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1、第二章第二章 分离变量法分离变量法本章中心内容 第第2 2章章 分离变量法分离变量法 用分离变量法求解各种有界问题；第二章第二章 分离变量法分离变量法 ,(1)nAxxxR第二章第二章 分离变量法分离变量法nR 1(2)TATD12 ,.,nDdiag 12. nTT TT1212. . nnA T TTT TT D,1(3)iiiATTin 第二章第二章 分离变量法分离变量法nbR.Axb (1)iTin n11,nniiiiiixTbTxbAbx11nniiiiiix ATbT11nniiiiiiixTbT第二章第二章 分离变量法分离变量法 iT1iiixb1niiixTx120, ( )
2、( ( ),( ),.,( ),0.nTnntx t x tx tR txx0( ), (0)(4)tdtdxAxfxx( ) tf(,) ,0.12,.,Ttndtdxx xx( ), ,tx x f (1)iTin 第二章第二章 分离变量法分离变量法011100,( )( )nnniiiiiiiiixxf txT xT f tT011( ),(0),1(5)nniiiiiiiiiidxxf txxindtTT 1niiixxT0, .ACl2( )0, |(0)( )0(6)X xClXX l 第二章第二章 分离变量法分离变量法22dAdx (0)( )0XX l( )X x ( )0X
3、x ( )( )AX xX x( )( )0,0(7)(0)( )0XxX xxlXX l2( )( )( )0Xx X xXx第二章第二章 分离变量法分离变量法200( )( )( )0llXx X x dxXx dx22000( )( )|( )( )0lllX x X xX xdxX x dx2020( )(8)( )llX xdxXx dx第二章第二章 分离变量法分离变量法0( )( )0XxX x12( )X xcc x( )0X x 00( )( )0XxX x12( )cossinX xcxcx120,sin0cclsin0l,1lnn2,1nnnl第二章第二章 分离变量法分离变
4、量法sin,1nnXcx nl2,1nnnlsin,1nnXcx nl第二章第二章 分离变量法分离变量法( , )( , )( , )( , )( , )( , )0AuBuCuDuEuFu 11111( , )( , )( , )( , )( , )0(*)xxyyxyA x y uC x y uD x y uE x y uF x y u( , )( ) ( )u x yX x Y y 对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备具备什么条件什么条件？对于任何对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程二阶线性（齐次）偏微分方程： ：标准形式标准形式( ) (
5、)X x Y y第二章第二章 分离变量法分离变量法11111( , )( , )( , )( , )( , )0A x y X YC x y XYD x y X YE x y XYF x y XY代入标准形式即有代入标准形式即有1. 1. 常系数偏微分方程常系数偏微分方程若（若（* *）的系数均为常数，并分别用小写的）的系数均为常数，并分别用小写的 , , , ,a c d e f代表代表 11111,A C D E F，将方程两边同将方程两边同除以除以XY, , 则则0XYXYacdefXYXYaXdXcYeYfXY 第二章第二章 分离变量法分离变量法1. 1. 常系数偏微分方程常系数偏微分
6、方程若原方程的系数均为常数，并分别用小写的若原方程的系数均为常数，并分别用小写的 , , , ,a c d e f代表代表 11111,A C D E F，将方程两边同将方程两边同除以除以XY, , 则则0XYXYacdefXYXYaXdXcYeYfXY 第二章第二章 分离变量法分离变量法要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x, ,也也不依赖于不依赖于y的常数，记为的常数，记为 ，从而得到两个常微分，从而得到两个常微分方程方程0()0aXdXXcYeYfY对于变系数函数对于变系数函数 111( , ),( , ),( , ),A x y C x y
7、D x y ，假设存在某一个函数，假设存在某一个函数 ( , )0P x y ，使得方程除以使得方程除以( , )P x y后变为可分离的形式后变为可分离的形式第二章第二章 分离变量法分离变量法上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 112233( )( )( )( ) ( )( )0a x XY b y XYa x XY b y XYa xb y XY123123()XXYYaaabbbXXYY ，从而得到两个，从而得到两个123123()0;()0a Xa XaXbYb YbY由以上讨论知道：对于由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方常
8、系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离程，总是能实施变量分离 需要满足一定的条件，即必须找到讨论需要满足一定的条件，即必须找到讨论2 2中适中适当的当的 函数才能实施变量分离函数才能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 ( , )P x y第二章第二章 分离变量法分离变量法第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件( )|,x lu x |, x lux 边界条件可实施变量分离的条件边界条件可实施变量分离的条件一维的情形（设在边界点一维的情形（设在边界点xl处），常见的处），常见的 三类边界条件为三类边界条件为|x luhux第二章第
