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1、数值计算方法正交多项式第1页，共22页，编辑于2022年，星期六 (1),则称函数则称函数f(x)和和g(x)在在区间区间a,b上正交上正交.(2),则称函数则称函数f(x)和和g(x)在在区间区间a,b上带权上带权(x)正交正交.(3)代代数数多多项项式式序序列列 (下下 标标 k为为 多多 项项 式式的的次次数数,gk(x)表表 示示 k次次多多项项式式),在在区区间间 a,b上上 满满足足一、正交多项式一、正交多项式定义定义1当当mn当当m=n则称多项式序列则称多项式序列 为区间为区间a,b上带权上带权(x)的正交多项式序列的正交多项式序列第2页，共22页，编辑于2022年，星期六 若若
2、n次多项式次多项式gn(x)中含中含xn项的系数为项的系数为dn,则称则称dn为为gn(x)的的首次系数首次系数;dn0时时,称称 为首次系为首次系数为数为1的的n次多项式次多项式.定义定义2第3页，共22页，编辑于2022年，星期六 若若 是区间是区间a,b上带权上带权(x)的正交多的正交多项式序列项式序列,则它们线性无关则它们线性无关.对任意的对任意的x a,b若若两两边边同同乘乘(x)gl(x)(l=0,1,.n),并并 从从 a到到b积积 分分,由由 的正交性定义中的的正交性定义中的(3)可知必有可知必有cl=0故正交多项式序列故正交多项式序列 线性无关线性无关.性质性质1证明证明二、
3、正交多项式性质二、正交多项式性质第4页，共22页，编辑于2022年，星期六 若若 为为a,b上带权上带权(x)的的正交多项式序正交多项式序列列,且且 ,则则(1)k=n+1,n+2,(2)i=0,1,n-1记记 a,b上带权函数上带权函数(x)的正交多项式序列的正交多项式序列 相邻三项的递推关系为相邻三项的递推关系为i=1,2,其中其中性质性质2性质性质3第5页，共22页，编辑于2022年，星期六 a,b上带权函数上带权函数 的正交多项式序列的正交多项式序列 中中任意相邻两个正交多项式任意相邻两个正交多项式gn(x)和和gn+1(x)的根相间的根相间.为为的首项系数的首项系数若记若记 gn(x
4、),gn+1(x)的根分别为的根分别为 ,则所谓则所谓 与与 的根相间的根相间,即是指这两个正即是指这两个正交多项式的根有如下的关系交多项式的根有如下的关系.i=1,n-1性质性质4第6页，共22页，编辑于2022年，星期六常常 见见 的的 正正 交交 多多 项项 式式 有有Legendre(勒勒 让让 德德)多多 项项 式式、Hermite多多 项项 式式、Chebyshev多多项项式式以以及及Jacobi多多项式。项式。(1)区区 间间 a,b上上带带权权函函数数(x)的的正正交交多多项项式式 序序 列列 与与 对对 应应 元元 素素 之之 间间 只只 相差一个比例常数相差一个比例常数.(
5、2)区间区间a,b上带权函数上带权函数(x)首项系数为首项系数为1的正交的正交多项式序列多项式序列 唯一唯一.性质性质5第7页，共22页，编辑于2022年，星期六施密特正交化公式施密特正交化公式线性无关线性无关第8页，共22页，编辑于2022年，星期六三、三、Legendre多项式多项式Pn(x)-1,1上由上由1,x,xn,带权带权(x)1正交化正交化得到的多项式序列得到的多项式序列.(1)多项式定义多项式定义定义定义3隐式表达式隐式表达式显式表达式显式表达式其中其中当当n为偶数时为偶数时当当n为奇数时为奇数时第9页，共22页，编辑于2022年，星期六在在-1,1上带权上带权(x)1正交化正
6、交化1,x,xn,例例解解第10页，共22页，编辑于2022年，星期六(2)多项式的主要性质多项式的主要性质 n次次Legendre多项式多项式 Pn(x)的首项系数的首项系数当当x=-1当当x=1,当当m n当当m=n Legendre多项式相邻三项的递推关系为多项式相邻三项的递推关系为n=1,2,第11页，共22页，编辑于2022年，星期六 在所有最高项系数为在所有最高项系数为1的的n次多项式中次多项式中,最高项系数为最高项系数为1的的Legendre多项式多项式 Pn(x)在在-1,1上与零的上与零的平方误差平方误差最最小小.第12页，共22页，编辑于2022年，星期六(1)多项式定义多
