数学物理方法第1和2章课件.ppt

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1、使用教材使用教材：数学物理方法，梁昆淼编数学物理方法，梁昆淼编参考教材参考教材：（1 1）、数学物理方法，姚端正等编）、数学物理方法，姚端正等编（2 2）、数学物理方法教程，潘忠程编）、数学物理方法教程，潘忠程编1.第一章第一章 复变函数复变函数1.2 1.2 复变函数复变函数1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数1.4 1.4 解析函数解析函数1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算第一篇第一篇 复变函数论复变函数论1.5 1.5 多值函数多值函数2.式中式中x、y为实数，称为为实数，称为复数的实部与虚部复数的实部与虚部（一）（一）复数复数几何表示：几何表示：1.1 1.1 复数与

2、复数运算复数与复数运算复数：复数：复平面复平面为复数的模为复数的模为复数的辐角为复数的辐角1、复数表示复数表示3.由于辐角的周期性，由于辐角的周期性，辐角有无穷多辐角有无穷多为辐角的主值，为主为辐角的主值，为主辐角，记为辐角，记为4.例：求例：求的的Argz与与argz解：解：z位于第二象限位于第二象限复数的三角表示：复数的三角表示：复数的指数表示：复数的指数表示：应用：应用：5.（二）（二）无限远点无限远点共轭复数：共轭复数：NSzARiemann球面球面复复球面球面零点零点无限远点无限远点6.（三）复数的运算（三）复数的运算1、复数的加减法、复数的加减法有三角有三角关系：关系：7.2、复数

3、的乘法、复数的乘法8.3、复数的除法、复数的除法或指数式：或指数式：9.4、复数的乘方与方根、复数的乘方与方根乘方乘方故：故：方根方根故故k取不同值，取不同值，取不同值取不同值10.11.例：求例：求 之值之值12.注意：注意：1）、）、2）、）、3）、）、13.例：讨论式子例：讨论式子 在复平面上的意义在复平面上的意义解：解：为为圆上各点圆上各点14.例：计算例：计算解：解：令令15.例：计算例：计算解：解：令令16.17.18.1.2 1.2 复变函数复变函数（一）、复变函数的定义（一）、复变函数的定义对于复变集合对于复变集合E E中的每一复数中的每一复数有一个或多有一个或多个复数值个复数

4、值w称为的称为的z复变函数复变函数z称为称为w的的宗量宗量19.（二）、区域概念（二）、区域概念由由确定的平面点集，称为定点确定的平面点集，称为定点z0的的 邻域邻域（1 1）、邻域）、邻域（2 2）、内点）、内点定点定点z0的的 邻域全含于点集邻域全含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的内点的内点（3 3）、外点）、外点定点定点z0及其及其 邻域不含于点集邻域不含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的外点的外点（4 4）、边界点）、边界点定点定点z0的的 邻域既有含邻域既有含于于E内，又有不含于内，又有不含于E内的内的点，称点，称z0为点集为点集E的的边界边界点。点。内点内点边界点边界

5、点外点外点20.内点内点边界点边界点外点外点（5 5）、区域）、区域A）全由内点组成）全由内点组成B）具连通性：点集中任）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于连接，且折线上的点属于该点集该点集。（6 6）、闭区域）、闭区域区域连同它的边界称为闭区域，如区域连同它的边界称为闭区域，如表示以原点为圆心半径为表示以原点为圆心半径为1 1的闭区域的闭区域（7 7）、单连通与复连通区域）、单连通与复连通区域单连通区域：区域内任意闭单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域曲线，其内点都属于该区域21.（三）、复变函数例（三）、复变函数例可大于可大于1

6、 122.例：求方程例：求方程 sinz=2解：解：设设23.24.或或25.（四）、极限与连续性（四）、极限与连续性设设w=f(z)在在z0点的某邻域有定义点的某邻域有定义对于对于 00，存在，存在 0,0,使使有有称称z-z0时时w0为为极限极限，计为，计为注意：注意：z在全平面，在全平面，z-z0须以任意方式须以任意方式若有若有称称f(z)在在z0点连续点连续26.1.3 1.3 导数导数w=f(z)是是在在z点点及其邻域定义及其邻域定义的单值函数的单值函数在在z点存在，并与点存在，并与 z-0的方式无关，则的方式无关，则例：例：证明证明f(z)=zn在复平面上每点均可导在复平面上每点均

