数学物理方程2分离变量法.pptx

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1、 分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本特征值问题微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本特征值问题 2.1 特征值问题 2.1.1 矩阵的特征值问题 矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题 设设A A为一为一n n阶实矩阵，其特征值满足阶实矩阵，其特征值满足一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于n n个。任意个。任意n n阶矩阵阶

2、矩阵都有都有n n个线性无关的广义特征向量，以此个线性无关的广义特征向量，以此n n个线性无关的广义特征向个线性无关的广义特征向第第1 1页页/共共8989页页 量作为量作为的一个新基，矩阵就能够化为的一个新基，矩阵就能够化为 约当标准型。约当标准型。实对称矩阵对角化实对称矩阵对角化 若若A A为一为一n n阶实对称矩阵，存在正交阵阶实对称矩阵，存在正交阵T T使得使得其中其中为实对角阵。设为实对角阵。设则（则（2 2）可以有如下形式）可以有如下形式或或可以看出，可以看出，正交阵正交阵T T的每一列都是实对称阵的每一列都是实对称阵A A的特征向量，并且这的特征向量，并且这n nn n个特征向量

3、是个特征向量是 相互正交的。相互正交的。定理1 n n阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。第第2 2页页/共共8989页页 特征值问题做线性问题求解中具有重要意义，特征值问题做线性问题求解中具有重要意义，下面举例说明。下面举例说明。为简化问题，下面例子中，假设为简化问题，下面例子中，假设A A为为n n阶非奇异阵，且有阶非奇异阵，且有n n个线性无关的向量。个线性无关的向量。例1 设设，求解线性方程组，求解线性方程组 解解 A A的的n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量可以作为可以作为的一个基。将的一个基。将x x，b b按此基展开为按

4、此基展开为，则，则等价于等价于或或第第3 3页页/共共8989页页由于由于线性无关，比较系数有线性无关，比较系数有则则为原问题的解。为原问题的解。例2 设设求解非齐次常微分方程组求解非齐次常微分方程组其中其中为已知向量函数，为已知向量函数，解解 和例和例1 1相似相似 ，将，将按基按基分别展分别展开开第第4 4页页/共共8989页页则（则（4 4）等价于）等价于化为化为n n个一阶线性方程组的初始值问题，最后再带回个一阶线性方程组的初始值问题，最后再带回 2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题 实对称矩阵实对称矩阵A A换为二阶微分算子换为二阶微分算子A A，一般取一般取第第5 5页页/

5、共共8989页页 下面讨论二阶线性微分算子下面讨论二阶线性微分算子的特征值问题。边界条件的特征值问题。边界条件，设，设是是A A的特征函数，即的特征函数，即且满足且满足等价于等价于对此特征值问题求解。对此特征值问题求解。首先证明首先证明 非负。非负。因为因为第第6 6页页/共共8989页页积分得积分得第一项分部积分，第一项分部积分，得得故有故有第第7 7页页/共共8989页页当当时，方程时，方程的通解为的通解为，利用边界条件可得，利用边界条件可得因此，因此，不是特征值。不是特征值。当当时，方程时，方程的通解为的通解为利用边界条件，确定常数利用边界条件，确定常数即有即有所以所以第第8 8页页/共

6、共8989页页所以，可得所以，可得故，特征值问题（故，特征值问题（7 7）的解为）的解为第第9 9页页/共共8989页页 2.2 分离变量法 对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备具备什么条件什么条件？对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程通过适当的自变量变换转化为下列通过适当的自变量变换转化为下列标准形式标准形式：假设假设：标准形式的解有下列分离的形式的解有下列分离的形式 其中其中分别是单个变量的分别是单个变量的二次可微二次可微函数。函数。第第1010页页/共共8989页页代入标准形式即有讨论:1.常系数偏微分方程若（*）的系数均为常数，并分别用小写

7、的 代表，将方程两边同除以XY,则第第1111页页/共共8989页页1.1.常系数偏微分方程常系数偏微分方程讨论:若原方程的系数均为常数，并分别用小写的 代表，将方程两边同除以XY,则第第1212页页/共共8989页页要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于也不依赖于y的常数，记为的常数，记为 ，从而得到两个常，从而得到两个常微分方程微分方程2.2.变系数偏微分方程变系数偏微分方程对于变系数函数，假设存在某一个函数，使得方程除以后变为可分离的形式第第1313页页/共共8989页页上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记上式要恒成立，只有它