7、项式定义定义定义4四、四、Chebyshev多项式多项式Tn(x)-1,1上由上由1,x,xn,带权带权 正交化得到的多项式序列正交化得到的多项式序列.显式表达为显式表达为:Tn(x)=cos(n arccosx),|x|1第13页，共22页，编辑于2022年，星期六Chebyshev多项式序列多项式序列 在在-1,1上满足上满足性质性质6n次次Chebyshev多项式多项式Tn(x)的首项系数为的首项系数为2n-1性质性质7n次次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系多项式相邻三项有递推关系：T0(x)=1,T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,.性
8、质性质8(2)Chebyshev多项式的性质多项式的性质第14页，共22页，编辑于2022年，星期六 当当 时，时，即即 x1,xn 为为Tn(x)的的n个零点。个零点。当当 时时，交交 错错 取到极大值取到极大值 1 1 和极小值和极小值 1 1，即，即记记显然显然 是首项系数为是首项系数为1的的n次次Chebyshev多项式多项式性质性质9性质性质10第15页，共22页，编辑于2022年，星期六记记 为一切定义在为一切定义在1,1上首项系数为上首项系数为1的的n次多项式的集合次多项式的集合 在在 中，中，的的无穷模无穷模 最小最小即即这个性质，称为这个性质，称为Chebyshev多项式多项
9、式最小模性质最小模性质.性质性质11第16页，共22页，编辑于2022年，星期六 多项式降次多项式降次(reduce the degree of polynomial with a minimal loss of accuracy)设设 f(x)Pn(x)。在降低在降低 Pn(x)次数的同时次数的同时,使使因此增加的误差尽可能小因此增加的误差尽可能小,也叫也叫 economiza-tion of power series。从从 Pn中去掉一个含有其最高次项的中去掉一个含有其最高次项的 ,结果降结果降次为次为 ,则：则：PnPn 1|)(|max|)()(|max|)()(|max1,11,11
10、1,1xPxPxfxPxfnnn +因降次而增的误差因降次而增的误差设设 Pn 的首项系数为的首项系数为an，则取，则取 可使精度可使精度尽可能少损失。尽可能少损失。12)()(=nnnnxTaxP(3)Chebyshev 多项式的应用多项式的应用第17页，共22页，编辑于2022年，星期六 f(x)=ex 在在 1,1上的上的4 阶阶 Taylor 展开为展开为，此时误差，此时误差请将其请将其降为降为2阶多项式阶多项式。取取（查表知（查表知 ）取取（查表知（查表知 ）若简单取若简单取 ，则误差，则误差注：注：对一般区间对一般区间a,b，先将，先将 x 换为换为 t，考虑，考虑 f(t)在在
11、1,1上的逼近上的逼近Pn(t)，再将，再将 t 换回换回x，最后得到，最后得到Pn(x)。例例1解解第18页，共22页，编辑于2022年，星期六定义定义6(1)第二类第二类Chebyshev 多项式多项式Un(x)相邻三项的递推关系为相邻三项的递推关系为五、其它正交多项式五、其它正交多项式 (-1,+1)上权函数上权函数 的正交多项式序列的正交多项式序列显式表达显式表达:U0(x)=1,U1(x)=2xn=1,2,第19页，共22页，编辑于2022年，星期六定义定义7(2)拉盖尔拉盖尔Laguerre多项式多项式Ln(x)相邻三项的递推关系为相邻三项的递推关系为 0,+)上权函数上权函数 的正交多项式序列的正交多项式序列显式表达显式表达:L0(x)=1,L1(x)=1-xn=1,2,第20页，共22页，编辑于2022年，星期六定义定义8(3)Hermite多项式多项式Hn(x)相邻三项的递推关系为相邻三项的递推关系为H0(x)=1,H1(x)=2xn=1,2,-,+)上权函数上权函数 的正交多项式序列的正交多项式序列显式表达显式表达:第21页，共22页，编辑于2022年，星期六(4)Jacobi多项式多项式其中其中或或定义定义9-1,1上权函数为上权函数为 的正的正交多项式交多项式,其中其中-1,-1记为记为显式表达显式表达:第22页，共22页，编辑于2022年，星期六