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1、数学物理思想数学物理思想 数学物理方程（简称数学物理方程（简称数理方程数理方程）是指从物理）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程数方程，主要指偏微分方程和积分方程 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了十分广泛，它深刻地描绘了自然界中自然界中的许多的许多物理物理现象现象和和普遍规律普遍规律.第1页/共53页声振动是研究声源与声波声振动是研究声源与声波场之间的关系场之间的关系热传导是研究热源与温度热传导是研究热源与温度场之间的关系场之间的关系泊
2、松泊松（S.D.Poisson 1781S.D.Poisson 178118401840，法国数学家）方程法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系电荷分布之间的关系定解定解问题问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系是场和产生这种场的源之间的关系第2页/共53页多数为二多数为二阶线性偏阶线性偏微分方程微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导问题和扩散问题满足热传导方程热传导方程静电场和引力势
3、满足静电场和引力势满足拉普拉斯方程或拉普拉斯方程或泊松方程泊松方程一、数学物理方程-泛定方程泛定方程:物理规律的数学表示物理规律的数学表示 物理规律物理规律 物理量物理量u 在空间和时间中的变在空间和时间中的变化规律，即物理量化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。之间的联系。数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。无关。第3页/共53页三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表波动方程为代表抛物
4、型方程抛物型方程扩散方程为代表扩散方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代表泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程退化为拉普拉斯方程第4页/共53页5二、边界问题-边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、历史问题-初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。定解问题的完整提法定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在在
5、给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量给定的区域里解出某个物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。定解条件定解条件定解条件定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特殊性，即个性。泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。第5页/共53页6具体的问题的求解的一般过程：具体的问题的求解的一般过程：1 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律客观规律2
6、 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件求解所必须用的求解所必须用的3 3、求解方法、求解方法 行波法、分离变量法、等行波法、分离变量法、等分离变量法分离变量法偏微分方程偏微分方程标准的常微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特标准解，即为各类特殊函数殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法三类数学物理方程的一种最常用解法第6页/共53页7.1 7.1 数学模型的建立数学模型的建立7建模步骤：建模步骤：1 1、明确要研究的物理量是什么？、明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部从所研究的系统
7、中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。分与它的相互作用。2 2、研究物理量遵循哪些物理规律？、研究物理量遵循哪些物理规律？3 3、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。第7页/共53页（一）均匀弦横振动方程（一）均匀弦横振动方程弦的横振动弦的横振动 设：均匀柔软的细弦沿设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动近产生振幅极小的横振动 u(x,t):坐标为坐标为x 的点在的点在t时刻沿时刻沿垂线方向垂线方向的位移的位移 求：细弦上各点的振动规律求：细弦上各点的振动规律8波动方程的导出第8页/共53页 选取不包括端
