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1、数学物理方程 分离变量法第1页，本讲稿共89页 分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本特征值问题微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本特征值问题微分方程，其中有的常
2、微分方程带有附加条件而构成本特征值问题微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本特征值问题 2.1 2.1 特征值问题特征值问题 2.1.1 2.1.1 矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题 矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题 设设设设A A为一为一为一为一n n阶实矩阵，其特征值满足阶实矩阵，其特征值满足阶实矩阵，其特征值满足阶实矩阵，其特征值满足一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于n n个。任意个。任意个。任意个。任意n n阶矩
3、阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵都有都有都有都有n n个线性无关的广义特征向量，以此个线性无关的广义特征向量，以此个线性无关的广义特征向量，以此个线性无关的广义特征向量，以此n n个线性无关的广义特征向个线性无关的广义特征向个线性无关的广义特征向个线性无关的广义特征向第2页，本讲稿共89页 量作为量作为量作为量作为的一个新基，矩阵就能够化为的一个新基，矩阵就能够化为的一个新基，矩阵就能够化为的一个新基，矩阵就能够化为 约当标准型。约当标准型。约当标准型。约当标准型。实对称矩阵对角化实对称矩阵对角化实对称矩阵对角化实对称矩阵对角化 若若若若A A为一为一为一为一n n阶实对称矩阵，存在正交阵阶实对称矩阵，存
4、在正交阵阶实对称矩阵，存在正交阵阶实对称矩阵，存在正交阵T T使得使得使得使得其中其中其中其中为实对角阵。设为实对角阵。设为实对角阵。设为实对角阵。设则（则（则（则（2 2）可以有如下形式）可以有如下形式）可以有如下形式）可以有如下形式或或或或可以看出，可以看出，可以看出，可以看出，正交阵正交阵正交阵正交阵T T的每一列都是实对称阵的每一列都是实对称阵的每一列都是实对称阵的每一列都是实对称阵A A的特征向量，并且这的特征向量，并且这的特征向量，并且这的特征向量，并且这n nn n个特征向量是个特征向量是个特征向量是个特征向量是 相互正交的。相互正交的。相互正交的。相互正交的。定理定理1 1 n
5、 n阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。第3页，本讲稿共89页 特征值问题做线性问题求解中具有重要意义，特征值问题做线性问题求解中具有重要意义，特征值问题做线性问题求解中具有重要意义，特征值问题做线性问题求解中具有重要意义，下面举例说明。下面举例说明。下面举例说明。下面举例说明。为简化问题，下面例子中，假设为简化问题，下面例子中，假设为简化问题，下面例子中，假设为简化问题，下面例子中，假设A A为为为为n n阶非奇异阵，且有阶非奇异阵，且有阶非奇异阵，且有阶非奇异
6、阵，且有n n个线性无关的向量。个线性无关的向量。个线性无关的向量。个线性无关的向量。例例1 1 设设设设，求解线性方程组，求解线性方程组，求解线性方程组，求解线性方程组 解解解解 A A的的的的n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量可以作为可以作为可以作为可以作为的一个基。将的一个基。将的一个基。将的一个基。将x x，b b按此基展开为按此基展开为按此基展开为按此基展开为，则，则，则，则等价于等价于等价于等价于或或或或第4页，本讲稿共89页由于由于由于由于线性无关，比较系数有线性无关，比较系数有线性无关，比较系数有线性无关，比较系数有则则则则为