8、们均等于同一个常数，记为为 ，从而得到两个常微分方程常微分方程由以上讨论知道：对于由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离次方程，总是能实施变量分离 需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的 函数才能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 第第1414页页/共共8989页页第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件 边界条件可实施变量分离的条件一维的情形（设在边界点处），常见的 三类边界条件为第三类边界条件第三类边界条件第第1515页页/共共8989页页假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边假设具体定解问题（以弦的横振动为例

9、）的边界界条件为齐次的：条件为齐次的：可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系求定解问题的不恒等于零的解求定解问题的不恒等于零的解须因此得因此得第第1616页页/共共8989页页例 1 求解两端固定弦振动方程的混合问题求解两端固定弦振动方程的混合问题泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：对于确定的频率，解是驻波：对于确定的频率，解是驻波：波腹波腹波节波节每一点绕平衡位置振动每一点绕平衡位置振动振幅随位置变化振幅随位置变化驻波解：驻波解：这是解的分离变量这是解的分离变量172.

10、2.1 2.2.1 齐次边界弦振动方程定解问题齐次边界弦振动方程定解问题第第1717页页/共共8989页页解解 分四步求解分四步求解第一步第一步 分离变量，求解特征值问题。分离变量，求解特征值问题。即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该问题的特征值问题并求解。该问题的特征值问题并求解。令令，带入到对应的齐次方程中得到，带入到对应的齐次方程中得到或或左右只能为常数，记为左右只能为常数，记为，则有，则有由第一个方程可得由第一个方程可得第第1818页页/共共8989页页 由齐次边界条件由齐次边界条件 即即又又不恒等于不恒等于0 0，可得，可得第

11、一个问题可以化为第一个问题可以化为其解为其解为特征值特征值特征函数特征函数第第1919页页/共共8989页页 第二步第二步 正交分解过程。正交分解过程。即即 将初始条件函数，自由项以及将初始条件函数，自由项以及u(x,t)u(x,t)用特征函数系用特征函数系表出。表出。这里这里第第2020页页/共共8989页页而而下面来求。下面来求。第三步第三步 待定系数法。待定系数法。即即 先将先将的级数带入原方程中，导出关于的级数带入原方程中，导出关于满足的满足的的常微分方程。再利用初值条件求的常微分方程。再利用初值条件求的初始条件。的初始条件。假设假设可逐项求导，并将可逐项求导，并将第第2121页页/共

12、共8989页页带入泛定方程带入泛定方程中，可得中，可得即即比较系数有比较系数有第第2222页页/共共8989页页 由由令令t=0t=0，有，有比较系数，有比较系数，有同理同理比较系数，有比较系数，有第第2323页页/共共8989页页所以有所以有 第四步第四步 求解上面的定解问题，结果代入求解上面的定解问题，结果代入对齐次方程对齐次方程其通解为其通解为第第2424页页/共共8989页页 对应的非齐次方程对应的非齐次方程 利用常数变易法，其解具有这样的形式利用常数变易法，其解具有这样的形式第第2525页页/共共8989页页第第2626页页/共共8989页页由初始条件由初始条件代入上面的式子，可得代

13、入上面的式子，可得第第2727页页/共共8989页页 代入代入可得可得又又第第2828页页/共共8989页页所以所以第第2929页页/共共8989页页（4 4）有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）注注1 1 分离变量法概要：分离变量法概要：（1 1）将齐次偏微分方程分为若干常微分方程）将齐次偏微分方程分为若干常微分方程（2 2）参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题）参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题（3 3）将特征解叠加无穷级数，给出通解）将特征解叠加无穷级数，给出通解30注注2 2 对齐次问题对齐次问题第第3030页页/共共8989页页记记令

14、令则简谐波则简谐波在弦上固定一点在弦上固定一点x x，则，则表述了一个振幅为表述了一个振幅为，频率，频率为为，初相位为，初相位为的简谐振动。就整个弦来说，这个简谐波有的简谐振动。就整个弦来说，这个简谐波有第第3131页页/共共8989页页如下的显著特点：如下的显著特点：第第3232页页/共共8989页页例 2 设有一均匀细弦，其线密度为设有一均匀细弦，其线密度为，若，若端为自由端，端为自由端，端固定。初始速度和初端固定。初始速度和初始位移都为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受始位移都为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为外力为 。求此弦的振动。求此弦的振动。解解 所