8、点的一微元选取不包括端点的一微元(x,x+dx),弦长弦长dx，研究对象研究对象:(4)(4)设单位长度上弦受力设单位长度上弦受力 ，力密度为：，力密度为：简化假设：简化假设：(1)(1)弦是柔软的弦是柔软的 (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2)(2)振幅极小振幅极小,张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1 1和和 2 2 很小，很小，仅考虑仅考虑 1 1和和 2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量 (3)(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。弦的重量与张力相比很小，可以忽略。质量线密度质量线密度，u(x)u+uu0 1 2T2T1
9、xx+xF第9页/共53页弦的原长：弦的原长：振动拉伸后：振动拉伸后：u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF弦长弦长dx，质量线密度质量线密度，B段段的质量为的质量为m=dx第10页/共53页沿沿x-方向，不出现平移方向，不出现平移沿垂直于沿垂直于x x-轴方向轴方向受力分析和牛顿运动定律：受力分析和牛顿运动定律：11在微小振动近似下：在微小振动近似下：由由（1）式，弦中各点的张力相等式，弦中各点的张力相等u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF（1 1）（2 2）第11页/共53页波动方程：波动方程：波速波速a受迫振动方程受迫振动方程12单位质量所受单位质量所受外力，力密度外力
10、，力密度令令牛顿运动定律：牛顿运动定律：一维波动方程一维波动方程第12页/共53页13一维波动方程一维波动方程-非齐次方程非齐次方程-齐次方程齐次方程忽略重力和外力作用：忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：如考虑弦的重量：u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF沿沿x-方向，不出现平移方向，不出现平移沿垂直于沿垂直于x x-轴方向轴方向（1 1）（2 2）类似讨论类似讨论第13页/共53页（二）均匀薄膜的微小横振动（二）均匀薄膜的微小横振动 设：均匀柔软的薄膜绷紧，膜平面为设：均匀柔软的薄膜绷紧，膜平面为xy平面，平面，研究膜在垂直于研究膜在垂直于xy平面的微小横振动平面的微小横振动 u
11、(x,y,t):坐标点为坐标点为(x,y)的横向位移的横向位移为张力在为张力在xy平面上的投影方向平面上的投影方向薄膜 Tuxy平面平面的张力张力T的横向分量的横向分量14第14页/共53页在在x和和x+dx两边所受的横向两边所受的横向作用力作用力xyx+dxy+dyxyn(即即y)n(即即x)类似地类似地：在：在y和和y+dy两边所两边所受的横向作用力：受的横向作用力：Tuyydxdy 为单位面积的薄膜质量为单位面积的薄膜质量薄膜的受迫振动方程薄膜的受迫振动方程单位面积上的横向外力单位面积上的横向外力单位质量上的横向外力单位质量上的横向外力15第15页/共53页扩散方程扩散方程 扩散现象：扩
12、散现象：系统的浓度系统的浓度 u(x,y,z,t)不均匀时，不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散扩散。扩散（实验）定律：扩散（实验）定律：浓度不均匀（浓度梯度）浓度不均匀（浓度梯度）：扩散流强弱（强度）：扩散流强弱（强度）：单位时间通过单位时间通过单位面积的物质的量单位面积的物质的量沿沿x-方向扩散流：方向扩散流：单位时间沿单位时间沿x-方向净流入量方向净流入量单位时间净流入量等于密度增加的量单位时间净流入量等于密度增加的量物质的总量守恒物质的总量守恒第16页/共53页如果仅如果仅x方向，则有方向，则有一维扩散方程一维扩散方程均匀均匀代
13、入扩散定律代入扩散定律三维扩散方程三维扩散方程17如果研究空间存在源，源强度与如果研究空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)无关，且为无关，且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为这时扩散方程修改为如果研究空间存在源，源强度与如果研究空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，即成正比，即F(x,y,z)=bu(x,y,z)这时扩散方程修改为这时扩散方程修改为第17页/共53页泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程静电场的电势方程静电场的电势方程 直角坐标系中泊松方程泊松方程为 若空间若空间无电荷，即电荷密度无电荷，即电荷密度，上式成为，上式成为 称这个方程为拉普拉斯方程拉普拉斯方
14、程.电势电势V(x,y,z)确定所要研究的物理量：确定所要研究的物理量：根据由物理规律电场、电势和电荷密度间有如下规律：根据由物理规律电场、电势和电荷密度间有如下规律：建立泛定方程：建立泛定方程：泊松方程泊松方程 第18页/共53页7.2 7.2 定解条件定解条件常微分方程定解问题回顾常微分方程定解问题回顾 常微分方程求解就是积分。常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常积分过程会出现积分常数。数。常微分方程定解问题就是确定积分常数常微分方程定解问题就是确定积分常数。利用在自变量取一个特定值时的值，如初值利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0)确定积分常数。确定积分常数。积分一次