9、二章 分离变量法分离变量法假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：条件为齐次的： (0, )0, ( , )0utu l t( , )( ) ()u xtX xT t(0) ( ) 0, ( ) ( ) 0XT tX l T t可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时，量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系柱坐标系( , )u x t( )0T t 须
10、须(0)0, ( )0XX l第二章第二章 分离变量法分离变量法例例 1 1 泛定方程：泛定方程：2( , )ttxxua uf x t边界条件：边界条件：0( )tux 0( )ttux 00( , )xu x t0( , )x lu x t初始条件：初始条件：对于确定的频率，解是驻波：对于确定的频率，解是驻波：波腹波腹波节波节2.557.51012.515-1-0.50.51每一点绕平衡位置振动每一点绕平衡位置振动( )T t振幅随位置变化振幅随位置变化( )X x驻波解：驻波解：( , )( ) ( )u x tX x T t这是解的分离变量这是解的分离变量(0,0)xl t182.2.
11、1 2.2.1 齐次边界弦振动方程定解问题齐次边界弦振动方程定解问题第二章第二章 分离变量法分离变量法( ) ( )( , )X x T tu x t2( )( )( )XxT tXa T t2( )( ),( )XxT tXa T t ( )( )0XxX x第二章第二章 分离变量法分离变量法(0, )( , )0,utu l t(0) ( )( ) ( )0XT tX l T t( )T t(0)( )0XX l( )( )0,0(0)( )0XxX xxlXX l2,1;nnnl( )sin,1.nnXxx nl第二章第二章 分离变量法分离变量法1( )nnXx11( )( )sin(2
12、)nnnnnnxXxxl11( )( )sin(3)nnnnnnxXxxl11( , )( )( )( )sin(4)nnnnnnf x tf t X xf txl11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t X xT txl02( )sin()lnnss dsll第二章第二章 分离变量法分离变量法02( )sin()lnnss dsll02( )( , )sin()lnnf tf s ts dsll( )nT t( , )( , )f x tu x t,( )nT t( )nT t11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t X xT
13、txl11( , )( )( )( )sin(4)nnnnnnf x tf t X xf txl第二章第二章 分离变量法分离变量法11( , )( )( )( )sin(4)nnnnnnf x tf t X xf txl11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t XxT txl2( , )ttxxua uf x t2111( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnT t XxaT t Xxf t Xx2111( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnT t XxaT tXxf t Xx211( )( )( )( )( )nnnnnnnnT
14、 taT t Xxf t Xx2( )( )( )nnnnT taT tf t第二章第二章 分离变量法分离变量法11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t XxT txl11( ,0)( )(0)( )sinnnnnnnu xxTXxxl(0),1nnTn11( ,0)( )(0)( )sintnnnnnnu xxTXxxl第二章第二章 分离变量法分离变量法(0),1nnTn11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t XxT txl2( )( )( )(1)(0),(0)nnnnnnnnT taT tf tnTT2( )( )0nnn
15、T taT t121122( )cossinnn an aT tctctc yc yll第二章第二章 分离变量法分离变量法2( )( )( )nnnnT taT tf t211122120012121212( )( )( )ttnnny fy fT tc yc yydydyyyyyyyy1200( )cossincos()sin()( )cos()( )sin()nnnttn an an aT tctcttllln an affn alldtdn an alll112201( )( )sin ()xnT xc yc yfk xdk的通解的通解)(. 42xfyky 第二章第二章 分离变量法分离
16、变量法1200( )cossincos()sin()( )sin()cos()( )nttnnn an aln aT tctcttlln aln aln an afdtfdln all120( )cossin( cos()sin()sin()cos()( )ntnn an alT tctctlln an an an an attfdllll第二章第二章 分离变量法分离变量法120( )cossinsin()( )ntnn an alT tctctlln an atfdl(0),(0)nnnnTT0( )cossinsin()( )nnntnn aln alT tttln aln an atfd