15、求问题为所求问题为利用特征函数法求解该问题。利用特征函数法求解该问题。情形情形1 1 非共振问题，即非共振问题，即 该定解问题的特征值问题为该定解问题的特征值问题为第第3333页页/共共8989页页 当当时，方程时，方程的通解为的通解为利用初始条件，求的其解为利用初始条件，求的其解为将将按特征函数按特征函数展开成傅里叶级数，即展开成傅里叶级数，即第第3434页页/共共8989页页令令则有则有比较系数有比较系数有第第3535页页/共共8989页页得得满足满足得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为得其齐次方程的通解为留给同学们计算。留给同学们计算。第第3636页页/共共898

16、9页页 情形情形2 2 共振问题，即存在共振问题，即存在使得使得不妨假设不妨假设此时，在情形此时，在情形1 1中求解所得到的中求解所得到的不不变。当变。当时，要求解以下问题时，要求解以下问题其齐次方程通解为其齐次方程通解为要求原方程的一个特解，需要将自由项换为要求原方程的一个特解，需要将自由项换为，而求以下问题，而求以下问题的一个特解的一个特解第第3737页页/共共8989页页令令并带入到上面的非齐次方并带入到上面的非齐次方程，可得程，可得，所以有，所以有取其虚部为原方程的一个特解取其虚部为原方程的一个特解 所以，原方程的通解为所以，原方程的通解为由初始条件确定，可得由初始条件确定，可得代入代

17、入第第3838页页/共共8989页页第第3939页页/共共8989页页例例3 3设有一根长为设有一根长为1010个单位的弦，两端固定，初速为零，初位个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。，求弦作微小横向振动时的位移。解：解：第第4040页页/共共8989页页第第4141页页/共共8989页页第第4242页页/共共8989页页第第4343页页/共共8989页页弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。第第4444页页/共共8989页页解：例例4 4 求下列定解问题求下列定解问题第第4545页页/共共8989页页第第4646页页/

18、共共8989页页第第4747页页/共共8989页页初始条件第第4848页页/共共8989页页若l=1,a=10时的震动。第第4949页页/共共8989页页例例5 5 求下列定解问题求下列定解问题解：第第5050页页/共共8989页页第第5151页页/共共8989页页第第5252页页/共共8989页页第第5353页页/共共8989页页例例6 6 求下列定解问题求下列定解问题令带入方程：解：第第5454页页/共共8989页页第第5555页页/共共8989页页第第5656页页/共共8989页页第第5757页页/共共8989页页第第5858页页/共共8989页页2.2.2 2.2.2 热传导方程定解问

19、题热传导方程定解问题例例7 7 求解下面的热传导方程定解问题求解下面的热传导方程定解问题 解解 利用特征函数法求解利用特征函数法求解 首先将边界条件齐次化，取首先将边界条件齐次化，取记记，则原方程转化为，则原方程转化为第第5959页页/共共8989页页 利用变量分离法，解上面的方程利用变量分离法，解上面的方程令令 可得特征值问题可得特征值问题特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为将将分别按分别按展开成傅里叶展开成傅里叶级数级数第第6060页页/共共8989页页其中其中又又其中其中令令代入代入第第6161页页/共共8989页页可得可得所以所以又因为又因为t=0t=0时有时有第第6262页页

20、/共共8989页页所以，有所以，有此方程为一阶常微分方程初值问题，其齐次方程通解为此方程为一阶常微分方程初值问题，其齐次方程通解为令令，代入上面方程，确定系数得，代入上面方程，确定系数得方程通解为方程通解为用初值条件用初值条件，可得，可得第第6363页页/共共8989页页则有则有又由又由第第6464页页/共共8989页页则则第第6565页页/共共8989页页例例8 8：细杆热传导。初始均匀温度为细杆热传导。初始均匀温度为 ，保持一端温度不，保持一端温度不变，另一端有恒定热流变，另一端有恒定热流 流入。流入。第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件非齐次非齐次(不为零不为零)边界

