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1、 函 数 逼 近函数逼近的基本概念1正交函数系的性质 正交多项式的构造 函数的最佳平方逼近正交多项式的基本概念第1页/共54页第1节 函数逼近的基本概念第2页/共54页函数逼近（足够的小）N维空间第3页/共54页N+1维空间定理1Weierstrass第4页/共54页范数与赋范空间内积与内积空间N维数量空间内积第5页/共54页推而广之第6页/共54页内积空间常用的范数为：第7页/共54页内积空间的重要结论定理2Cauchy-Schwarz不等式特别地第8页/共54页定理3Gram矩阵第9页/共54页第2节 正交多项式第10页/共54页定义6.2一、正交多项式的概念第11页/共54页三角函数系：
2、正交性：回忆傅氏级数的结论第12页/共54页第13页/共54页 区间a,b上关于权函数的正交函数系必定线性无关证明证毕定理6.2二、正交多项式的性质第14页/共54页证明：定理6.3第15页/共54页证毕第16页/共54页三、正交多项式系的主要特征第17页/共54页四、正交多项式系的构造第18页/共54页Clearx,ff0=1;fk_:=xk-Sum(Integratexk*fi,x,0,1)/(Integratefi2,x,0,1)*fi,i,0,k-1Tablefk,k,0,6/N;Expand%/N;MatrixForm%Fi_,j_:=Integratefifj,x,0,1Table
3、Fi,j,i,0,6,j,0,6;MatrixForm%程序设计第19页/共54页请同学们写出第20页/共54页正交性验证：第21页/共54页请同学们写出第22页/共54页及其结构特点五、勒让德(Legendre)正交多项式第23页/共54页第24页/共54页第25页/共54页请同学们写出第26页/共54页3.23切夫多项式六、切比雪夫(Chebyshev)正交多项式第27页/共54页及其结构特点第28页/共54页第29页/共54页请同学们写出第30页/共54页七、拉盖尔（Laguerre）正交多项式第31页/共54页第3节 函数的最佳平方逼近第32页/共54页为定义在a,b上的一组线性无关的
4、连续函数。如果函数使得 一、最佳平方逼近的概念定义 设函数f(x)在区间a,b上连续，第33页/共54页特别地第34页/共54页二、最佳平方逼近函数的求解根据多元函数取极值的必要条件得：第35页/共54页注意第36页/共54页Clearg,f,Gfx_:=？gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=Integratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,n,j,0,n;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,n;MatrixForm%LinearSolveA,b/NF=%.Tablegi,i,0,n程序设计第37页/共54页求
5、在0,1上的一次最佳平方逼近多项式例（P141例5）【解】第38页/共54页正规方程组为所以 在0,1上的一次最佳平方逼近多项式为第39页/共54页 注 意若用正交多项式，正则方程组较简单第40页/共54页求 在0,1上的二次最佳平方逼近多项式首先构造正交多项式例6）【解】第41页/共54页第42页/共54页Clearg,f,G,Ffx_:=SinPi*x;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,0,1)/(Integrategi2,x,0,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,2;MatrixFormExpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,
6、0,1TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,0,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,2;Fn/N;Expand%程序设计第43页/共54页 求 利用已知的正交多项式系Legendre多项式是-1,1上正交多项式系例6【解】第44页/共54页正规方程组的解为：第45页/共54页Clearg,f,Gfx_:=Expx;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1GFi_:=Integratefxgi,x,-1,1A=TableGi,j,i,0,3,j,0,3;MatrixForm%b=
7、TableGFi,i,0,3;MatrixForm%LinearSolveA,b/N;F=%.Tablegi,i,0,3程序设计第46页/共54页Clearg,f,G,Ffx_:=Expx;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,-1,1)/(Integrategi2,x,-1,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,3;MatrixFormExpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1TableGi,j,i,0,3,j,0,3;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,-1,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,
8、n,0,3;Fn/N;Expand%程序设计第47页/共54页OK!Thats the end!第48页/共54页第49页/共54页程序设计Clearg,f,G,Ffx_:=SinPi*x;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,0,1)/(Integrategi2,x,0,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,2;MatrixFormExpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,0,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,
9、2;Fn/N;Expand%第50页/共54页程序设计Clearg,f,Gfx_:=Sqrtx;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=Integratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,2;MatrixForm%LinearSolveA,b/N;F=%.Tablegi,i,0,2第51页/共54页程序设计第52页/共54页Clearg,f,Gfx_:=CosPi*x;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=Integratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,1,j,0,1;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,1;MatrixForm%LinearSolveA,b/NF=%.Tablegi,i,0,1程序设计第53页/共54页Heut-感谢您的观看！第54页/共54页