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1、第四章第四章根轨迹分析法根轨迹分析法系统闭环特征方程的系统闭环特征方程的根的位置根的位置决定闭环系统的决定闭环系统的稳定性稳定性和和动态特性。动态特性。l l研究研究调节器参数调节器参数与与闭环特征根闭环特征根的变化关系，的变化关系，设设计计调节器调节器（设计问题）。（设计问题）。l l研究闭环特征研究闭环特征根的分布与根的分布与闭环系统的闭环系统的动态特性动态特性之间的定性、定量关系（分析问题）；之间的定性、定量关系（分析问题）；l l根据控制系统根据控制系统动态特性要求动态特性要求决定闭环极点决定闭环极点在根在根平平面的位置面的位置；伊凡思伊凡思(W.R.Evans)创立根轨迹法（创立根轨
2、迹法（1948）几何图解求解特征根几何图解求解特征根l l系统中某一参数在全部范围内（系统中某一参数在全部范围内（0）变化时，）变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。系统闭环特征根随之变化的轨迹。l l可以推广到其它参数的变化可以推广到其它参数的变化广义根轨迹广义根轨迹。l l可用于单变量系统和多变量系统。可用于单变量系统和多变量系统。l l常规根轨迹常规根轨迹法以开环增益法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。做为参数画出根轨迹的。l l利用这些在利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环平面上形成的轨迹分析和设计闭环控控制系统。制系统。本章主要内容本章主要内容q以以K为变量的为变量的常规根轨迹
3、常规根轨迹的绘制方法的绘制方法q以其它参数为变量的以其它参数为变量的广义根轨迹广义根轨迹的绘制方法的绘制方法q根轨迹分析方法的根轨迹分析方法的应用应用利用根轨迹分析和设计控制系统利用根轨迹分析和设计控制系统4.1根轨迹的概念根轨迹的概念定义：定义：根轨迹根轨迹系统中某一参数在全部范围内变化时，系统中某一参数在全部范围内变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。系统闭环特征根随之变化的轨迹。1根轨迹举例根轨迹举例例例4-1二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。K开环传递函数：开环传递函数：分析分析：有有2个开环极点个开环极点没有开环零点。没有开环零点。闭环特征方
4、程闭环特征方程求出求出2个闭环特征根：个闭环特征根：（4-1-1）闭环特征根是闭环特征根是K的函数。当的函数。当K从从0变化，变化，闭环特征根在根平面上形成根轨迹。闭环特征根在根平面上形成根轨迹。闭环传递函数：闭环传递函数：K取不同值：取不同值：（等于两个开环极点）（等于两个开环极点）ImRe0(两根重合于两根重合于0.5处处)（即（即0K1/4，两根为实根）两根为实根）1 0.5(两根为共轭复数根，其实部为两根为共轭复数根，其实部为0.5)总结：总结：q有两个闭环极点，有有两个闭环极点，有2条根轨迹。条根轨迹。q根轨迹是从根轨迹是从开环极点开环极点出发点。出发点。q通过选择增益通过选择增益K
5、，可使闭环极点落可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上。在根轨迹的任何位置上。q如果根轨迹上某一点满足动态特如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的性要求，可以计算该点的K值实现值实现设计要求。设计要求。ImRe010.5 这是个？阶系统，这是个？阶系统，2q根轨迹上的点与根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。值一一对应。根轨迹是连续的。例例4-2对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数的阻尼系数=0.5，确定系统闭环特征根。确定系统闭环特征根。根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。解：解：阻尼角阻
6、尼角计算如下：计算如下：ImRe01 0.5q阻尼系数为阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的时的射线与根轨迹交点处的K值可值可以计算出来。以计算出来。q与（与（4-1-1）式比较得：）式比较得：即即K=1。（4-1-1）获得系统的根轨迹有两个方法：获得系统的根轨迹有两个方法：q图解法：利用图解法：利用Evans总结的总结的规律画出根轨迹。规律画出根轨迹。近似、简单，尤其适合高阶系统近似、简单，尤其适合高阶系统q解析法：对闭环特征方程解解析法：对闭环特征方程解析求解，逐点描绘。析求解，逐点描绘。精确，工作量大精确，工作量大ImRe01 0.54.2根轨迹绘制的基本规则根轨迹绘制的基本规则1、
