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1、曲线的极坐标方程 52 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 在极坐标系中，用在极坐标系中，用，=0表示曲线的方表示曲线的方程程。一些基本曲线的方程：一些基本曲线的方程：=r =0(0)=0(R)o xo x00rooxxoPP(2，P(，2/3 =2 =2 3 ooooxxxxc(a，0)c(a，/2)c(a，)c(a，-/2)P(，)P(，)P(，)P(，)=2acos =2acos(-)=-2acos =2acos(-3/2)=-2asin =2asin xxxxP(，)P(，)P(，)P(，)ooooaaaa=asec =acsc =asec(-3/2)=-acsc =asec(-)=-a
2、sec )c(0，0)raP(，)P(，)余弦定理余弦定理r2=2+02-2 0cos(-0)正弦定理正弦定理=sin(-)asin(-)=asin sin(-)ooxx P47 三种圆锥曲线的统一的极坐标方程三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 动点动点M到定点到定点(焦点焦点)F与到定直线与到定直线(准线准线)L的的 距离的比为距离的比为e，求点求点M的极坐标方程。的极坐标方程。分析：以焦点分析：以焦点F为极点，为极点，如图建立极坐标系。如图建立极坐标系。F到到L 的离的离|FK|=p，M，为轨为轨 轨上的任一点。轨上的任一点。把条件把条件 =e，用极坐标表示用极坐标表示=e 解出解出 =KFH
3、M(，)x|MF|MH|P+cos ep1-ecos 上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 FLxLFxxFL当当0e1时，方程表示时，方程表示椭圆，椭圆，F是左焦点，是左焦点，L是左准线。是左准线。当当1e时，方程表示双时，方程表示双曲线，曲线，F是右焦点，是右焦点，L是右准线。是右准线。当当e=1时，方程表示抛时，方程表示抛物线，物线，F是焦点，是焦点，L是是准线，开口向右。准线，开口向右。圆锥曲线极坐标方程的应用圆锥曲线极坐标方程的应用 例例 5(1)以抛物线以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴的焦点为极点，对称轴 向右的方向为极轴的正方向，且向右的
4、方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的轴与极轴的 长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。分析：设所求的抛物线的极坐标方程为分析：设所求的抛物线的极坐标方程为 =，基中，基中e=1，p是焦点到准线的是焦点到准线的距离，距离，p=，代入上式得所求的抛物线代入上式得所求的抛物线 =ep1-ecos 521-cos 1 252-2cos 5(2)以椭圆以椭圆 +=1的左焦点为极点，长轴的左焦点为极点，长轴 向右的方向为极轴的正方向，且向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的轴与极轴的长度单位相同，求椭的极坐标方程。长度单位相同，求椭的极坐标方程。分析：根据已知条件，可设所
5、求的椭圆的分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的极极 坐标方程为坐标方程为 =，由椭圆的直角坐标，由椭圆的直角坐标 方程求得方程求得 a=5，b=4，c=3，e=，p=-3+=，代入上式代入上式 =x2y21625ep1-ecos 353253163/5 16/31-3/5cos 165-3cos 例例 6 通过抛物线通过抛物线y2=8x的焦点的焦点F，作一条倾斜作一条倾斜角为角为/4的直线，交抛物线于的直线，交抛物线于A、B两点，求两点，求 焦点弦焦点弦|AB|的值。的值。分析：可用以往学过分析：可用以往学过 的方法求焦点弦的长。的方法求焦点弦的长。也可建立极坐标系解决。也可建立极坐标系解决。
6、点点F为极点，为极点，x轴正半轴轴正半轴 为极轴，它的极坐标方程为为极轴，它的极坐标方程为=，1=，2=|AB|=1+2=16 o F xABy41-cos 1 241-cos/441-cos5/4 P52 53 极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系以直角坐标系xoy的的原点为极点，原点为极点，x轴的正方轴的正方向为极轴，点向为极轴，点M的直角的直角坐标为坐标为(x，y)，它的极它的极坐标为坐标为(，根据三角，根据三角函数定义，同一点函数定义，同一点M的两种坐标有下面关系的两种坐标有下面关系 x=cos ，y=sin ，2=x2+y2 ，tg =(x=0)一般，根据一般，
7、根据M所在象限所在象限，取最小的正角。取最小的正角。oxyM)yx 公式的应用公式的应用 例例 把点把点M的极坐标的极坐标(-5，)化成直角坐标化成直角坐标 直接代入公式计算直接代入公式计算 x=cos=-5cos/6=(-5/2)3 y=sin =-5sin/6=-5/2 点点M的直角坐标是的直角坐标是(-，-)例例 把点把点M的直角坐标的直角坐标(-3，-1)化为极坐标化为极坐标 极径取正值极径取正值 =2 极角极角 ：tg =，=6)Moxy5 3522oxyM 337 6 同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 P54 例例 3 化圆的直角坐标方程
8、化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为为 极坐标方程。极坐标方程。解题时，应用公式，注意整体替代。把解题时，应用公式，注意整体替代。把 x2+y2=2，x=cos 代入直角坐标方程得代入直角坐标方程得 2-2a cos =0(-2acos)=0 所示的极坐标方程是所示的极坐标方程是=0或或-2acos =0 =0 是极点，是极点，=2acos 表示以表示以(a，0)为圆心，为圆心，a为为 半径，且过极点的圆，所以半径，且过极点的圆，所以 =0不必写出来。不必写出来。ox(a，0)例例 5 化化=-4sin+cos 为直角坐标方程为直角坐标方程 解题注意整体替代。解题注意整体替代。把原极坐标
9、方程两边同乘把原极坐标方程两边同乘 2=-4 sin +cos ，2=x2+y2，cos =x，sin =y，它的直角坐标方程它的直角坐标方程 是是x2+y2=-4y+x (x-)2+(y+2)2=在直角坐标系在直角坐标系xoy中中 方程表示的是以方程表示的是以(，-2)为为圆心圆心，为半径的圆。为半径的圆。12417oxy122 14 把极坐标方程把极坐标方程 2sin2 =2tg 化为直角坐标方化为直角坐标方程程 解：把原方程化为解：把原方程化为 sin cos =tg x=cos ，y=sin ，=tg 它的直角坐标方程是它的直角坐标方程是 xy=y(x2-1)=0 y(x-1)(x+1
10、)=0 从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线 是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的是三条直线：是三条直线：y=0或或x=1或或x=-1xyyx P54 例例 4 化圆锥曲线的极坐标方程化圆锥曲线的极坐标方程=为直角坐标方程。为直角坐标方程。解：把原极坐标方程化为解：把原极坐标方程化为 -e cos=ep =e cos +p)，=x2+y2，x=cos x2+y2=e(x+p)，两边平方得两边平方得 x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角整理，所求的直角坐坐 标方程是标方程是(1-e2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0 ep1-ecos