17、l第二章第二章 分离变量法分离变量法11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t XxT txl02( )sin()lnnss dsll01cossinsin()( , )s( )innntnnn aln alttln aln aun atfx tnlxld02( )sin()lnnss dsll第二章第二章 分离变量法分离变量法0101102( , )( )sin()sicos2sinsin(n( )sin()sin)( )sinlnlnntnnnu x tss dsxlllnnss dn atln atn alln atfdn alsxllnxl第二章第二章 分
18、离变量法分离变量法 ）3101012( , )( )sin()sin( )sicosn()s nsii2nlnlnnnu x tss dsxlllnnss dsn atln atn alxll第二章第二章 分离变量法分离变量法002( , )( )sin()( )sin()si2sincosnllnnnnux tss dsssn an attn adsxllllll22,arctan,nnnnnnnDn aNCDCl( , )()ssincionsnnnn an attnux tCDllxl( , )sinsin()nnnnnux tNxtl( , )nux tsinnnNxlnn第二章第二章
19、 分离变量法分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法0 x xl例例 2 2 sin t21sin,0,0(0, )0, ( , )0,( ,0)0,( ,0)0,0ttxxxtua utxl tutu l tu xu xxl22,0.nan( )( )0.0(0)0,( )0XxxxlXX l第二章第二章 分离变量法分离变量法( )( )0,0(0)0,( )0XxxxlXX l2(21)(21),( )cos,122nnnnXxx nll1sin t0( )( )0XxX x12( )cossinX xcxcx1( )nnXx11sin( )( )nnntf t Xx第二章第二章 分离
20、变量法分离变量法021214( )sinsinsinsin2(21)lnnnf ttdtftlln 0( , )( )( )nnnu x tT t Xx2( )( )sinnnnnT taT tft211( )( )sin( )nnnnnnnT taT tftXx2111( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnT t XxaT t Xxf t Xx2111( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnT t XxaT tXxf t Xx第二章第二章 分离变量法分离变量法( ),0nT t n 2( )( )sin,0(0)0,(0)0nnnnnnT taT tft tT
21、T121122( )cossinnnnT tcatcatc yc y211122120012121212( )( )( )ttnnny fy fT tc yc yydydyyyyyyyy1211222100( )( )sin( )sinttnnnnnf yf yT tc yc yydydaa 第二章第二章 分离变量法分离变量法2222( )sinsin()nnnnnnnffT tattaaa 0n 222.na2220.a( )|1nT tn0n 200000( )( )sin,0(0)0,(0)0T tT tft tTT012( )cossinT tctct0i tf e2000( )( )
22、i tT tT tf e第二章第二章 分离变量法分离变量法( )i tT tAte02i tf eA 00( )sincos22f tf tT ttit00( )cos2f tT tt 0012( )cossincos2f tT tctctt0012( )cossincos2f tT tctctt0( , )( )( )nnnu x tT t Xx第二章第二章 分离变量法分离变量法001( , )( )( )( )( )nnnu x tT t XxT t Xx0021sincoscos( )( )222nnnff tttxT t Xxl12( , )( , )u x tux t21( , )(
23、 , )ux tu x t可以证明：是有界的。而在的表达式中，取0a一般来说，就会导致某一些点的振幅随着时间的增大k当 逐渐变大时将趋于无穷大，最终要导致弦线在某一时刻12t,( , )cos( )2kkku x txtl0则中的基本波函数的振幅T断裂。这时就是系统发生共振。而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂。第二章第二章 分离变量法分离变量法( )(10) 1000 xxx)()(),(tTxXtxuTXTX 410TTXX 41010 XX0104 TT0)()0(), 0(tTXtu 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTXtu0)10(X10
24、0, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu第二章第二章 分离变量法分离变量法 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX20 02 XX1010(0)0( )0XABX lAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0(10)sin100XAXB, 3 , 2 , 1,10/nnn100/22nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02 XX第二章第二章 分离变量法分离变量法, 3 , 2 , 1,100/22nnnxnBxX