7、原问题的解。为原问题的解。为原问题的解。为原问题的解。例例2 2 设设设设求解非齐次常微分方程组求解非齐次常微分方程组求解非齐次常微分方程组求解非齐次常微分方程组其中其中其中其中为已知向量函数，为已知向量函数，为已知向量函数，为已知向量函数，解解解解 和例和例和例和例1 1相似相似相似相似 ，将，将，将，将按基按基按基按基分别展分别展分别展分别展开开开开第5页，本讲稿共89页则（则（则（则（4 4）等价于）等价于）等价于）等价于化为化为化为化为n n个一阶线性方程组的初始值问题，最后再带回个一阶线性方程组的初始值问题，最后再带回个一阶线性方程组的初始值问题，最后再带回个一阶线性方程组的初始值问
8、题，最后再带回 2.1.2 2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题一个二阶线性微分算子的特征值问题 实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵A A换为二阶微分算子换为二阶微分算子换为二阶微分算子换为二阶微分算子A A，一般取一般取一般取一般取第6页，本讲稿共89页 下面讨论二阶线性微分算子下面讨论二阶线性微分算子下面讨论二阶线性微分算子下面讨论二阶线性微分算子的特征值问题。边界条件的特征值问题。边界条件的特征值问题。边界条件的特征值问题。边界条件，设，设，设，设是是是是A A的特征函数，即的特征函数，即的特征函数，即的特征函数，即且满足且满足且满足且满足等价于等价于等价于等价于对此特征值
9、问题求解。对此特征值问题求解。对此特征值问题求解。对此特征值问题求解。首先证明首先证明首先证明首先证明 非负。非负。非负。非负。因为因为因为因为第7页，本讲稿共89页积分得积分得积分得积分得第一项分部积分，第一项分部积分，第一项分部积分，第一项分部积分，得得得得故有故有故有故有第8页，本讲稿共89页当当当当时，方程时，方程时，方程时，方程的通解为的通解为的通解为的通解为，利用边界条件可得，利用边界条件可得，利用边界条件可得，利用边界条件可得因此，因此，因此，因此，不是特征值。不是特征值。不是特征值。不是特征值。当当当当时，方程时，方程时，方程时，方程的通解为的通解为的通解为的通解为利用边界条件
10、，确定常数利用边界条件，确定常数利用边界条件，确定常数利用边界条件，确定常数即有即有即有即有所以所以所以所以第9页，本讲稿共89页所以，可得所以，可得所以，可得所以，可得故，特征值问题（故，特征值问题（故，特征值问题（故，特征值问题（7 7）的解为）的解为）的解为）的解为第10页，本讲稿共89页 2.2 2.2 分离变量法分离变量法 对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条具备什么条件件？对于任何对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程二阶线性（齐次）偏微分方程通过适当的自变量变换转化为下列通过适当的自变量变换转化为下列通过适当的自变量变换转化为下列
11、通过适当的自变量变换转化为下列标准形式标准形式：假设假设假设假设：标准形式标准形式的解有下列分离的形式的解有下列分离的形式的解有下列分离的形式的解有下列分离的形式 其中其中其中其中分别是单个变量的分别是单个变量的分别是单个变量的分别是单个变量的二次可微二次可微二次可微二次可微函数。函数。函数。函数。第11页，本讲稿共89页代入标准形式即有代入标准形式即有讨论讨论:1.1.常系数偏微分方程常系数偏微分方程若（若（*）的系数均为常数，并分别用小写的）的系数均为常数，并分别用小写的 代表代表 ，将方程两边同将方程两边同除以除以XY,则则第12页，本讲稿共89页1.1.常系数偏微分方程常系数偏微分方程
12、讨论讨论:若原方程的系数均为常数，并分别用小写的若原方程的系数均为常数，并分别用小写的 代表代表 ，将方程两边同将方程两边同除以除以XY,则则第13页，本讲稿共89页要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依也不依赖于赖于y的常数，记为的常数，记为 ，从而得到两个常微分方程，从而得到两个常微分方程2.2.2.2.变系数偏微分方程变系数偏微分方程对于变系数函数对于变系数函数 ，假设存在某一个函数，假设存在某一个函数 ，使得方程除以使得方程除以后变为可分离的形式后变为可分离的形式第14页，本讲稿共89页上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为上式
