平均数二数值平均数课件.pptx

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1、 设某一资料包含n个观测值：x1、x2、xn，则样本平均数可通过下式计算：其中，为总和符号；表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当 在意义上已明确时，可简写为x，（3-1）式可改写为：第1页/共45页 【例3.1】某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均数。由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285，n=10 第2页/共45页 得：即10头种公牛平均体重为528.5 kg。（二）加权法 对于样本含量 n30 以上且已分组的资料，可以在

2、次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：第3页/共45页 式中：第i组的组中值；第i组的次数；分组数 第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此将fi 称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。【例3.2】将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。第4页/共45页要点解释权数（Weighted），是分布数列中的频数或频率。对求平均数具有权衡轻重的作用，是影响平均数变动的两个因素之一（另一因素是变量值）。权数例(1)(2)(3)X456合计频数 频率(%)10201025.050.025.040100.0X45

3、6合计频数 频率(%)20402025.050.025.080100.0X456合计频数 频率(%)20101050.025.025.080100.0=5 =5 =4.75 第5页/共45页 表31 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表第6页/共45页 利用（32）式得：即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg。计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。第7页/共45页 【例3.3】某牛群有黑白花奶牛 1500头，其平均体重为750 kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725 kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体

4、重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即 第8页/共45页 即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。（三）平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。或简写成第9页/共45页 2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。(xi-)2 (xi-a)2 （常数a ）或简写为：对于总体而言，通常用表示总体平均数，有限总体的平均数为：第10页/共45页 式中，N表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总

5、体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的无偏估计量。第11页/共45页常用的几种数值平均数：概 念 计算 公 式 特 点优点:容易理解，便于计算；灵敏度高；稳定性好；、和 。缺点:易受极值影响；在偏斜分布和U形分布中，不具有代 表性。1.算术平均数（）标志总量与总体单位总数的比值简单：加权：第12页/共45页常用的几种平均数：概 念 计算 公 式 特 点优点：灵敏度高；在某种不能计 算的条件下，可以代替算术 平均数。缺点：不易理解；易受极值影响；有“0”值时不能 计算。2.调和平均数（）标志值倒数平均数的倒数简单：加权：第13页

6、/共45页调和平均数与算术平均数的区别频率分布变了，均值也变。因此，严格地说，权数应指频率。凡是掌握被平均指标的分母资料时，用算术平均法。凡是掌握被平均指标的分子资料时，用调和平均法。平均指标分子：标志总量分母：总体单位总数几何平均等于对数的算术平均 组距数列求中位数是用插值法对中位数组分割的结果。第14页/共45页价格（元）3.32.52.0合计销售量（斤）34512算术平均求某种商品三种零售价格的平均价格调和平均价格（元）3.32.52.0合计销售额（元）9.9101029.9例第15页/共45页三、几何平均数 n 个观测值相乘之积开 n 次方所得的方根，称为几何平均数，记为G。它主要应用

7、于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的 增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。其计算公式如下：第16页/共45页 为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值，即 【例3.7】某波尔山羊群19972000年各年度的存栏数见表33，试求其年平均增长率。第17页/共45页 表33 某波尔山羊群各年度存栏数与增长率第18页/共45页 利用（37）式求年平均增长率 G=lg-1（-0.368-0.3980.602）=lg-1（-0.456）=0.3501 即年平

8、均增长率为0.3501或35.01%。第19页/共45页例 求95%、93%、90%的几何平均数（计算误差：0.0007）第20页/共45页常用的几种平均数：概 念 计算 公 式 特 点优点:灵敏度高；受极值影响小于 和 适宜于各比率之积 为总比率的变量求 平均。缺点:有“0”或负值时 不能计算；偶数项数列只能 用正根。3.几何平均数（）几个变量值连乘积的几次根简单：加权：第21页/共45页位置平均数与算术平均数的关系XfXfXf(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）在偏斜不大时1212(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）(对称分布)正偏态分布（右）(对称分布)正偏态分布（右）负

9、偏态分布（左）（对称分布）正偏态分布（右）第22页/共45页应用平均指标的原则 1必须是同质的量方可平均；2总平均数与组平均数结合分析；3根据具体条件选择平均方法；4平均数与典型值和分配数列结合分析；5集中趋势与离散趋势结合分析。第23页/共45页第二节 标准差 一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。第24页/共45页 全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测

10、值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。第25页/共45页 为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异程度，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，（），称为离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和 为零，即（）=0，因 而 不 能 用离均差之和（）来 表 示 资料中所有观测值的总偏离程度。第26页/共45页 为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问 题 ，可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数

11、 n 求 得 平 均 绝 对 离差，即|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。第27页/共45页 我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各 个离 均差平方，即()2，再求 离均差平方和，即 ，简称平方和，记为SS；由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响，用平方和 除 以 样 本 大 小，即 ，求出离均差平方和的平均数；第28页/共45页 为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏估计量，统计学证明，在求离均差平方

12、和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1，于是，我们 采 用统计量 表示资料的变异程度。统计量 称 为 均 方（mean square缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即 S2=第29页/共45页 相应的总体参数叫 总体方差，记为2。对于有限总体而言，2的计算公式为：第30页/共45页 由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时 ，常需要与平均数配合使用，这 时应 将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准 差，记为S，即：第31页/共45页 由于 所以上式可改写为：第32页/共

13、45页 相应的总体参数叫总体标准差，记为。对于有限总体而言，的计算公式为：在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差。第33页/共45页二、标准差的计算方法 （一）直接法 对于未分组或小样本资料，可直接利用（311）或（3-12）式来计算标准差。第34页/共45页 【例3.9】计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。此例n=10，经计算得：x=5400，x2=2955000，代入（312）式得：即10只辽宁绒山羊产绒量的 标准差 为65.828g。第35页/共45页 （二）加权法 对于已制成次数分布表的大

14、样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式为：式中，f为各组次数；x为各组的组中值；f=n为总次数。第36页/共45页 【例3.10】利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。将表3-4中的f、fx、代入（314）式得：即某 纯 系 蛋 鸡200枚 蛋 重的标准差为3.5524g。第37页/共45页 表34 某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布 及标准差计算表第38页/共45页 三、标准差的特性 （一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。（三

15、）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。第39页/共45页 （四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（2S）范围内；约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差（3S）范 围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用（全距/6）来粗略估计标准差。第40页/共45页第三节 变异系数 变异系数是衡量资料中各观测值变异 程度的另一个统计量。标 准差与平均数的比值称为 变异系数，记为CV。变异系数可以消除单位 和（或）平 均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。第41页/共45页 变异系数的计算公式为：【例3.11】已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为 190kg，标准差为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。第42页/共45页 由于，长白成年母猪体重的变异系数：大约克成年母猪体重的变异系数：所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。第43页/共45页 注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。第44页/共45页感谢您的观看。第45页/共45页