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1、heut-河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITYHEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY第三章函数逼近 函函 数数 逼逼 近近函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念1正交函数系的性质正交函数系的性质 正交多项式的构造正交多项式的构造 函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近正交多项式的基本概念正交多项式的基本概念Heut-第1节 函数逼近的基本概念Heut-函数逼近函数逼近（足够的小）（足够的小）N N维空间维空间Heut-N+1N+1维空间维空间定理定理1WeierstrassHeut-范数与赋范空间范数与赋范空间内积与内积空间内积与内积空间N N维数
2、量空间内积维数量空间内积Heut-推而广之推而广之Heut-内积空间常用的范数为：内积空间常用的范数为：Heut-内积空间的重要结论内积空间的重要结论定理定理2 2Cauchy-Schwarz不等式不等式特别地特别地Heut-定理定理3 3Gram矩阵矩阵Heut-第2节 正交多项式Heut-定义定义6.2一、正交多项式的概念一、正交多项式的概念Heut-三角函数系：三角函数系：正交性：正交性：回忆傅氏级数的结论回忆傅氏级数的结论Heut-Heut- 区间区间a,b上关于权函数的正交函数系必定线性上关于权函数的正交函数系必定线性无关无关证明证明证毕定理定理6.2二、正交多项式的性质二、正交多项
3、式的性质Heut-证明：证明：定理定理6.3Heut-证毕Heut-三三、正交多项式系的主要特征正交多项式系的主要特征Heut-四四、正交多项式系的构造正交多项式系的构造Heut-Clearx,ff0=1;fk_:=xk-Sum(Integratexk*fi,x,0,1)/(Integratefi2,x,0,1)*fi,i,0,k-1Tablefk,k,0,6/N;Expand%/N;MatrixForm%Fi_,j_:=Integratefifj,x,0,1TableFi,j,i,0,6,j,0,6;MatrixForm%程序设计程序设计Heut-请同学们写出请同学们写出Heut-正交性验证
4、：正交性验证：Heut-请同学们写出请同学们写出Heut-及其结构特点及其结构特点五五、勒让德勒让德(Legendre)正交多项式正交多项式Heut-Heut-Heut-请同学们写出请同学们写出Heut-3.23切夫多项式切夫多项式六、切比雪夫六、切比雪夫(Chebyshev)正交多项式正交多项式及其结构特点及其结构特点Heut-Heut-请同学们写出请同学们写出Heut-七、拉盖尔（七、拉盖尔（Laguerre）正交多项式）正交多项式Heut-第3节 函数的最佳平方逼近Heut-为定义在为定义在a,b上的一组线性无关的连续函数。上的一组线性无关的连续函数。如果函数如果函数使得使得 一、最佳平
5、方逼近的概念一、最佳平方逼近的概念定义定义 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，上连续，Heut-特别地Heut-二、最佳平方逼近函数的求解二、最佳平方逼近函数的求解根据多元函数取极值的必要条件得：根据多元函数取极值的必要条件得：Heut-注注意意Heut-Clearg,f,Gfx_:=？gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=Integratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,n,j,0,n;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,n;MatrixForm%LinearSolveA,b/NF=%.Tablegi
6、,i,0,n程序设计程序设计Heut-求求 在在0,1上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式例（例（P141例例5）【解解】Heut-正规方程组为正规方程组为所以所以 在在0,1上的一次最佳平方逼近上的一次最佳平方逼近多多项式为项式为Heut- 注注 意意若用正交多项式，正则方程组较简单若用正交多项式，正则方程组较简单Heut-求求 在在0,1上的二次最佳平方逼上的二次最佳平方逼近多项式近多项式首先构造正交多项式首先构造正交多项式例例6）【解解】Heut-Heut-Clearg,f,G,Ffx_:=SinPi*x;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,0,1)
7、/(Integrategi2,x,0,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,2;MatrixFormExpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,0,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,2;Fn/N;Expand%程序设计程序设计Heut- 求求 利用已知的正交多项式系利用已知的正交多项式系Legendre多项式是多项式是-1,1上正交多项式系上正交多项式系例例6【解解】Heut-正规方程组的解为：正规方程组的解为：Heut-Clearg
8、,f,Gfx_:=Expx;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1GFi_:=Integratefxgi,x,-1,1A=TableGi,j,i,0,3,j,0,3;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,3;MatrixForm%LinearSolveA,b/N;F=%.Tablegi,i,0,3程序设计程序设计Heut-Clearg,f,G,Ffx_:=Expx;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,-1,1)/(Integrategi2,x,-1,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,3;MatrixFormE
9、xpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1TableGi,j,i,0,3,j,0,3;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,-1,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,3;Fn/N;Expand%程序设计程序设计Heut-OK!Thats the end!Heut-Heut-程序设计程序设计Clearg,f,G,Ffx_:=SinPi*x;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,0,1)/(Integrategi2,x,0,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,2;MatrixFormExpand%
10、Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,0,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,2;Fn/N;Expand%Heut-程序设计程序设计Clearg,f,Gfx_:=Sqrtx;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=Integratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,2;MatrixForm%LinearSolveA,b/N;F=%.Tablegi,i,0,2Heut-程序设计程序设计Heut-Clearg,f,Gfx_:=CosPi*x;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=Integratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,1,j,0,1;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,1;MatrixForm%LinearSolveA,b/NF=%.Tablegi,i,0,1程序设计程序设计Heut-