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1、第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积 教学内容教学内容 1 两向量的数量积两向量的数量积 2 两向量的向量积两向量的向量积教学重点教学重点 数量积数量积 向量积的性质与计算向量积的性质与计算本节考研要求本节考研要求 掌握向量的数量积，向量积与混合积的定义和性掌握向量的数量积，向量积与混合积的定义和性质的问题。质的问题。1一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义定义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例引例.设一物体在常力 F 作用下,位移为 s,则力F 所做的功为启示启示两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.2记
2、作故2.性质性质为两个非零向量,则有 结论结论 两向量的数量积两向量的数量积等于其中一个向量的模等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积的方向上的投影的乘积.33.运算律运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;4例例1.证明三角形余弦定理证证:则如图.设5数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式6两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式7解解8例例2.已知三点 AMB.解解:则求故9证证10证证11二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M:的力
3、F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力121.定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考思考:右图三角形面积S132.性质性质为非零向量,则3.运算律运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明证明:144.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则15向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法16解解17例例4.已知三点角形 ABC 的面积 解解:如图所示,求三18解解三角形三角形ABC的面积为的面积为19解解202122231、向量的数量积、向量的数量积2、向量的向量积、向量的向量积3、数量积的坐标表示、数量积的坐标表示（结果是一个数量）；（结果是一个数量）；（结果是一个向量）；（结果是一个向量）；（对应坐标乘积之和）；（对应坐标乘积之和）；四、小结四、小结4、向量积的坐标表示、向量积的坐标表示（行列式）；（行列式）；5、向量垂直的充要条件、向量垂直的充要条件 （数量积为零；对应坐标（数量积为零；对应坐标乘积之和为零）；乘积之和为零）；6、向量平行的充要条件、向量平行的充要条件 （向量积为零；对应坐标成（向量积为零；对应坐标成比例；线性相关）；比例；线性相关）；7、向量积的几何意义、向量积的几何意义（其模为平行四边形的面积）。（其模为平行四边形的面积）。24