13、要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 ，从而得到两个，从而得到两个常微分方程常微分方程由以上讨论知道：对于由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离总是能实施变量分离 需要满足一定的条件，即必须找到讨论需要满足一定的条件，即必须找到讨论2 2中适当的中适当的 函数才能实施变量分离函数才能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 第15页，本讲稿共89页第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件 边界条件可实施变量分离的条件边界条件可实施变量分离的条件一维的情形（设在边界点一维的情形（设在边界
14、点处），常见的处），常见的 三类边界条件为三类边界条件为第三类边界条件第三类边界条件第三类边界条件第三类边界条件第16页，本讲稿共89页假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：条件为齐次的：可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时，还须根据知函数的边界条件此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系求定解问题的不恒等于零的解求定解问题的不恒等于零的解须须因此得因此得第17页
15、，本讲稿共89页例例 1 1 求解两端固定弦振动方程的混合问题求解两端固定弦振动方程的混合问题求解两端固定弦振动方程的混合问题求解两端固定弦振动方程的混合问题泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：对于确定的频率，解是驻波：对于确定的频率，解是驻波：波腹波腹波节波节每一点绕平衡位置振动每一点绕平衡位置振动振幅随位置变化振幅随位置变化驻波解：驻波解：这是解的分离变量这是解的分离变量182.2.1 2.2.1 齐次边界弦振动方程定解问题齐次边界弦振动方程定解问题第18页，本讲稿共89页解解解解 分四步求解分四步求解分四步求解分四步求解第一步第一步第一步第一步 分离变量，求解特征
16、值问题。分离变量，求解特征值问题。分离变量，求解特征值问题。分离变量，求解特征值问题。即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该问即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该问即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该问即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该问题的特征值问题并求解。题的特征值问题并求解。题的特征值问题并求解。题的特征值问题并求解。令令令令，带入到对应的齐次方程中得到，带入到对应的齐次方程中得到，带入到对应的齐次方程中得到，带入到对应的齐次方程中得到或或或或左右只能为常数，记为左右只能为常数，记为左右只能为常数，记为左右只能为常数，记为，则有，则有，则有
17、，则有由第一个方程可得由第一个方程可得由第一个方程可得由第一个方程可得第19页，本讲稿共89页 由齐次边界条件由齐次边界条件由齐次边界条件由齐次边界条件 即即即即又又又又不恒等于不恒等于不恒等于不恒等于0 0，可得，可得，可得，可得第一个问题可以化为第一个问题可以化为第一个问题可以化为第一个问题可以化为其解为其解为其解为其解为特征值特征值特征值特征值特征函数特征函数特征函数特征函数第20页，本讲稿共89页 第二步第二步第二步第二步 正交分解过程。正交分解过程。正交分解过程。正交分解过程。即即即即 将初始条件函数，自由项以及将初始条件函数，自由项以及将初始条件函数，自由项以及将初始条件函数，自由
18、项以及u(x,t)u(x,t)用特征函数系用特征函数系用特征函数系用特征函数系表出。表出。表出。表出。这里这里这里这里第21页，本讲稿共89页而而而而下面来求。下面来求。下面来求。下面来求。第三步第三步第三步第三步 待定系数法。待定系数法。待定系数法。待定系数法。即即即即 先将先将先将先将的级数带入原方程中，导出关于的级数带入原方程中，导出关于的级数带入原方程中，导出关于的级数带入原方程中，导出关于满足的满足的满足的满足的的常微分方程。再利用初值条件求的常微分方程。再利用初值条件求的常微分方程。再利用初值条件求的常微分方程。再利用初值条件求的初始条件。的初始条件。的初始条件。的初始条件。假设假
