度为则其概率密度为其分布其分布(fnb)函数为函数为第38页/共70页第三十九页，共70页。（二）（二）（二）（二）指数分布指数分布指数分布指数分布 如果如果(rgu)连续型随机变量连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为则称
30、连续型随机变量则称连续型随机变量(su j bin lin)X 服从指数分布。服从指数分布。其分布其分布(fnb)函数为函数为第39页/共70页第四十页，共70页。在实际生活中，常用指数分布作为各种在实际生活中，常用指数分布作为各种“寿寿命命”分布的近似分布的近似(jn s)。如电子元件的寿命、动物的寿。如电子元件的寿命、动物的寿命等都假定服从指数分布。命等都假定服从指数分布。服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量(su j bin lin)X具具有一个很有趣有一个很有趣的性质：无记忆性。的性质：无记忆性。事实上，事实上，第40页/共70页第四十一页，共70页。无记忆性的理论无记忆性的理
31、论(lln)解释：解释：已知某一元件已使用了已知某一元件已使用了s小时，则它总共能小时，则它总共能使用至少使用至少s+t小时的条件概率小时的条件概率(gil)，与它从开始使用与它从开始使用时算起它至少能使用时算起它至少能使用t小时的概率小时的概率(gil)相等。相等。（三）（三）（三）（三）正态分布正态分布正态分布正态分布 正态分布是概率论中最重要的一种分布。一正态分布是概率论中最重要的一种分布。一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布方面，正态分布是自然界最常见的一种分布,如测如测量时的误差、农作物的收获量、炮弹弹落点的分量时的误差、农作物的收获量、炮弹弹落点的分布、人的生理特征的尺寸（身高
32、、体重等）、学布、人的生理特征的尺寸（身高、体重等）、学生成绩生成绩(chngj)的分布等都近似服从正态分布；一的分布等都近似服从正态分布；一般说来，如影响某一数量指标的随机因素很多，般说来，如影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用又不太大，且它们是相互而每个因素所起的作用又不太大，且它们是相互独立的，而影响又是可以相互叠加的，则这个指独立的，而影响又是可以相互叠加的，则这个指标服从标服从正态分布。这一点可以用概率论中的中心极限定正态分布。这一点可以用概率论中的中心极限定理加以理加以证明。（在第五章里将会介绍）证明。（在第五章里将会介绍）第41页/共70页第四十二页，共70页。另
33、一方面，正态分布具有很多良好的性质，它的分布具有另一方面，正态分布具有很多良好的性质，它的分布具有“两头小，中间大两头小，中间大”的特点，许多分布可用正态分布来近似；另外的特点，许多分布可用正态分布来近似；另外一些分布又可以用正态分布来导出。因此一些分布又可以用正态分布来导出。因此(ync)在理论研究中，在理论研究中，正态分布又有十分重要的地位。正态分布又有十分重要的地位。如果如果(rgu)连续型随机变量连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为则称连续型随机变量则称连续型随机变量 X 服从服从(fcng)参数为参数为的的正态分布正态分布正态分布正态分布或或高斯高斯高斯高斯(GaussGau
34、ss)分布分布分布分布，记为记为第42页/共70页第四十三页，共70页。xf(x)0f(x)具有具有(jyu)的性的性质：质：第43页/共70页第四十四页，共70页。X 的概率密度为的概率密度为 X 的分布的分布(fnb)函数为函数为第44页/共70页第四十五页，共70页。X 的概率密度特别的概率密度特别(tbi)记为记为 X 的分布函数的分布函数(hnsh)特别记为特别记为标准标准标准标准(biozhn)(biozhn)正态分布。正态分布。正态分布。正态分布。第45页/共70页第四十六页，共70页。引理：引理：引理：引理：证：证：证：证：由此知由此知证毕证毕第46页/共70页第四十七页，共7
35、0页。于是于是(ysh)，则其分布则其分布(fnb)函数函数F(x)可写成可写成 由于正态分布由于正态分布(fnb)在概率计算中的重要性，再加上在概率计算中的重要性，再加上正态正态分布分布(fnb)可化为标准正态分布可化为标准正态分布(fnb)来处理，因此人们来处理，因此人们已编制好了已编制好了标准正态分布标准正态分布(fnb)的分布的分布(fnb)函数值表函数值表(见书后附表见书后附表2)。第47页/共70页第四十八页，共70页。第48页/共70页第四十九页，共70页。x第49页/共70页第五十页，共70页。例例1：将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器：将一温度调节器放置在贮存着某种液体
36、的容器内。调节器整定在内。调节器整定在 液体的温度液体的温度X(以以 计计)是是一个随机变量，且一个随机变量，且 求求X小于小于89的概率；的概率；(2)若要求保持液体的温度至少若要求保持液体的温度至少(zhsho)为为80的概率不低于的概率不低于0.99，问，问d至少至少(zhsho)为多少？为多少？解：解：解：解：(1)所求概率所求概率(gil)为为(2)按题意按题意(t y)需求需求d满足满足第50页/共70页第五十一页，共70页。即即亦即亦即第51页/共70页第五十二页，共70页。例例2：设测量从某地到某一目标的距离：设测量从某地到某一目标的距离(jl)时带有的随时带有的随机误差机误差