7、根轨迹的基本关系式、根轨迹的基本关系式典型的反馈控制系统如图典型的反馈控制系统如图:G(s)H(s)其其开环传递函数：开环传递函数：（4-2-1）其中：其中：K:开环增益，开环增益，开环零点，开环零点，开环极点。开环极点。闭环传递函数：闭环传递函数：闭环特征方程为：闭环特征方程为：它们满足：它们满足：G(s)H(s)G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：是复数，在复平面上对应一个矢量：-1绘制根轨迹必须满足的基本条件：绘制根轨迹必须满足的基本条件：（相角公式：积的相角等于相角的和，（相角公式：积的相角等于相角的和，商的相角等于相角的差）商的相角等于相角的差）幅值条件幅值条件相角条件相
8、角条件（积的模等于模的积，商的模等于模的商）（积的模等于模的积，商的模等于模的商）注意：注意：1.这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的所有满足以上两式的s值值都是系统的都是系统的特征根特征根，把它们在，把它们在s平面上画出，就构成了平面上画出，就构成了根轨迹根轨迹。2.观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根轨根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。迹是利用开环零极点求出闭环极点。画法：画法：1.利用相角条件，找出所有满足相角条件的利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连值，连成根轨迹。成根
9、轨迹。2.确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值。值。相角条件相角条件幅值条件幅值条件例例4-3 某系统开环传递函数某系统开环传递函数分析：分析：在在s平面上，平面上，表示零点，表示零点，表示极点。表示极点。2个开环极点个开环极点p1和和p2。设设s是系统的一个闭环特征根，是系统的一个闭环特征根，相角条件：相角条件：可以通过幅值条件，求出此可以通过幅值条件，求出此s值下的值下的K值值:s则它必须满足：则它必须满足：一个开环零点一个开环零点z1，2、绘制根轨迹的基本规则、绘制根轨迹的基本规则例例4-4要求画出根轨迹。要求画出根轨迹。某单位反馈系统
10、某单位反馈系统分析：分析：1个开环零点，个开环零点，3个开环极点，个开环极点，0-5-2-10规则一、规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。闭环系统的阶次为闭环系统的阶次为3，有，有3条根轨迹条根轨迹。闭环极点数闭环极点数=闭环特征方程的阶次闭环特征方程的阶次=开环传递函数的阶次开环传递函数的阶次=开环极点数开环极点数例中，例中，规则二、规则二、根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。极点，终止于开环零点或无穷远点。根轨迹是根轨迹是K从从0时的根变化轨迹，因此必须时的根
11、变化轨迹，因此必须起于起于K=0处，止于处，止于K=处处。观察幅值条件：观察幅值条件：如果如果nm,m条根轨迹趋向开环的条根轨迹趋向开环的m个零点，而个零点，而另另n-m条根轨迹趋向无穷远处。条根轨迹趋向无穷远处。对于例题，对于例题，3条根轨迹始于条根轨迹始于3个开环极点，一条止个开环极点，一条止于开环零点，另两条（于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。趋于无穷远处。规则三、规则三、根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴。续的，且对称于实轴。证明：（证明：（1）连续性）连续性从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化从代数方程的性质
12、可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的。续的。证明：（证明：（2）对称性）对称性因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。*规则四、规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。例如系统的开环零、极点分布如图。例如系统的开环零、极点分布如图。0125要判断要判断和和之间的线段是否存之间的线段是否存在根