19、设假设假设可逐项求导，并将可逐项求导，并将可逐项求导，并将可逐项求导，并将第22页，本讲稿共89页带入泛定方程带入泛定方程带入泛定方程带入泛定方程中，可得中，可得中，可得中，可得即即即即比较系数有比较系数有比较系数有比较系数有第23页，本讲稿共89页 由由由由令令令令t=0t=0，有，有，有，有比较系数，有比较系数，有比较系数，有比较系数，有同理同理同理同理比较系数，有比较系数，有比较系数，有比较系数，有第24页，本讲稿共89页所以有所以有所以有所以有 第四步第四步第四步第四步 求解上面的定解问题，结果代入求解上面的定解问题，结果代入求解上面的定解问题，结果代入求解上面的定解问题，结果代入对齐
20、次方程对齐次方程对齐次方程对齐次方程其通解为其通解为其通解为其通解为第25页，本讲稿共89页 对应的非齐次方程对应的非齐次方程对应的非齐次方程对应的非齐次方程 利用常数变易法，其解具有这样的形式利用常数变易法，其解具有这样的形式利用常数变易法，其解具有这样的形式利用常数变易法，其解具有这样的形式第26页，本讲稿共89页第27页，本讲稿共89页由初始条件由初始条件由初始条件由初始条件代入上面的式子，可得代入上面的式子，可得代入上面的式子，可得代入上面的式子，可得第28页，本讲稿共89页 代入代入代入代入可得可得可得可得又又又又第29页，本讲稿共89页所以所以所以所以第30页，本讲稿共89页（4
21、4 4 4）有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）有初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）注注注注1 1 1 1 分离变量法概要：分离变量法概要：分离变量法概要：分离变量法概要：（1 1 1 1）将齐次偏微分方程分为若干常微分方程）将齐次偏微分方程分为若干常微分方程）将齐次偏微分方程分为若干常微分方程）将齐次偏微分方程分为若干常微分方程（2 2 2 2）参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题）参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题）参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题）参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题（
22、3 3 3 3）将特征解叠加无穷级数，给出通解）将特征解叠加无穷级数，给出通解）将特征解叠加无穷级数，给出通解）将特征解叠加无穷级数，给出通解31注注注注2 2 2 2 对齐次问题对齐次问题对齐次问题对齐次问题第31页，本讲稿共89页记记记记令令令令则简谐波则简谐波则简谐波则简谐波在弦上固定一点在弦上固定一点在弦上固定一点在弦上固定一点x x x x，则，则，则，则表述了一个振幅为表述了一个振幅为表述了一个振幅为表述了一个振幅为，频率，频率，频率，频率为为为为，初相位为，初相位为，初相位为，初相位为的简谐振动。就整个弦来说，这个简谐波有的简谐振动。就整个弦来说，这个简谐波有的简谐振动。就整个弦
23、来说，这个简谐波有的简谐振动。就整个弦来说，这个简谐波有第32页，本讲稿共89页如下的显著特点：如下的显著特点：如下的显著特点：如下的显著特点：第33页，本讲稿共89页例例 2 2 设有一均匀细弦，其线密度为设有一均匀细弦，其线密度为设有一均匀细弦，其线密度为设有一均匀细弦，其线密度为，若，若，若，若端为自由端，端为自由端，端为自由端，端为自由端，端固定。初始速度和初端固定。初始速度和初端固定。初始速度和初端固定。初始速度和初始位移都为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为始位移都为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为始位移都为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单