25、nn10sin)(0104 TT010022 nnTnTtnDtnCTnnn10sin10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )10sin10cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu0 XX0104 TT第二章第二章 分离变量法分离变量法110sin)10sin10cos(nnnxntnDtnCu1000)10(10sin)0 ,(1xxxnCxu
26、nn0sin)0 ,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310) 12(sin) 12(10cos) 12(54nxntnnu100d10sin)10(50001xxnxx)cos1 (5233nn为奇数，为偶数，nnn33540100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu第二章第二章 分离变量法分离变量法弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。第二章第二章 分离变量法分离变量法)()(),(tTxXtxu2X
27、Ta X T21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0,010(0)0,( )0XXxXX l0)0(X( , )( ) ( )0u l tX l T tx( )0X l222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：第二章第二章 分离变量法分离变量法0,0(0)0,( )0XXxlXX l20 02 XX(0)0( )0llXABX lA eB e0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0( )cos0XAX lBl(21
28、)/2 ,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX第二章第二章 分离变量法分离变量法222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu (21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)(
29、 ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0 XX20Ta T第二章第二章 分离变量法分离变量法1(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)( ,0)sin22nnnu xCxxlxl1( ,0)(21)(21)sin022nnu xnanDxtll0nD202(21)(2 )sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 23332(21)ln 2( ,0)( ,0)2 ,0u xu xxlxt初始条件第二章第二章 分离变量法分离变量法
30、222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 若l=1,a=10时的震动。第二章第二章 分离变量法分离变量法)()(),(tTxXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)() 1 (), 1 (0)()0(), 0(tTXtutTXtu0) 1 (, 0)0(XX 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttut
31、utxxutu 解：第二章第二章 分离变量法分离变量法 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX0202 XX(0)0(1)0XABXAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X02xBxAxXsincos)(0sin) 1 (, 0)0(BXAX, 3 , 2 , 1,nnn22nnxnBxXnnsin)(02 XX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu第二章第二章 分离变量法分离变量法, 3 , 2 , 1,22nnnxnBxXnnsin)(0 TT022 n
32、nTnTtnDtnCTnnnsincos11sin)sincos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )sincos(sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0 ,(10sin)0 ,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu第二章第二章 分离变量法分离变量法10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu
33、xtusincos第二章第二章 分离变量法分离变量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu 令带入方程：解：第二章第二章 分离变量法分离变量法 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02xxBe