21、条件边界条件,无法直接根据边界条件确定本征函数无法直接根据边界条件确定本征函数解解齐次边界条件的齐次边界条件的通解通解非齐次边界条件的非齐次边界条件的特解特解非齐次边界条件的特解：非齐次边界条件的特解：齐次边界条件的通解齐次边界条件的通解:66第第6666页页/共共8989页页初始条件初始条件:分离变量分离变量:和和67第第6767页页/共共8989页页“和和”是迅速衰减的部分。近似：只保留是迅速衰减的部分。近似：只保留 k=0 项。项。68第第6868页页/共共8989页页泛定方程泛定方程边界条件边界条件本征值问题本征值问题本征值本征值本征函数本征函数 k=1,2,3 k=0,1,2,3 6

22、9k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第第6969页页/共共8989页页2.2.3 2.2.3 平面上位势方程定解问题平面上位势方程定解问题 考虑矩形区域上的考虑矩形区域上的PoissonPoisson方程边值问题方程边值问题假设假设或或。否则，利用边界条件齐。否则，利用边界条件齐次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件。当然，也可以利用叠次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件。当然，也可以利用叠加原理将此问题分解为两个问题，其中一个关于加原理将此问题分解为两个问题，其中一个关于x x具有齐次边界条具有齐次边界条件，而另一个关于件，而另一个关于y y具有齐次边界条件。具有齐次边界条件。例例9

23、 9 求解求解DirichletDirichlet问题问题第第7070页页/共共8989页页 解解 令令，代入上面方程的齐次形式，可得，代入上面方程的齐次形式，可得可得可得和和第第7171页页/共共8989页页是是的特征值问题，其解为的特征值问题，其解为将将代入代入，有，有该齐次方程有两个线性无关的解该齐次方程有两个线性无关的解，由于，由于第第7272页页/共共8989页页也是该齐次方程的两个线性无关的解，所以其通解为也是该齐次方程的两个线性无关的解，所以其通解为由由所以所以第第7373页页/共共8989页页所以所以所以，原方程的解为所以，原方程的解为其中其中第第7474页页/共共8989页页

24、非齐次方程非齐次方程特解法特解法设定设定待求待求拉普拉斯方程拉普拉斯方程例例1010:圆域圆域75第第7575页页/共共8989页页边界条件边界条件令76第第7676页页/共共8989页页例例1111：77第第7777页页/共共8989页页的联立代数方程的联立代数方程78第第7878页页/共共8989页页例例1111：求下面扇形域上DiriletDirilet定解问题 解解 令，则上式化为，则上式化为令令代入上面方程，并结合边界条件，有代入上面方程，并结合边界条件，有第第7979页页/共共8989页页（1 1）便是极坐标方程的特征值问题）便是极坐标方程的特征值问题 求解特征值问题（求解特征值问

25、题（1 1）可得可得代入（代入（2 2），有），有由于求的是有界解，所以有由于求的是有界解，所以有第第8080页页/共共8989页页所以有所以有利用边界条件利用边界条件有有比较系数有比较系数有所以所以 有有则则第第8181页页/共共8989页页例例1212 求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：第第8282页页/共共8989页页第第8383页页/共共8989页页第第8484页页/共共8989页页第第8585页页/共共8989页页2.边界条件 齐次或周期边界条件？若否:令u=v+w(x,t)，选w,使 v 满足齐次边界,转 3 或 令u=v+w(x)，使v 满足齐次方程齐次边界,转 4令u(x

26、,t)=X(x)T(t),得到X(x)、T(t)的常微分方程求X(x)、T(t)的非零解求特征值和特征函数将un(x,t)迭加 由初始条件确定系数Cn,Dn4.齐次方程、齐次或周期边界条件3.非齐次方程、齐次或周期边界条件对相应齐次方程按 4 之得特征函数系将所有函数按特征函数系展开,代入定解问题各式解常微分方程初值问题，求出待定函数1.适用于各类方程简单区域的混合问题与边值问题 (x,t)坐标系:0 x 0 直角坐标系:矩形 极坐标系:圆、圆环、扇形 分离变量法求解步骤本章小结第第8686页页/共共8989页页定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用驻波法非齐次方程，齐次定解条件固有函数法应用分离变量法求解定解问题的步骤第第8787页页/共共8989页页 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论1.存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。2.所有特征值均不为负。3.任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。4.特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。第第8888页页/共共8989页页感谢您的观看。第第8989页页/共共8989页页