15、，出现一个积分常数；求解二积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。阶常微分方程出现两个积分常数。数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题要求给定：要求给定：初始条件和边界条件初始条件和边界条件19第19页/共53页初始时刻的温度分布：初始时刻的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件C C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件不含初始条件，只含边界条件A A、波动方程的初始条件波动方程的初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点的初速
16、度（一）（一）初始条件初始条件第20页/共53页和和 是空间坐标的函数是空间坐标的函数例：例：21注意注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。而不是一点处的情况。一根长为根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于0和和l。在中点位置将弦沿着横向拉在中点位置将弦沿着横向拉开距离开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。l x l/2h解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始速度为零，即有初始位移初始位移第21页/共53
17、页（二）边界条件（二）边界条件 定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。A.A.第一类边界条件第一类边界条件直接给出系统边界上物理量的函数形式直接给出系统边界上物理量的函数形式。如：两端固定的弦振动如：两端固定的弦振动和和位置确定位置确定22常见的线性边界条件分为三类：常见的线性边界条件分为三类：第22页/共53页细杆热传导细杆热传导或随时间变化的温度或随时间变化的温度恒温恒温B.B.第二类边界条件第二类边界条件第一类边界条件的基本形式：第一类边界条件的基本形式：速度确定速度确定细杆的纵振动：细杆的纵振动：当端点当端点“自由自由”，即无应力。根据胡，
18、即无应力。根据胡克定律，杆的克定律，杆的相对伸长也为零相对伸长也为零：细杆热传导：细杆热传导：端点绝热，端点绝热，热流强度为零热流强度为零，由热传导定律：，由热传导定律：23第23页/共53页C.C.第三类边界条件第三类边界条件位移和速度的组合位移和速度的组合细杆热传导：细杆热传导：端点端点“自由自由”冷却冷却 (热流正比于温差热流正比于温差)。牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：T 为环境温度为环境温度。根据热传导定律，在根据热传导定律，在 x=l 处处：负负x方向方向正正x方向方向在在x=0 处处24第24页/共53页细杆纵振动：细杆纵振动：端点与固定点弹性连接。应力为弹性力端点与固定点弹性连接。
19、应力为弹性力胡克定律：胡克定律：弹性力：弹性力：则在端点则在端点一般表达式：一般表达式：这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。（三）衔接条件（三）衔接条件 系统中可能出现物理性质急剧变化的点系统中可能出现物理性质急剧变化的点(跃变点跃变点)。如两节。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍某些物理量仍然可以是连续的然可以是连续的，这就构成，这就构成衔接条件衔接条件。25第25
20、页/共53页例例横向力横向力 作用于作用于 点。点。弦在弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。的左右斜率不同，但位移的极限值相同。这两个等式就是衔接条件。这两个等式就是衔接条件。又，横向力应与张力平衡：又，横向力应与张力平衡：即即 1 226第26页/共53页7.3 7.3 数学物理方程的分类数学物理方程的分类（一）线性二阶偏微分方程（一）线性二阶偏微分方程把所有自变量依次记作把所有自变量依次记作x1,x2,xn，线性二阶偏微分方程可表为线性二阶偏微分方程可表为其中其中 aij,bi,c,f 只是只是 x1,x2,xn 的函数的函数（二）两个自变数的方程分类（二）两个自变数的方程分类27第
21、27页/共53页双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型作变量替换作变量替换28第28页/共53页7.4 7.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题行波法行波法用行波法求解波动方程的用行波法求解波动方程的基本思想：基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。齐次二阶偏微分方程。（一）波动方程的达朗贝尔公式（一）波动方程的达朗贝尔公式
