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1、学习要求与内容提要学习要求与内容提要目的与要求目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里了解在任意有限区间上函数的傅里 叶级数展开法；掌握叶级数展开法；掌握期函数的期函数的傅里傅里傅里傅里 叶叶叶叶展开、定义和性质；展开、定义和性质；函数的函数的 定义与性质。定义与性质。重点：重点：难点：难点：函数的函数的傅里叶傅里叶展开、展开、函数。函数。函数的概念。函数的概念。第1页/共60页 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的 例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分
2、）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一 积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用 第2页/共60页所谓积分变换积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量的积分）变为另一函数类 B中的函数 这里 是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核 称为 的像函数或简称为像，称为 的原函数 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程A中所求的解，
3、而且是显式解像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在第3页/共60页 另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换:（1 1）特别当核函数 （注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数 为函数 的傅里叶（FourierFourier）变换，简称为函数的傅氏变换同时我们称 为的傅里叶逆变换第4页/共60页（2 2）特别当核函数 （注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数 为函数 的拉普拉斯 (Laplace)(Laplace)变换，简称 为函数 的拉氏变换同时我们称 为 的拉氏逆变换 第5页/共60页 18071807年年1212月月2121日
4、，日，FourierFourier向法国科学院宣布：任意的周向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献:“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点5.1 5.1 5.1 5.1 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级
5、数傅里叶级数第6页/共60页 1.1.波的叠加原理波的叠加原理 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),),它是形如 的波,其中A是振幅,是角频率,是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.（一）（一）（一）（一）周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加第7页/共60页第8页/共60页 由上例可以推断推断：一个周期为2l的函数函数f f(x+x+2 2l l)=)=f f(x x)可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.第9页/共60页正交,上的积分等于 0.即其中任
6、意两个不同的函数之积在 2.2.三角函数族及期正交性三角函数族及期正交性引入引入三角函数族三角函数族第10页/共60页证证:同理可证 :第11页/共60页上的积分不等于 0.0.且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 第12页/共60页设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在 f(x)的连续点处)其中 3.3.周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开式 称为的傅傅里里叶系数叶系数;式中的傅傅里里叶级数叶级数.称为函数第13页/共60页证证:由条件,对在逐项积分,得(利用正交性)逐项积分,得乘 在第14页/共60
7、页类似地,用 sin k x 乘 式两边,再逐项积分可得第15页/共60页(1)(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；（2 2）在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数傅里叶级数收敛，且 在收敛点有：在间断点有：狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）定理）定理:若函数 满足条件：4.4.傅里叶级数的收敛性定理傅里叶级数的收敛性定理 第16页/共60页例例1 1.交流电压交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解:这个半波整流函数,它在傅里里叶级数.上的表达式为的周期是第17页/共60页第18页/共60页n 1 时第19页/共60页由于半波整流函数
8、 f(t)直流部分直流部分说明说明:交流部分交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.第20页/共60页其中(在 f(x)的连续点处)如果 f(x)为偶函数,则有(在 f(x)的连续点处)其中注注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅里里叶级数都收敛于如果 f(x)为奇函数,则有（二）（二）（二）（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开奇函数和偶函数的傅里叶展开奇函数和偶函数的傅里叶展开奇函数和偶函数的傅里叶展开第21页/共60页例例2.2.把把展开成(1)(1)正弦级数;(2
9、);(2)余弦级数.解解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有第22页/共60页(2)将将 作偶周期延拓,则有第23页/共60页当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上上时时,方法方法1 1令即在上展成傅里里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里里叶级数 其傅里叶展开方法:（三）（三）有限区间中的函数的傅里叶展开有限区间中的函数的傅里叶展开第24页/共60页方法方法2 2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将 代入展开式在即上的正弦或余弦级数 第25页/共60页利用欧拉公式欧拉公式已知周期为 2 l 的周期函数f(x)可展开为级数：（四）（四）复数形式的傅里叶展开复数形式的傅里叶展