13、轨迹，取实验点在根轨迹，取实验点q开环共轭极点和零点提供的相角开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的的相角由实轴上的开环零极点决定。开环零极点决定。q处在处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均左边的开环零极点提供的角度均为零，为零，相角条件由其右边的零极点决定。相角条件由其右边的零极点决定。q奇数个奇数个，无论如何加减组合，总能使无论如何加减组合，总能使（2k1)(k=0,1,2,)成立。成立。对于例题，对于例题，在实轴上的根轨迹：在实轴上的根轨迹：0125一条始于开环极点，止于开环零点，一条始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处。
14、另两条始于开环极点，止于无穷远处。规则四、规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。渐近线：根轨迹有渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。条渐进线。渐近线与实轴的夹角为：渐近线与实轴的夹角为：渐近线与实轴的交点为：渐近线与实轴的交点为：l l它们是针对它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l l如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状规则五、规则五、证明：证明：见图见图4-5
15、。对于位于根轨迹上某一动点对于位于根轨迹上某一动点s0，从各开环零极点到这一点的向从各开环零极点到这一点的向量的相角随量的相角随s0轨迹的变化而变化，轨迹的变化而变化，当当s0到达无穷远处，各相角相等，到达无穷远处，各相角相等，令其为令其为，可写成：可写成：进而求出渐近线夹角：进而求出渐近线夹角：图图450125由对称性知，由对称性知，渐近线一定交于实轴上，其交点实际渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。上相当于零极点的质量重心。按照重心的求法，可求知交点的坐标按照重心的求法，可求知交点的坐标对例对例4-4，交点坐标为：交点坐标为：即（即（1，j0）。）。渐近线与实轴夹角为
16、：渐近线与实轴夹角为：10125规则六、规则六、当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根轨迹进入轨迹进入(离开离开)分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角性质性质:(重点讨论重点讨论实轴实轴上的分离点）上的分离点）q在此点上必出现在此点上必出现重根重根。q利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴上两相邻开环极点间时，必有一上两相邻开环极点间时，必有一分离点分离点。q若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷远处）时，必有
17、一远处）时，必有一分离点分离点。q根轨迹在该点上对应的根轨迹在该点上对应的K是这段实轴区域的极值。是这段实轴区域的极值。第一分离点：最大值，第二分离点：最小值。第一分离点：最大值，第二分离点：最小值。K=0K=0K=K=分分离离点点分分离离点点根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式的解。分离角的解。分离角l是重根数是重根数。由求极值的公式求出：由求极值的公式求出：它们可以利用它们可以利用代数重根法代数重根法或或极值法极值法求出。求出。(介绍后者介绍后者)在实轴根轨迹上，求使在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的达到最大（最小）值的s值值:注意：注意：求出结果，
18、需经判断，保留合理解。求出结果，需经判断，保留合理解。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。在例题在例题4-4中，中，解出：解出：对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（标为（-0.447,j0）处。处。012510.447求出分离角为求出分离角为:规则七、规则七、根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的K值值利用劳斯判据求出。利用劳斯判据求出。根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。出现虚根。在例在例4-4中