34、AexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0( BX02xBxAxXsincos)(0sincos)()(, 0)0(lBhlBlhXlXAXhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX第二章第二章 分离变量法分离变量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222, 3 , 2 , 1,n2nnxBxXnnnsin)(02 TaT0
35、22 nnnTaTatDatCTnnnnnsincosnnnTXu 11sinsincosnnnnnnnnxatDatCuuatDatCxBnnnnnnsincossinxatDatCnnnnnsinsincos0 XX02 TaT第二章第二章 分离变量法分离变量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,222221sinsincosnnnnnnxatDatCu0sin)0 ,(1xaDtxunnnn0nD)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sin
36、cosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxxC02dsin第二章第二章 分离变量法分离变量法nmnmxxxnlm00dsinsin0nmnmnmnmll)sin()sin(21nmnmnmnmnmnmllllllsincoscossinsincoscossin21llllnmnnmmnmnmcossinsincos)(1mmnnnmnmnmnmlllltantancoscos1)(10 xxxlnmnmd)cos()cos(210hl/tan第二章第二章 分离变量法分离变量法( , )( , )( , )v x tu x tx t2.2.2
37、2.2.2 热传导方程定解问题热传导方程定解问题20,0,0(0, ),( , )sin,0( ,0)0,0txxxua uxl tutu u l tt tu xxl0( , )sinx tuxt20cos,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0),0txxxva vxtxl tvtv l ttv xuxl 第二章第二章 分离变量法分离变量法( ) ( )( , )X x T tu x t( )( )0,0(0)0,( )0XxX xxlXX l2(21)(21),( )sin,022nnnnXxx nll0( , )cos, ( )f x txtxu 0( )nnXx0cos( )(
38、)nnnxtf t Xx02(21)( )(cos) sincos2lnnnf ttdftll 第二章第二章 分离变量法分离变量法122( 1)8(12 )nnlfn00nnnuX00042(21)()sin2(12 )lnunudlln 0( , )( )( )nnnv x tT t Xx20cos,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0),0txxxva vxtxl tvtv l ttv xuxl 第二章第二章 分离变量法分离变量法2( )( )cosnnnnT taT tft211( )( )cos( )nnnnnnnT taT tftXx2111( )( )( )( )cos(
39、)nnnnnnnnnT t XxaT t XxftXx2111( )( )( )( )cos( )nnnnnnnnnnT t XxaT tXxftXx000( )(0)( )(0)( )nnnnnnxuTXxXx 第二章第二章 分离变量法分离变量法2( )( )cos,0(0)nnnnnnT taT tft tT2( )natnT tCe( )cossinnT tAtBt22222( )cossinnnnnnnaffT tttaa222222( )cossinnatnnnnnnaffT tCettaa(0)nnT第二章第二章 分离变量法分离变量法222222222( )()cossinnatn
40、nnnnnnnnnafaffT tettaaa2022222222021( , )( )sin221()cossin)sin2nnnatnnnnnnnnnnnv x tT txlafaffnettxaaal( , )( , )( , )u x tv x tx t第二章第二章 分离变量法分离变量法22222220022()cos( , )21sin)sinsin2natnnnnnnnnnnafafetaau x tfntxuxtal第二章第二章 分离变量法分离变量法： 细杆热传导。初始均匀温度为细杆热传导。初始均匀温度为 ，保持一端温度不，保持一端温度不变，另一端有恒定热流变，另一端有恒定热流
41、流入。流入。0u0q0lx0q0u0u2220uuatx00( , )xu x tu第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件0( , )/xx lux tqK非齐次非齐次( (不为零不为零) )边界条件边界条件, , 无法直接根据边界条件确定本征函数无法直接根据边界条件确定本征函数解解齐次边界条件的齐次边界条件的通解通解非齐次边界条件的非齐次边界条件的特解特解非齐次边界条件的特解：非齐次边界条件的特解：00( , )qv x tuxK齐次边界条件的通解齐次边界条件的通解: :( , )w x t( , )( , )( , )u x tw x tv x t2200()txxtxx
42、wa wva v20txxva v00( , )vtu000( , )( , )( , )qqw l tu l tv l tKK000000( , )( , )( , )wtutvtuu00tuu0( , )xqvl tK67第二章第二章 分离变量法分离变量法0000000()tttqqwuvuuxxKK 初始条件初始条件: :分离变量分离变量: :( , )( ) ( )w x tX x T t20XTa XT00( ) ( )XT t 0( ) ( )Xl T t 20Ta T 0XX 00( )X和和0( )Xl 212()( )sinkxX xCl 0 1 2 3, , ,k 2222
