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1、第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积一 两个向量的数量积12,FMMFw例 1 物体在常力 作用下沿直线从点移动到点 求力 所作的功M1M2F12SM M 解： ,位移( , )F S |cos|wFS |cosFS vAQ例2 已知某流体以速度 通过面积为 的截面（如图） 求单位时间内通过截面的流量( , )nv n 解： 与截面垂直的单位向量，|cosQA v柱体的高|cosA vn定义|cos( , )ababa bab 已知向量 和 ，则运算称为 与 的数量积（或点积、内积）a b 记作 即|cosa ba b |(0)|(0)abjja ba P b aa bb P
2、 a b 又oba,wF SAv n 故2|a aa 由数量积的定义可以推得： （1） 0ab（2）若，0， 则0( , )0aba ba b 充要（垂直） ，数量积的运算规律：a b b a （1） 交换律 a b ca c b c （2） 分配律（ + ）+a baba b （3） 结合律（）（） （）()()a bcab c 注意0c 证：（2） 时，显然成立0|crjca b cc Pa b 时，（ + ）（ + ）|ccrjrjc P ac P b=+|a c b c +数量积的坐标表示xyzxyzaa ia ja k bb ib jb k 设，0,i jj kk i | | | |
3、 1ijk() ()xyzxyza ba ia ja kb ib jb k 故xxyyzza ba ba ba b 0,0ab若则222222cos| |xxyyzzxyzxyza ba ba ba babaaabbb 3( 1,2,3)(1,1,1)(0,0,5)ABCABC例 已知， 证明：为直角三角形。CAB 证明：2, 1, 2AB 1, 1,4BC 1,2, 2CA 2240AB CA 则ABAC ABC即为直角三角形。二 两个向量的向量积FM 例4 求作用在杠杆上的力 所产生的力矩 （力矩是一个向量）由力学知识M 力矩的大小：| |MOQF |sin|OPF |sin ,(,)OP
4、FOP F MMOP MF 力矩的方向：、OP M F 且、 、符合右手系由此抽象出两个向量的向量积概念oD支点作用点F LQP定义 abc ab 已知向量 和 ，则按下列方式定出一个新的向量，记 =，满足| |sin( , ),caba bca cbabc （1）|（2） 且 ， ， 符合右手系。c abab 称 =为 与 的向量积（或叉积、外积）MOPF 因此ab的几何意义|sin|a baba h|=平行四边形的高表示平行四边形的面积ababh由向量积的定义可推得00,00aaababa b充要（1） （2） 若，则ab证： ，0 或 ，00ab ，0,0ab又sin0,0 或ab即向量
5、积的运算规律abba（1） 反交换律 -a bcac bc （2） 分配律（ + ）+()()()ababab（3） 结合律 ()()abcabc注意xyzxyzaa ia ja kbb ib jb k设，,ijkjki kij ，0iijjkk ()()xyzxyzaba ia ja kb ib jb k故()()()yzzyzxxzxyyxa ba b ia ba bja ba b kyzxyxzyzxyxzaaaaaaijkbbbbbb通常记xyzxyzijkabaaabbb三阶行列式(2 0, 3),( 4, 3, 1),abab 例5 已知，求与 和 均垂直的单位向量203431ij
6、kab解: 9146ijk 222|9146ab3151|abab所求单位向量： 1( 9,14,6)315 (1,2,3), (3,4,5)(2,4,7),ABCABCABCSD例6 已知三角形的定顶点和求2 2 2(1,2,4)ABAC 解： =（ ， ， ）,ABC222124ijkABAC (4, 6,2)1|2ABCSABACD 22214622142() ()()()()ababa ba a b b 例7 证明：22|aba b 证：左边222222| | sin| | cosabab()()a a b b *三 向量的混合积()abcabc 称为三个向定义量的混合(,)xyzxy
7、zxyzijkabcaaac c cbbb计算 =xyzxyzxyzaaabbbccc按第三行展开()()()abcbcacab轮换对称性 =|()| |()| |cosabcabc几何意义: (1)高|()a brja bP |V 六面体体积abca ba b c (2)由 、 、 构成的四面体体积1|()|6Vabc()0a b cabc (3)三向量 、 、 共面（在同一平面）111222333444( ,), (,),(,),(,)A x y zB xyzC xy zD xyz(4)四点共面212121313131414141()0 xxyyzzABACADxxyyzzxxyyzz 2 ,3 ,ai bj ck 例8 求以为邻边的四面体的体积。1|()|6vabc解：2001| 030 |60011| 6|611234(1,1,3),(0,1,1),(1,0,2),(4,3,11)PPPP练习：问四点是否 在同一张平面上（即共面）答：共面