24、位长度所受外力为始位移都为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为 。求此弦的振动。求此弦的振动。求此弦的振动。求此弦的振动。解解解解 所求问题为所求问题为所求问题为所求问题为利用特征函数法求解该问题。利用特征函数法求解该问题。利用特征函数法求解该问题。利用特征函数法求解该问题。情形情形情形情形1 1 非共振问题，即非共振问题，即非共振问题，即非共振问题，即 该定解问题的特征值问题为该定解问题的特征值问题为该定解问题的特征值问题为该定解问题的特征值问题为第34页，本讲稿共89页 当当当当时，方程时，方程时，方程时，方程的通解为的通解为的通解为的通解为利用初始条件，求的其解为利用初始
25、条件，求的其解为利用初始条件，求的其解为利用初始条件，求的其解为将将将将按特征函数按特征函数按特征函数按特征函数展开成傅里叶级数，即展开成傅里叶级数，即展开成傅里叶级数，即展开成傅里叶级数，即第35页，本讲稿共89页令令令令则有则有则有则有比较系数有比较系数有比较系数有比较系数有第36页，本讲稿共89页得得得得满足满足满足满足得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为留给同学们计算。留给同学们计算。留给同学们计算。留给同学们计算。第37页，本讲稿共89页 情形情形情形情形2 2
26、 共振问题，即存在共振问题，即存在共振问题，即存在共振问题，即存在使得使得使得使得不妨假设不妨假设不妨假设不妨假设此时，在情形此时，在情形此时，在情形此时，在情形1 1中求解所得到的中求解所得到的中求解所得到的中求解所得到的不不不不变。当变。当变。当变。当时，要求解以下问题时，要求解以下问题时，要求解以下问题时，要求解以下问题其齐次方程通解为其齐次方程通解为其齐次方程通解为其齐次方程通解为要求原方程的一个特解，需要将自由项换为要求原方程的一个特解，需要将自由项换为要求原方程的一个特解，需要将自由项换为要求原方程的一个特解，需要将自由项换为，而求以下问题，而求以下问题，而求以下问题，而求以下问题
27、的一个特解的一个特解的一个特解的一个特解第38页，本讲稿共89页令令令令并带入到上面的非齐次方并带入到上面的非齐次方并带入到上面的非齐次方并带入到上面的非齐次方程，可得程，可得程，可得程，可得，所以有，所以有，所以有，所以有取其虚部为原方程的一个特解取其虚部为原方程的一个特解取其虚部为原方程的一个特解取其虚部为原方程的一个特解 所以，原方程的通解为所以，原方程的通解为所以，原方程的通解为所以，原方程的通解为由初始条件确定，可得由初始条件确定，可得由初始条件确定，可得由初始条件确定，可得代入代入代入代入第39页，本讲稿共89页第40页，本讲稿共89页例例3 3设有一根长为设有一根长为设有一根长为
28、设有一根长为1010个单位的弦，两端固定，初速为零，初位个单位的弦，两端固定，初速为零，初位个单位的弦，两端固定，初速为零，初位个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为移为移为移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。，求弦作微小横向振动时的位移。，求弦作微小横向振动时的位移。，求弦作微小横向振动时的位移。解：解：解：解：第41页，本讲稿共89页第42页，本讲稿共89页第43页，本讲稿共89页第44页，本讲稿共89页弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。第45页，本讲稿共89页解：例例例例4 4 求下列定解问题求下列定解问题求下列定解问题求下列定解问题第46页，本讲
29、稿共89页第47页，本讲稿共89页第48页，本讲稿共89页初始条件第49页，本讲稿共89页若l=1,a=10时的震动。第50页，本讲稿共89页例例例例5 5 5 5 求下列定解问题求下列定解问题求下列定解问题求下列定解问题解：第51页，本讲稿共89页第52页，本讲稿共89页第53页，本讲稿共89页第54页，本讲稿共89页例例例例6 6 6 6 求下列定解问题求下列定解问题求下列定解问题求下列定解问题令带入方程：解：第55页，本讲稿共89页第56页，本讲稿共89页第57页，本讲稿共89页第58页，本讲稿共89页第59页，本讲稿共89页2.2.2 2.2.2 热传导方程定解问题热传导方程定解问题例