43、120();kaTTl 222212()( )exp;ka tT tCl 222201122()()( , )expsin;kkka tkxw x tCll200000 0 ,txxxxx ltwa wwwqwxK68第二章第二章 分离变量法分离变量法00120()( , )sin;kkkxqw xCxlK 00122()sinlkkqCdlKl0014221()cos()lkqdKkl 0000442121212212()()coscos()()llqqkkdKklKkl 0220821212()sin()lq lkdKkl 0022821212()sin()lq lkKkl 1022812
44、1()()kq lKk 122200022208121212142()()()( , )expsin;()kkqq lka tkxu x tuxKKkll “和和”是迅速衰减的部分。近似：只保留是迅速衰减的部分。近似：只保留 k=0 项。项。2200022842( , )expsin.qq la txu x tuxKKll 69第二章第二章 分离变量法分离变量法泛定方程泛定方程边界条件边界条件本征值问题本征值问题本征值本征值本征函数本征函数0|00lxxxxxx222lk k=1,2,3k=1,2,3 0|00lxxxxxx21()2kl 0|00lxxxxxx21()2kl k=0,1,2,
45、3 0|00lxxxxxx222lk70k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第二章第二章 分离变量法分离变量法1212( , ),( , )( ), ( , )( ),( , )( ), ( , )( ),xxyyuuf x y axb cydu a yg y u b ygy cydu x cf x u x dfx axb12( )( )0f xfx12( )( )0g ygy2.2.3 2.2.3 平面上位势方程定解问题平面上位势方程定解问题0,02,01(0, )0, (2, )0,01( ,0)1, ( ,1)(1),02xxyyuuxyuyuyyu xu xx xx第二章第二章 分
46、离变量法分离变量法( , )( ) ( )u x yX x Y y( ) ( )( )( )0Xx Y yX x Yy( )( )( )( )XxYyX xY y ( )( )0,02(0)0,(2)0XxX xxXX( )( )0YyY y第二章第二章 分离变量法分离变量法( )( )( )( )XxYyX xY y 2,sin,122nnnnXx n2,12nnn( )( )0YyY y( )( )0nYyY y22,nnyyee2222,2222nnnnyyyyneeneeshychy第二章第二章 分离变量法分离变量法2222,2222nnnnyyyyneeneeshychy( )22n
47、nnnnYyc shyd chy111( ,0)(0)( )( )nnnnnnu xYXxd Xx11(1)( ,1)(1)( )()( )22nnnnnnnnnx xu xYXxc shd chXx2022(1 ( 1) )1 sin22nnnddn 2022332(1)sin222216( 1)16( 1) 4nnnnnnnc shd chdnn 第二章第二章 分离变量法分离变量法223316( 1)16( 1) 42(1 ( ) )222nnnnnchncnnnnshsh 1( , )()sin222nnnnnnu x yc shyd chyx2022(1 ( 1) )1 sin22nn
48、nddn 223316( 1)16( 1) 42(1 ( ) )222nnnnnchncnnnnshsh 第二章第二章 分离变量法分离变量法22()uab xy ( , , )uf x y z 非齐次方程非齐次方程特解法特解法( , , )( , , )( , , )u x y zv x y zw x y z设定设定待求待求( , , )0w x y z拉普拉斯方程拉普拉斯方程例例1010: :( , , )( , , )v x y zf x y z0uc 0圆域圆域22222211cos2uuuab 76第二章第二章 分离变量法分离变量法2244242412412ababv x yxyxy(
49、 , )()()cos0( , )w x y02400cos2412abwc 001( , )ln()(cossin)mmmmmmmwCDCDAmBm 0001(cossin)mmmmwCAmBm 2400cos2412abc2004aCc 01( , )(cossin)mmmmwCAmBm 边界条件边界条件22012bA 22()vab xy 令令22200( , )cos2412abwc 77第二章第二章 分离变量法分离变量法2xxyyuu 00 xu：0 x au00yu0y bu( , )()v x yx ax2xxyyvv 0 xxyyww00 xw0 x aw0()ywx xa()
50、y bwx xa1( , )expexpsinnnnn yn yn xw x yABaaa01sin()ynnnn xwABx xaa 1expexpsin()y bnnnn bn bn xwABx xaaaa1()sinnnn xx xaCa 78第二章第二章 分离变量法分离变量法,nnA B的联立代数方程的联立代数方程1()sinnnn xx xaCa nnnABCexpexpnnnn bn bABCaa2233330248()sin( 1)1(21) annn xaaCx xadxaank 1 exp()exp()exp()nnn baACn bn baa nnnBCA1 exp()ex