7、可导证：证：27.例：例：证明证明f(z)=z*在复平面上均不可导在复平面上均不可导证：证：28.求导法则求导法则29.下面讨论复变函数可下面讨论复变函数可导的必要条件导的必要条件比较两式有比较两式有称为科西称为科西-黎曼条黎曼条件（件（C.R.C.R.条件）条件）C.R.C.R.条件不是可导条件不是可导的充分条件的充分条件30.例：例：证明证明 在在z=0处满足处满足C.R.条件，但在条件，但在沯沯z=0处不可导处不可导 证：证：满足满足C.R.条件条件在在z=0处处但在但在z=0处，若处，若 一定，一定，随随 而变，故而变，故在在z=0处不可导处不可导31.下面讨论下面讨论f(z)=u(x

8、,y)+iv(x,y)在在z 点可导的充分条件点可导的充分条件证明：证明：1）u,v在在z处满足处满足C.R.条件条件 2）u,v在在z处有连续的一阶偏微商处有连续的一阶偏微商因为因为u,v在在z处有连续的一阶偏微商，所以处有连续的一阶偏微商，所以u,v 的的微分存在微分存在由由C.R.条件条件 32.此式此式 z无论以什么无论以什么趋于零都存在，趋于零都存在，C.R.方程的极坐标表示：方程的极坐标表示：故故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导点可导当考虑当考虑 z沿沿径向和沿径向和沿恒向趋于零时，有恒向趋于零时，有33.例：试推导极坐标下的例：试推导极坐标下的C.R.方程：方

9、程：方法一：方法一：当分别考虑当分别考虑 z沿沿径向径向和沿恒向趋于零时，和沿恒向趋于零时，沿沿径向趋于零径向趋于零34.沿沿恒向趋于零恒向趋于零35.方法二：方法二：从直角坐标关系出发从直角坐标关系出发36.同理同理37.例：证明例：证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析在复平面上解析，且，且f(z)=f(z)。1.4 1.4 解析函数解析函数若若w=f(z)是是在在z0点及其邻域上处处可导，称点及其邻域上处处可导，称f(z)在在z0解析解析若若w=f(z)是是在在区域区域 B上任意点可导，称上任意点可导，称f(z)在在区域区域 B 解析解析证：证：满足满足C.R.条件条件

10、且一阶偏导连续且一阶偏导连续 38.后面可证在某区域上的解析函数后面可证在某区域上的解析函数，在该区域上有任意阶，在该区域上有任意阶导数。导数。由由C.R.条件条件前一式对前一式对x 求导，后式对求导，后式对y 求导，相加求导，相加同理同理u(x,y)和和v(x,y)都满足二维都满足二维 Laplace 方程方程又特别称为又特别称为共轭调和函数共轭调和函数性质性质1、f(z)在在区域区域 B 解析，解析，u(x,y)和和v(x,y)为为共轭调和函数共轭调和函数39.令：令：称为梯度称为梯度(gradient)矢量矢量二维二维表示表示三维表示三维表示40.由由C.R.条件条件两式相乘两式相乘即即

11、或或表示表示Laplace 方方程表示为：程表示为：性质性质 2、u(x,y)=常数与常数与 v(x,y)=常数曲线正交常数曲线正交而而u 和和v 的梯度分别是的梯度分别是u(x,y)=常数常数 v(x,y)=常数常数的法向向量的法向向量41.若给定一个二元调和函数，可利用若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一共条件，求另一共轭调和函数，方法如下：轭调和函数，方法如下：C.R.条件条件上式为全微上式为全微分，因为分，因为方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）设已知设已知 u(x,y)，求求v(x,y)方法二、凑全微分显式法方法二、凑

12、全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法42.方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法例：已知解析函数实部例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)解：解：故故u为调和函数为调和函数43.u(x,y)=x2-y2方法一、曲线积分法方法一、曲线积分法44.45.方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法u(x,y)=x2-y246.方法三、不定积分法方法三、不定积分法x视为参数有：视为参数有：47.例：已知解析函数例：已知解析函数f(z

13、)实部实部 求求 v(x,y)解：解：化为极坐标求解化为极坐标求解48.49.2.3.1 初等单值函数初等单值函数幂函数幂函数 w=zn当n是正整数或0(此时w=z0=1)时,w=zn在复平面上解析多项式函数多项式函数 在复平面上解析.50.有理函数有理函数在复平面上除使Q(z)=0的点外解析指数函数指数函数51.指数函数w=ez有如下一些性质:()ez0,因为|ez|=|exeiy|=ex0.()对于实数z=x(y=0)来说,我们定义与通常实指数函数的定义是一致的.()ez1ez2=ez1+z2.()w=ez在复平面上解析,且()52.ez以为周期.如右图,如果我们将复平面划分为平行于实轴宽

