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1、1学习要求与内容提要学习要求与内容提要目的与要求目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。重点：重点：难点：难点：1.1.复积分的基本定理；2.2.柯西积分公式与高阶导数公式。复合闭路定理与复积分的计算。第1页/共67页2（一）有向曲线（一）有向曲线（一）有向曲线（一）有向曲线:设l为平面上给定的一条光滑一条光滑(或按段光滑)曲线曲线,如果选定l的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),),那么我们就把l理解为带有方向的曲线,称为有向曲线有向曲线有向曲线有向曲线.如果A到B作为曲线l的正向,那么B到A就是曲线l的负向,记为l-.2.12.1复变函数的积
2、分复变函数的积分(与实函数积分相似，定义为和的极限)复平面上的线积分正方向正方向总是指从起点到终点的方向.第2页/共67页3简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线l的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.第3页/共67页4（二）积分的定义（二）积分的定义（二）积分的定义（二）积分的定义:l,)(110BzzzzzAnBADlDzfwnkk=LL设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数,),2,1(1kkknkzzz z上任意取一点在每个弧段L=第4页/共67页5l,)()()(111
3、knkknkkkknzfzzfSD D=z zz z作和式(,11的长度这里kkkkkkzzszzz =D D=D D,max 1knksD D=记 ,0 时无限增加且当 nl ,)(,记为的积分积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限zfl ,有唯的取法如何的分法及如果不论对Snkz z第5页/共67页6关于定义的说明关于定义的说明:（三）（三）（三）（三）存在的条件和计算法存在的条件和计算法存在的条件和计算法存在的条件和计算法 .d)(,)1 1(lzzfl记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果 .),()(,)2(定积分的定义实变函数这个积分定义就是一元而轴上的区间是如果xuzfbxaxl=.
4、d)(,)(一定存在积分是光滑曲线时是连续函数而如果 lzzflzf1.1.1.1.存在的条件存在的条件存在的条件存在的条件第6页/共67页7注意到：积分的计算法积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分zk0，唯一 极限2.2.2.2.积分的计算法积分的计算法积分的计算法积分的计算法第7页/共67页8积分的计算法积分的计算法2:2:参数方程法设路径设路径l的方程（参数方程）为的方程（参数方程）为:z=z(t)(t)由求导法则，dz=z(t)dt,则有在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线l是按段光滑的.则光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次是由如果,21nllllL分段积
5、分分段积分第8页/共67页9设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则(三三三三)性质：性质：性质：性质：常数因子可以移到积分号外函数的和的积分等于各函数积分之和反转积分路径，积分反号全路径上的积分等于各段上积分之和第9页/共67页10 特别地，若在l上有 ，l的长记为l，则性质(5)(5)成为 注意：注意：数学分析中的积分中值定理不能推广到复变函数积分上来，例如：而 (6)(6)第10页/共67页11例例1 1 解解直线方程为 .43 :,d 的直线段从原点到点计算ilzzl+z=x+iy在l上，第11页/共67页12例例2 解解积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为 .2 :,d=zlzz
6、l圆周为为其中计算)2(=z因为第12页/共67页13例例3 解解积分路径的参数方程为.,d)(1 010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzlzzzln+第13页/共67页14重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.第14页/共67页15注意到：积分的计算法积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分复习：复积分的计算法复习：复积分的计算法复习：复积分的计算法复习：复积分的计算法积分的计算法积分的计算法2:2:参数方程法设路径设路径l的方程（参数方程）为的方程（参数方程）为:z=z(t)(t)由求导法则，dz=z(t)dt,则有第15页/共
7、67页16定理定理1 1：单连通区域柯西定理：单连通区域柯西定理讨论复变函数积分（线积分）与积分路径的关系(一一一一)单连通区域柯西定理单连通区域柯西定理单连通区域柯西定理单连通区域柯西定理2.2 2.2 2.2 2.2 柯西定理柯西定理柯西定理柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有第16页/共67页17连续，且同理连续，且证明：格林公式格林公式回路积分化成面积分第17页/共67页18推论：积分与连接起点和终点的路径无关。推论：积分与连接起点和终点的路径无关。例例1 1解解根据柯西定理,有 ,1 321 内解析在函数 zz第18页/
8、共67页19即存在奇点（复变函数不解析的点）（如图点）定义定义：若f(z)在在z=不解析（或没有定义），但在z=的无心邻域无心邻域 0 z$使得于是 ,上各点的最短距离到曲线为从设lzd ,适当地小并取zD D ,21 dz D D满足 ,dz 则第51页/共67页52再利用以上方法求极限 .的长度为这里lL ,0 D Dz如果,0 I那末.d)()(2!2)(30 p p=lzfizf可得第52页/共67页53至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分.
9、第53页/共67页54 f(z)在某个闭区域上解析，则|f(z)|只能在境界线上取极大值应用柯西公式证明：对 若|f(z)|在l上极大值为M，|z|的极小值为，l的长为s(四四)、模数定理模数定理第54页/共67页55 如 f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|N，则 f(z)必为常数。取l是以z为圆心、R为半径的园周，单值复数函数(五五)、Liouville定理定理证明：第55页/共67页56例例1 1解解 =+p p44.d3211)2(;dsin21(1)zzzzzzzzi求下列积分求下列积分第56页/共67页57由柯西积分公式第57页/共67页58例例2 2解解由柯西积分
10、公式第58页/共67页59例例3 3解解由柯西积分公式由柯西积分公式第59页/共67页60例例解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,).1(,d173)(,3 222ifzzfyxll+=+求求表示正向圆周表示正向圆周设设x xx xx xx x第60页/共67页61小结与思考小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:第61页/共67页62思考题思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?思考题答案思考题答案可以可以.其中
11、积分方向应是顺时针方向.第62页/共67页632.4 1.2.第63页/共67页64证证正方向为参数增加的方向,),()()(b ba a +=ttyitxtzzl 由参数方程给出设光滑曲线 ,BA及终点对应于起点及参数b ba a,0)(b ba a ttz并且 ,),(),()(内处处连续在如果Dyxviyxuzf+=,),(),(内均为连续函数在和那么Dyxvyxu ,kkkih hx xz z+=设)(111 +=D Dkkkkkkkiyxiyxzzz因为附录附录1:1:存在的条件存在的条件第64页/共67页65根据线积分的存在定理,knkkzfD D=1)(z z所以 ,都是连续函数由于vu第65页/共67页66 (Cauchy定理的逆定理）设f(z)在区域G中连续，如果对于G中的任何闭合围道l，都有则f(z)在G内解析。证明：由路径无关性，定义f(z)的连续性0所以F(z)解析，其导数为f(z)，再由高阶导数的存在性，f(z)在G内解析。附录附录2:2:MoreraMorera定理定理第66页/共67页67感谢您的观看。第67页/共67页