19、，系统闭环特征方程式为：中，系统闭环特征方程式为：即：即：劳劳斯斯行行列列式式q当当6-2K=0时，特征方程出现共时，特征方程出现共轭虚根，求出轭虚根，求出K3。q虚根可利用虚根可利用s2行的辅助方程求出：行的辅助方程求出：与虚轴的交点与虚轴的交点与虚轴的交点为与虚轴的交点为例例4-4的根轨迹如图。的根轨迹如图。01251K=.084.4471、画出开环零极点、画出开环零极点2、确定根轨迹根数、确定根轨迹根数3、画出实轴上的根轨迹、画出实轴上的根轨迹4、求渐进线（、求渐进线（nm）5、求分离点、求分离点6、求与虚轴交点、求与虚轴交点7、画出根轨迹、画出根轨迹 8、求出特殊点对应的、求出特殊点对
20、应的K值值K值由根轨迹幅值条件求出：值由根轨迹幅值条件求出：如分离点（如分离点（-0.447,j0）处的处的K值：值：规则八、规则八、根轨迹的起始角：根轨迹的起始角：在开环复数在开环复数极点极点px处，根轨迹的处，根轨迹的起始角起始角为：为：在开环复数在开环复数零点零点zy处，根轨迹的处，根轨迹的终止角终止角为：为：若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。证明：证明：设一系统的开环零、极点分布如图所示，设一系统的开环零、极点分布如图所示，点为从点为从出发的
21、根轨迹上一点。出发的根轨迹上一点。该点到所有零极点的角度应符合相角条件：该点到所有零极点的角度应符合相角条件：当当s0一点点趋近一点点趋近p3时，可认为时，可认为为为处的起始角处的起始角l l而而p1、p2、p4、z都分别趋近于各开都分别趋近于各开环零极点相对于环零极点相对于P3点的矢量的相角。点的矢量的相角。此时，起始角此时，起始角可以计算：可以计算：同理可证明终止角。同理可证明终止角。例例4-5设系统开环零极点图如图。设系统开环零极点图如图。其中其中图图4-7确定根轨迹离开共轭复数根的起始角。确定根轨迹离开共轭复数根的起始角。根据公式：根据公式：考虑到根轨迹的对称性，考虑到根轨迹的对称性，
22、起始角起始角p3=-5，p4=5例例4-6作作的根轨迹。的根轨迹。开环极点开环极点3个：个：分析：分析：n=3，m=0,没有开环零点没有开环零点。(在在s平面上的极点处标以平面上的极点处标以“”，)根据根据规则一、二规则一、二、三、三：根据根据规则四规则四，实轴上，实轴上0-为根轨迹。为根轨迹。分别起始于分别起始于3个开环极点，个开环极点，均终止于无穷远处。均终止于无穷远处。根轨迹有三个分支：根轨迹有三个分支：图图4-8根据根据规则五规则五，求渐近线，求渐近线:n-m=3条条例例4-6渐近线与实轴夹角：渐近线与实轴夹角：渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：-2.76760没有分离点。没有分
23、离点。例例4-6根据根据规则七规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。：求出根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程：闭环特征方程：K=256，必对应于一对纯虚根，必对应于一对纯虚根，以以的系数构成辅助方程的系数构成辅助方程:-j5.66j5.66例例4-6根据根据规则八规则八求起始角：求起始角：对对P2，根轨迹的起始角为：根轨迹的起始角为：由对称性知：由对称性知：-4-j4处的射角为处的射角为45j5.66-j5.66根轨迹完成。根轨迹完成。例例4-7作作的根轨迹。的根轨迹。该系统该系统n=3，m=1。根据根据规则一、二、三规则一、二、三：一个零点：一个零点：有三个开环极点：有三个开环极点：-2-4-6-1
24、2该根轨迹有三个分支该根轨迹有三个分支,分别起始于分别起始于p=0(两条两条)和和p=-12处，处，有一个分支终止于有一个分支终止于z=-1,另两个分支趋于无穷远。另两个分支趋于无穷远。根据根据规则四规则四：实轴上存在根轨迹是从实轴上存在根轨迹是从-12到到-1之间。之间。例例4-7根据根据规则五规则五：渐近线有：渐近线有2条，条，n-m2。-5.5渐近线夹角：渐近线夹角：渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：-2-4-6-12例例4-7根据根据规则七规则七、求根轨迹与虚轴的交点。求根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程是：闭环特征方程是：K0时，第一列元素都为时，第一列元素都为正值，根轨迹与虚轴
25、交点正值，根轨迹与虚轴交点于于K=0处。处。-2-4-6-12例例4-7根据根据规则六规则六、求分离点、求分离点则：则：s1=-5.18,s2=-2.31，s30。可知一部分根轨迹为圆。可知一部分根轨迹为圆。据此，可画出根轨迹。据此，可画出根轨迹。均在根轨迹上。均在根轨迹上。大大Ks1小小Ks2-2-4-6-12求出分离角为求出分离角为:-5.5例例4-7利用幅值条件，可求出分离点的利用幅值条件，可求出分离点的K值。值。s2是第一分离点，是第一分离点，s1是第二是第二分离点。分离点。完整的绘出根轨迹如图完整的绘出根轨迹如图4-9所示。所示。-2-4-6-12图图4-9作业：作业：4-7，4-5