30、例例例7 7 7 7 求解下面的热传导方程定解问题求解下面的热传导方程定解问题求解下面的热传导方程定解问题求解下面的热传导方程定解问题 解解解解 利用特征函数法求解利用特征函数法求解利用特征函数法求解利用特征函数法求解 首先将边界条件齐次化，取首先将边界条件齐次化，取首先将边界条件齐次化，取首先将边界条件齐次化，取记记记记，则原方程转化为，则原方程转化为，则原方程转化为，则原方程转化为第60页，本讲稿共89页 利用变量分离法，解上面的方程利用变量分离法，解上面的方程利用变量分离法，解上面的方程利用变量分离法，解上面的方程令令令令 可得特征值问题可得特征值问题可得特征值问题可得特征值问题特征值和
31、特征函数分别为特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为将将将将分别按分别按分别按分别按展开成傅里叶展开成傅里叶展开成傅里叶展开成傅里叶级数级数级数级数第61页，本讲稿共89页其中其中其中其中又又又又其中其中其中其中令令令令代入代入代入代入第62页，本讲稿共89页可得可得可得可得所以所以所以所以又因为又因为又因为又因为t=0t=0时有时有时有时有第63页，本讲稿共89页所以，有所以，有所以，有所以，有此方程为一阶常微分方程初值问题，其齐次方程通解为此方程为一阶常微分方程初值问题，其齐次方程通解为此方程为一阶常微分方程初值问题，其齐次方程通解为此方程为一阶常微分方程初值问
32、题，其齐次方程通解为令令令令，代入上面方程，确定系数得，代入上面方程，确定系数得，代入上面方程，确定系数得，代入上面方程，确定系数得方程通解为方程通解为方程通解为方程通解为用初值条件用初值条件用初值条件用初值条件，可得，可得，可得，可得第64页，本讲稿共89页则有则有则有则有又由又由又由又由第65页，本讲稿共89页则则则则第66页，本讲稿共89页例例例例8 8 8 8：细杆热传导。初始均匀温度为细杆热传导。初始均匀温度为 ，保持一端温度不变，另，保持一端温度不变，另一端有恒定热流一端有恒定热流 流入。流入。第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件非齐次非齐次(不为零不为零)边界
33、条件边界条件,无法直接根据边界条件确定本征函数无法直接根据边界条件确定本征函数解解齐次边界条件的齐次边界条件的通解通解非齐次边界条件的非齐次边界条件的特解特解非齐次边界条件的特解：非齐次边界条件的特解：齐次边界条件的通解齐次边界条件的通解:67第67页，本讲稿共89页初始条件初始条件:分离变量分离变量:和和68第68页，本讲稿共89页“和和”是迅速衰减的部分。近似：只保留是迅速衰减的部分。近似：只保留 k=0 项。项。69第69页，本讲稿共89页泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数 k=1,2,3k=1,2,3 k=0,1,2,3 70k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第70页，本讲
34、稿共89页2.2.3 2.2.3 平面上位势方程定解问题平面上位势方程定解问题 考虑矩形区域上的考虑矩形区域上的考虑矩形区域上的考虑矩形区域上的PoissonPoisson方程边值问题方程边值问题方程边值问题方程边值问题假设假设假设假设或或或或。否则，利用边界条件齐。否则，利用边界条件齐。否则，利用边界条件齐。否则，利用边界条件齐次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件。当然，也可以利用叠次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件。当然，也可以利用叠次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件。当然，也可以利用叠次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件。当然，也可以利用叠加原理将此问题分解为两个问题，其中一
35、个关于加原理将此问题分解为两个问题，其中一个关于加原理将此问题分解为两个问题，其中一个关于加原理将此问题分解为两个问题，其中一个关于x x具有齐次边界条具有齐次边界条具有齐次边界条具有齐次边界条件，而另一个关于件，而另一个关于件，而另一个关于件，而另一个关于y y具有齐次边界条件。具有齐次边界条件。具有齐次边界条件。具有齐次边界条件。例例例例9 9 9 9 求解求解求解求解DirichletDirichlet问题问题问题问题第71页，本讲稿共89页 解解解解 令令令令，代入上面方程的齐次形式，可得，代入上面方程的齐次形式，可得，代入上面方程的齐次形式，可得，代入上面方程的齐次形式，可得可得可得