14、为 的带形0 xy()不存在,因为当z沿实轴的正负两个方面趋于 时ez分别趋于则在每一个带形内ez 的性质相同.53.欧拉公式欧拉公式:所以有正弦函数、余弦函数正弦函数、余弦函数:54.性质性质:1.它们在复平面上解析,且 2.Sin z是奇函数,cos z是偶函数,它们遵从通常的三角公式55.3.sin z及cos z以 为周期.4.Sin z=0必须且只须cos z=0必须且只须5.在复数范围内不再能断定 通过sin z,cos z我们可以依照通常的关系定义正切、余切、正割、余割.56.2.3.2.初等多值函数初等多值函数 根式函数 则称w为z的根式函数根式函数，记为 （）是多值函数 w的

15、模与z的模是一一对应的；而辐角则不然，对应每个 值，有三个不同的 值从而得到三个不同的w值所以，函数 是多值函数.57.00 xy0 xy058.单叶性区域单叶性区域:如右图,我们把区域,称作 的单叶性区域.单值分支单值分支:我们把右图三个单叶性区域分别加上相邻处的端边,构成三个三角形,当我们用这三个互不相交的三角形把w平面布满之后,就把一个多值函数 划分成了三个单值分支上述每个角形分别是其一个单值分支的值域,而此时有059.0Cxy ()支点支点 如右图,对于函数 来说,z=0点具有这样的特性:当z绕它转一整圈回到原处时,多值函数由一个分支变到另一个分支.具有这种性质的点称为多值函数 的支点

16、支点.无穷远点也具有这种性质,因为绕原点转一整实也就是绕无穷远点转一整圈.所以无穷远点也是 的支点.60.()支割线支割线 例例7.设 确定在沿正实轴割破的z平面上,并且解解 由()支割线可以分为两案 今在z平面上从支点z=0到支点 任意引一条射线(例如取正实轴为这条射线),称为支割线支割线.61.的黎曼面将两个割开的复平面粘接起来，形成黎曼面。62.如果己给复数 ,则满足 的复数w称为z的对数对数函数函数,并记为 注意z=0时,没有定义.若我们限定Im(Lnz)即Arg z取主值则z的对数就只有一个,称它为Lnz的主值支,记为lnz.例例8.设a0,则-a=aexi.于是对数函数对数函数63

17、.64.例例9.因 ,所以它是实数域中等式 在复数域中的推广.由 及 所定义的函数,分别叫做反正弦反正弦函数函数及反余弦函数反余弦函数,记为 及 一般幂函数.65.例例10.求ii=?例例11.求解解解解66.第二章第二章 复变函数积分复变函数积分2.2 2.2 柯西定理柯西定理2.3 2.3 不定积分不定积分2.4 2.4 柯西公式柯西公式2.1 2.1 复变函数积分复变函数积分67.作作和和记：记：2.1 2.1 复变函数积分复变函数积分AB68.例：计算积分例：计算积分分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图(1)(2)解解(1)由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关由此可

18、见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关(2)69.例：计算积分例：计算积分分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图(1)(2)解解(1)70.例：计算积分例：计算积分分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图(1)(2)解解(2)由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关71.（一）、单连通区域（一）、单连通区域证明：证明：2.2 2.2 柯西定理柯西定理72.ABC.R.C.R.条件条件得：得：推论：单连通区域中解析函数推论：单连通区域中解析函数 f(z)的积分值与路经无关的积分值与路经无关l2l1证明：证明：73.（二）、复连通

19、区域（二）、复连通区域证明：证明：函数在区域上不可导，存在奇点。将这些点挖掉所形函数在区域上不可导，存在奇点。将这些点挖掉所形成的带空区域成的带空区域l2l1lABABCDCDl 为区域外境界线，为区域外境界线，li为区域内境界线，积分沿境界线正为区域内境界线，积分沿境界线正向进行向进行74.l2l1lABABCDCD内、外境界线逆时针积分相等内、外境界线逆时针积分相等75.2.3 2.3 不定积分不定积分单连通区域中解析函数单连通区域中解析函数 f(z)的积分值与路经无关，的积分值与路经无关，令令z0固定，终点固定，终点z 为变点，有单值函数为变点，有单值函数ABl2l1且：且：F(z)是是f(z)的原函数的原函数还有还有证略证略76.例：计算积分例：计算积分l CR（n 为整数）为整数）解：解：n 0 被积函数解析被积函数解析n 187.此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！