37、X具有概率密度为具有概率密度为(1)求误差的绝对值不超过求误差的绝对值不超过30的概率；的概率；(2)如果如果(rgu)接连测三次，各次测量是相互独立的。求接连测三次，各次测量是相互独立的。求(3)至少有一次误差的绝对值不超过至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。的概率。解：解：解：解：第52页/共70页第五十三页，共70页。(2)三次三次(sn c)中至少有一次误差的绝对值不中至少有一次误差的绝对值不超过超过30的逆事件即三次的逆事件即三次(sn c)的误差的绝的误差的绝对值都超过对值都超过30。故所求的概率故所求的概率(gil)为为第53页/共70页第五十四页，共70页。课课 外外 习习
38、 题题第第 69 69 页页页页8 8，9 9，10第第第第 115 页页页页2，3，4第54页/共70页第五十五页，共70页。第五节第五节第五节第五节 随机变量的函数随机变量的函数随机变量的函数随机变量的函数(hnsh)(hnsh)的分布的分布的分布的分布 在分析和解决实际问题时，经常要用到一些在分析和解决实际问题时，经常要用到一些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量随机变量经过运算或变换而得到的某些变量-随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径d(r.v.),而关心的却是其
39、截面积而关心的却是其截面积 (也是也是r.v.)在本节中我们将论述如何在本节中我们将论述如何(rh)由随机变量由随机变量X的分的分布导出它的函数布导出它的函数 Y=g(X)(g(.)是已知的连续函是已知的连续函数数)的分布。的分布。第55页/共70页第五十六页，共70页。（一）（一）（一）（一）离散型随机变量的函数离散型随机变量的函数离散型随机变量的函数离散型随机变量的函数(hnsh)(hnsh)的的的的分布分布分布分布例例1：设随机变量：设随机变量(su j bin lin)X的分布律为的分布律为解：解：解：解：由由X的分布的分布(fnb)律可得律可得第56页/共70页第五十七页，共70页。
40、由此可得由此可得第57页/共70页第五十八页，共70页。第58页/共70页第五十九页，共70页。（二）（二）（二）（二）连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量(su j bin lin(su j bin lin)的的的的函数的分布函数的分布函数的分布函数的分布例例2：设随机变量：设随机变量(su j bin lin)X的概率密度为的概率密度为求随机变量求随机变量(su j bin lin)Y=2X+8 的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：第59页/共70页第六十页，共70页。第60页/共70页第六十一页，共70页。例例3：设随机变量：设随机变量(su j bin lin)
41、X的概率密度为的概率密度为求随机变量求随机变量(su j bin lin)的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：第61页/共70页第六十二页，共70页。例如例如(lr)，得得 的概率密度为的概率密度为第62页/共70页第六十三页，共70页。定理定理定理定理(dngl(dngl)：设随机变量设随机变量(su j bin lin)X的概率密度为的概率密度为Y=g(X)是连续型随机变量是连续型随机变量(su j bin lin)，其概率密度为，其概率密度为第63页/共70页第六十四页，共70页。第64页/共70页第六十五页，共70页。事实上，我们利用现在的定理还可以证明事实上，我们利用现在的定理还
42、可以证明更一般的情形：服从更一般的情形：服从(fcng)正态分布的随机变量的线正态分布的随机变量的线性函数仍旧服从性函数仍旧服从(fcng)正态分布。正态分布。利用利用(lyng)此一结论可解决下列例题。此一结论可解决下列例题。第65页/共70页第六十六页，共70页。例例4：某物体的温度：某物体的温度(wnd)T 是一个随机变量，且有是一个随机变量，且有已知已知的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：第66页/共70页第六十七页，共70页。例例5：设随机变量：设随机变量(su j bin lin)X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，解：解：解：解：第67页/共70页第六十八页，共70页。例例5：设随机变量：设随机变量(su j bin lin)X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，解：解：解：解：第68页/共70页第六十九页，共70页。课课 外外 习习 题题第第 73 页页页页2727，2828，29第69页/共70页第七十页，共70页。