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1、实根实根 特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步骤为：求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的写出微分方程的特征方程特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第1页/共49页 特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步骤为：求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的写出微分方程的特征方程特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。二阶常系数齐次线性微
2、分方程二阶常系数齐次线性微分方程第2页/共49页解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。令带入方程：带入方程：令带入边界条件带入边界条件1 求两端固定的弦自由振动的规律一一 有界弦的自由振动有界弦的自由振动第3页/共49页分情况讨论：1）2）3）令 ，为非零实数 特征值问题特征值与特征函数第4页/共49页步骤2，叠加原理做出解的线性组合。第5页/共49页步骤3，其余的定解条件求出系数。第6页/共49页分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。第7页/共49页2 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：第8页/共4
3、9页第9页/共49页第10页/共49页例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：第11页/共49页第12页/共49页第13页/共49页第14页/共49页弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。第15页/共49页解：例2求下列定解问题第16页/共49页第17页/共49页第18页/共49页初始条件第19页/共49页若l=1,a=10时的震动。第20页/共49页上述方程实际是个单簧管振动模型直径均匀的细管，一端封闭，一端开放第21页/共49页例3 求下列定解问题解：第22页/共49页第23页/共49页第24页/共
4、49页第25页/共49页令带入方程：带入方程：令例例4 求下列定解问题求下列定解问题解：解：二二 有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导第26页/共49页第27页/共49页第28页/共49页三三 拉普拉斯方程的定解问题拉普拉斯方程的定解问题1 1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：解：矩形区域第29页/共49页第30页/共49页第31页/共49页第32页/共49页解：令，解：令，2 2 圆域内的拉普拉斯问题圆形区域第33页/共49页第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解原点约束条件的变量分离形式的解把上式代入把上式代入微分方程微分方
5、程可得：可得：即即从而，我们可得到常微分方程：从而，我们可得到常微分方程：第34页/共49页 与与：周期本征值问题周期本征值问题欧拉方程欧拉方程再利用定解条件可得：再利用定解条件可得：第35页/共49页第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程第36页/共49页第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定解第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定解问题的解问题的解再利用边界条件，有再利用边界条件，有:第37页/共49页例例5 求下列定解问题求下列定解问题解：解：第38页/共49页欧拉方程 令第39页/共49页其它为零第40页/共49页第41页/共49页四四 非齐次方程的解法非齐次方程的解法求下列定解问题求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题解出齐次问题求出任意非齐次特解叠加成非齐次解思考思考第42页/共49页令：令：第43页/共49页令：令：为什么？为什么？第44页/共49页第45页/共49页例6 求下列定解问题解：先解对应的齐次问题第46页/共49页第47页/共49页第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页