22、 29第29页/共53页将将 和和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除：看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除：当当a=1，相当于沿，相当于沿 x 和和 t 求导，变求导，变成沿对角线求导。当成沿对角线求导。当 a 不为不为1 1，则，则求导的线进行相应的角度变化。求导的线进行相应的角度变化。变换：变换：和和显然，显然，坐标变换坐标变换30第30页/共53页(1)(1)通解通解 对对 积分：积分：积分常数依赖于积分常数依赖于 再积分：再积分：以以f2为例讨论其意义为例讨论其意义作坐标变换：作坐标变换：新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐在
23、旧坐标中以速度标中以速度 a 运动；函数的图像在动坐标系中保持不变运动；函数的图像在动坐标系中保持不变。f2(x-at)是以速度是以速度 a 沿沿 x 轴正方向运动的行波轴正方向运动的行波,f1(x+at)是以速度是以速度 a 沿沿 x 轴反方向运动的行波轴反方向运动的行波。31第31页/共53页确定待定函数的形式确定待定函数的形式无限长，即无边界条件无限长，即无边界条件设初始条件为设初始条件为和和(2)(2)达朗贝尔公式达朗贝尔公式 32第32页/共53页设初速度为零设初速度为零由达朗贝尔公式由达朗贝尔公式 33x1x2t=0t1t2t3t4第33页/共53页设初位移为零设初位移为零假使初始
24、速度在区间假使初始速度在区间x1,x2上是常数上是常数 0 0其中其中解：解：34第34页/共53页35t=0t1t2t3第35页/共53页（二）端点的反射（二）端点的反射一个端点固定一个端点固定设初始条件为设初始条件为和和边界条件边界条件达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x 0tx/a时，上式后两项无意义，必须将时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t)延拓到这个范围延拓到这个范围，作奇延拓作奇延拓：半无限长弦的自由振动半无限长弦的自由振动36第36页/共53页37第37页/共53页半波损失只有初始位移，没有初始速度只有初始位移，没有
25、初始速度开始反射开始反射38第38页/共53页一个端点自由一个端点自由设初始条件为设初始条件为和和边界条件边界条件应该是偶延拓应该是偶延拓39第39页/共53页无半波损失无半波损失只有初始位移，没有初始速度只有初始位移，没有初始速度开始反射开始反射40第40页/共53页（三）跃变点的反射（三）跃变点的反射 无限长杆，无限长杆，x0 两部分的杨氏模量和密度分别两部分的杨氏模量和密度分别为为 。x=0 是跃变点是跃变点。设有行波设有行波 从区域从区域 I 向向 x=0 点运动。到点运动。到x=0 产产生反射和透射生反射和透射。取此波在取此波在 t=0 时刻抵达时刻抵达 x=0 .衔接条件衔接条件4
26、1第41页/共53页区域区域 II II 中，只有透射波中，只有透射波衔接条件衔接条件区域区域 I I 中的行波：中的行波：42第42页/共53页又又反射系数反射系数透射系数透射系数43第43页/共53页 从从达朗贝尔公式达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。额外的形式来。而这种演化又受到边界条件的限制。而这种演化又受到边界条件的限制。这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。解时的重要性
27、。达朗贝尔解表示沿达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波的叠加轴正、反向传播的两列波的叠加44第44页/共53页45习题习题 7.1.2用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。xs1x+dx s2xu(x,t)解：解：如图选坐标系，选如图选坐标系，选dx段为研究对象段为研究对象,dx段两边受段两边受拉力分别为拉力分别为由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：第45页/共53页46习题7.1.7：长为l的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。XYxx+dx解：解：如图选坐标系，由于惯性如图选坐标系，由于
28、惯性离心力的作用，绳内各处受力离心力的作用，绳内各处受力不同，不同，x处的拉力为处的拉力为即即第46页/共53页确定确定c：ds=dx力平衡条件：力平衡条件：x hF0习题7.2.1 如右图，在h出受到拉力F0,写出初始位移.21解47解出：解出：第47页/共53页习题7.2.3 长为l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为，写出这个热传导问题的边界条件。在边界上有：在边界上有：若端点是绝热的，则解：x=l处：xq0q0nnx=0处：第48页/共53页习题习题 7.4.1解：习题习题 7.4.6设初始条件为设初始条件为和边界条件边界条件49第49页/共53页定解问题定解问题50端点自由时的解端点自由时的解分解分解解：通解为解：通解为定解条件定解条件求：求：第50页/共53页51求求第51页/共53页52求解两端固定弦的自由振动求解两端固定弦的自由振动泛定方程的通解泛定方程的通解边界条件边界条件周期函数，同理周期函数，同理改写为改写为是是x的奇函数，周期为的奇函数，周期为2l第52页/共53页53感谢您的观看。第53页/共53页