10、开第26页/共60页注意到同理第27页/共60页傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式:因此得第28页/共60页29例例4 4：矩形波矩形波第29页/共60页为正弦 级数.1.周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式(x 间断点)其中当f(x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里里叶展开法变换延拓2.傅里里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出第30页/共60页78第31页/共60页32 周期函数的性质是周期函数的性质是f(x+2l)=f(x),x每增大每增大2l，函数值，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周
11、期它是周期2l的周期函数。所以，我们也可以把非的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓周期函数展开为所谓“傅里叶积分傅里叶积分傅里叶积分傅里叶积分”。5.2 5.2 5.2 5.2 傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶积分与傅里叶变换考察傅里叶级数的复数形式:引入不连续参量（一）（一）傅里叶变换傅里叶变换第32页/共60页33令令有有若若 有限，则非周期函数可以展开为有限，则非周期函数可以展开为称称f(x)的的傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换称称F(x)的的逆傅里叶变换逆傅里叶变换逆傅里叶变换逆傅里叶变换像函数像函数原函数原函数第33页/共
12、60页34傅里叶积分定理傅里叶积分定理：若函数若函数 f(x)在区间在区间(-，+)上满上满足条件足条件(1)(1)在任意有限区间满足狄里希利条件在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)(2)在区间在区间 (-(-，+)上绝对可积（即上绝对可积（即 收敛）收敛），则，则f(x)可表为可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值傅里叶积分，且傅里叶积分值=f f(x x)的傅里叶变换三角形式的傅里叶变换三角形式f f(x x)的傅里叶变换式的傅里叶变换式第34页/共60页35奇、偶函数奇、偶函数傅里叶余弦变换对傅里叶余弦变换对傅里叶余弦变换对傅里叶余弦变换对傅里叶正弦变换对傅里叶正弦变换对傅里叶正弦变换对傅
13、里叶正弦变换对第35页/共60页36例例定义矩形函数为定义矩形函数为将矩形脉冲将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。展开作傅里叶积分。1第36页/共60页37(1)(1)导数定理导数定理(2)(2)积分定理积分定理(3)(3)相似性定理相似性定理(4)(4)延迟定理延迟定理(5)(5)位移定理位移定理(6)(6)卷积定理卷积定理若若和和则则卷积卷积（二）（二）傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质第37页/共60页（7 7）帕塞瓦尔等式）帕塞瓦尔等式能量守恒能量守恒或对于实函数f(x),定义自相关可证其为偶函数第38页/共60页(三三)傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义实函数实函数欧拉公式欧拉
14、公式积分为积分为0若若f(x)为实数，则为实数，则幅频为偶函数幅频为偶函数,相频为奇函数相频为奇函数第39页/共60页 求和求和 振幅振幅 余弦信号余弦信号解释解释第40页/共60页(四四)二维傅里叶变换二维傅里叶变换二维连续函数二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换定义如下：的傅里叶变换定义如下：设设f(x,y)是是两两个个独独立立变变量量x,y的的函函数数，且且在在上上绝绝对对可可积，则定义积分积，则定义积分 为二维连续函数为二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换，并定义的傅里叶变换，并定义 为为F(k1,k2)的反变换。的反变换。f(x,y)和和F(k1,k2)称为傅里叶变换对。称为傅里叶变
15、换对。（1）（2）第41页/共60页例例2 2:求图1 1所示函数 的傅里叶变换(矩孔费琅和夫衍射)。图1 1 二维信号f(x,y)解：将函数代入到(1)(1)式中，得 002-2-)(2-),(),(XYvyiuxivuidyedxeAddefvuFp pp pb ba ap pb ba ab ba a=+vY iux ievYvYeuXuXAXY)sin()sin(=第42页/共60页（a a）信号的频谱图 （b b）图（a a）的灰度图（幅度谱）图 信号的频谱图 其幅度谱为第43页/共60页一维一维函数函数 我们用我们用函数来表示任何在某种函数来表示任何在某种坐标系下高度集中的量，如点电
16、荷、坐标系下高度集中的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的电脉冲点光源、质点以及又窄又强的电脉冲等。等。总质量总质量的极限下总质量不变的极限下总质量不变5.3 5.3 光学中常用的特殊函数光学中常用的特殊函数 函数函数 设质量为m的线长为l,进一步设线的单位长度质量即质量密度质量密度为 l：第44页/共60页45密度密度引入广义函数：引入广义函数：函数函数一般地，我们有定义定义1 1：且 第45页/共60页性质性质(1)偶函数偶函数定义定义2 函数函数 如果对于任意一个在区间 上连续的函数 恒有 则称满足上式中的函数 为函数函数，对于任意的连续可微函数对于任意的连续可微函数,定义定义 函数
17、的导数为函数的导数为 第46页/共60页47(2)阶跃函数或亥维赛单位函数阶跃函数或亥维赛单位函数(函数的原函数函数的原函数)(3)表示连续量表示连续量(4)复合函数复合函数(尺度变换尺度变换)若若 的实根的实根 全部是单根，则全部是单根，则第47页/共60页48证明：按定义证明：按定义在第在第n个根附近积分个根附近积分例例1第48页/共60页(5)函数是一种广义函数上述极限是就积分意义上而言的。(高斯函数高斯函数）(双边指数函数双边指数函数)第49页/共60页50证明狄里希利定理证明狄里希利定理参考P6习题第50页/共60页51 函数函数傅里叶变换傅里叶变换阶跃函数的傅里叶变换阶跃函数的傅里
18、叶变换不满足傅立叶积分定理，不能直接给出不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用极限处理其傅立叶变换，必须采用极限处理第51页/共60页52从极限过程理解从极限过程理解：例例2 2：将函数：将函数表示成傅里叶积分，并证明表示成傅里叶积分，并证明第52页/共60页高维高维FourierFourier变换变换高维高维函数函数第53页/共60页第54页/共60页5.21,3,55.32第55页/共60页附录：附录：例例1 1 高斯函数傅里叶变换高斯函数傅里叶变换令则问题来源？问解析延拓，取第56页/共60页57-RR直接计算第57页/共60页解解 所给函数是奇函数,其Fourier变换为.|,0|,sin2d1sinsin,|,0|,sin)(2 202 =-=+p pp pp pw ww ww wwpwpp pp pttttFourierttttf并证明变换的计算函数例例第58页/共60页再由Fourier积分公式得.|,0|,sin2d1sinsin02 =-+p pp pp pw ww ww wwpwptttt即第59页/共60页60感谢您的观看。第60页/共60页