36、可得可得和和和和第72页，本讲稿共89页是是是是的特征值问题，其解为的特征值问题，其解为的特征值问题，其解为的特征值问题，其解为将将将将代入代入代入代入，有，有，有，有该齐次方程有两个线性无关的解该齐次方程有两个线性无关的解该齐次方程有两个线性无关的解该齐次方程有两个线性无关的解，由于，由于，由于，由于第73页，本讲稿共89页也是该齐次方程的两个线性无关的解，所以其通解为也是该齐次方程的两个线性无关的解，所以其通解为也是该齐次方程的两个线性无关的解，所以其通解为也是该齐次方程的两个线性无关的解，所以其通解为由由由由所以所以所以所以第74页，本讲稿共89页所以所以所以所以所以，原方程的解为所以，
37、原方程的解为所以，原方程的解为所以，原方程的解为其中其中其中其中第75页，本讲稿共89页非齐次方程非齐次方程特解法特解法设定设定待求待求拉普拉斯方程拉普拉斯方程例例1010:圆域圆域76第76页，本讲稿共89页边界条件边界条件令令77第77页，本讲稿共89页例例例例11111111：78第78页，本讲稿共89页的联立代数方程的联立代数方程79第79页，本讲稿共89页例例11111111：求下面扇形域上：求下面扇形域上DiriletDiriletDiriletDirilet定解问题定解问题 解解解解 令令，则上式化为，则上式化为令令代入上面方程，并结合边界条件，有代入上面方程，并结合边界条件，有
38、第80页，本讲稿共89页（1 1）便是极坐标方程的特征值问题）便是极坐标方程的特征值问题 求解特征值问题（求解特征值问题（1 1）可得可得代入（代入（2 2），有），有由于求的是有界解，所以有由于求的是有界解，所以有第81页，本讲稿共89页所以有所以有所以有所以有利用边界条件利用边界条件利用边界条件利用边界条件有有有有比较系数有比较系数有比较系数有比较系数有所以所以所以所以 有有有有则则则则第82页，本讲稿共89页例例例例12121212 求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：第83页，本讲稿共89页第84页，本讲稿共89页第85页，本讲稿共89页第86页，本讲稿共89页2.边界条件边界条件
39、 齐次齐次或或周期边界条件？周期边界条件？若否若否:令令u=v+w(x,t)，选，选w,使使 v 满足齐次边界满足齐次边界,转转 3 或或 令令u=v+w(x)，使，使v 满足齐次方程齐次边界满足齐次方程齐次边界,转转 4令令u(x,t)=X(x)T(t),得到得到X(x)、T(t)的常微分方程的常微分方程求求X(x)、T(t)的非零解的非零解求特征值和特征函数求特征值和特征函数将将un(x,t)迭加迭加 由初始条件确定系数由初始条件确定系数Cn,Dn4.齐次方程齐次方程、齐次齐次或或周期边界条件周期边界条件3.非齐次方程非齐次方程、齐次齐次或或周期边界条件周期边界条件对相应齐次方程按对相应齐
40、次方程按 4 之之得得特征函数系特征函数系将所有函数按特征函数系展开将所有函数按特征函数系展开,代入定解问题各式代入定解问题各式解常微分方程初值问题，求出待定函数解常微分方程初值问题，求出待定函数1.适用于各类方程简单区域的混合问题与边值问题适用于各类方程简单区域的混合问题与边值问题 (x,t)坐标系坐标系:0 x 0 直角坐标系直角坐标系:矩形矩形 极坐标系极坐标系:圆、圆环、扇形圆、圆环、扇形 分离变量法求解步骤分离变量法求解步骤本本章章小小结结第87页，本讲稿共89页定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用驻波法非齐次方程，齐次定解条件固有函数法应用分离变量法求解定解问题的步骤第88页，本讲稿共89页 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论1.存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。2.所有特征值均不为负。3.任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。4.特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。第89页，本讲稿共89页