26、(2)(4)s1=-5.18,s2=-2.31，s30。4.3广义根轨迹广义根轨迹常规根轨迹以开环增益常规根轨迹以开环增益K为可变参量为可变参量这些参数必须以这些参数必须以线性形式线性形式出现在特征方程中。出现在特征方程中。（如某些开环零极点、调节器（如某些开环零极点、调节器PID参数参数或者系统的时间常数等）或者系统的时间常数等）广义根轨迹其它参数为变量广义根轨迹其它参数为变量1、单参数根轨迹单参数根轨迹绘制参数根轨迹的步骤如下：绘制参数根轨迹的步骤如下：(2)列写以新的变量表示的列写以新的变量表示的等效等效系统系统开环传递函数开环传递函数(GH)e(1)写出原系统的闭环特征方程式；写出原系
27、统的闭环特征方程式；l l概念概念：指具有相同的闭环特征方程：指具有相同的闭环特征方程：l l做法做法：从原系统的闭环特征方程出发，把与新变：从原系统的闭环特征方程出发，把与新变量有关的项写到分子上，其余部分写在分母上。量有关的项写到分子上，其余部分写在分母上。这样，参变量移到这样，参变量移到K的位置。的位置。因而具有相同的闭环特征根。因而具有相同的闭环特征根。(3)把等效系统的参数当作原系统中的增益把等效系统的参数当作原系统中的增益K，以常以常规根轨迹的绘制规则，绘制参数根轨迹。规根轨迹的绘制规则，绘制参数根轨迹。绘制参数根轨迹的关键是得到绘制参数根轨迹的关键是得到等效开环传递函数等效开环传
28、递函数等效开环传递函数等效开环传递函数。（1）等效开环传递函数）等效开环传递函数以下图所示的调节系统为例说明。以下图所示的调节系统为例说明。Gc(s)R(s)Y(s)1、2、Gc(s)R(s)Y(s)3、Gc(s)R(s)Y(s)参数根轨迹绘制总结：参数根轨迹绘制总结：l l关键点关键点要把新参数移到原要把新参数移到原K的位置上，利用常规的位置上，利用常规根轨迹的画法。根轨迹的画法。等效只等效在闭环特征方程和它的解等效只等效在闭环特征方程和它的解(闭环极点闭环极点)上，不等效在闭环传递函数上。上，不等效在闭环传递函数上。l l移动的原则移动的原则是等效系统的闭环特征方程必须和原是等效系统的闭环
29、特征方程必须和原系统相同。系统相同。必须注意：必须注意：参数根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响，参数根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响，不能用于分析整个闭环系统。不能用于分析整个闭环系统。闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对相同的闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对相同的闭环过程也有影响。闭环过程也有影响。（2）参数根轨迹的画法）参数根轨迹的画法绘制当对象的开环极点绘制当对象的开环极点p变化时的参数根轨迹变化时的参数根轨迹例例4-8开环传递函数：开环传递函数：开环极点：开环极点：闭环特征方程闭环特征方程:K=4等效系统的开环传递函数等效系统的开环传递函数R(s)Y(s)分析：分析：l l等
30、效系统有两个开环极点等效系统有两个开环极点，一个开环零点，一个开环零点0。l l根轨迹起点于根轨迹起点于，终止于零和无穷远处。，终止于零和无穷远处。渐近线：渐近线：Im(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2求分离点坐标：求分离点坐标：l l负实轴为根轨迹，有一分离点。负实轴为根轨迹，有一分离点。P=0把把s-2代入代入p的公式，求出此点的公式，求出此点p=4。研究开环极点对闭环极点的影响研究开环极点对闭环极点的影响分离角为分离角为90。K=4还可以画出在还可以画出在p=0时，时，K从零到无穷大变化时的根轨迹。从零到无穷大变化时的根轨迹。此时，系统的开环传递函数为：此时，系统的开环传递函数为：
31、闭环特征方程：闭环特征方程：根轨迹为两条从原点出发，沿正负虚轴趋向根轨迹为两条从原点出发，沿正负虚轴趋向无穷远处的轨迹无穷远处的轨迹。求特殊点的。求特殊点的K值。值。0j2(K=4)-j2(K=4)p=0在在处两图都有处两图都有K=4，p=0。比较比较开环极点：开环极点：Im(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2P=0K=42、多参数根轨迹、多参数根轨迹当系统中有两个以上参数变化时的根轨迹当系统中有两个以上参数变化时的根轨迹叫作根轨迹族。叫作根轨迹族。根轨迹族的一般做法是：根轨迹族的一般做法是：l l每次选定一个参数为常数，让另一个参数从零每次选定一个参数为常数，让另一个参数从零变变化到无穷
32、大，画出根轨迹；化到无穷大，画出根轨迹；l l随后，改变第一个参数值，重复前面的过程画随后，改变第一个参数值，重复前面的过程画出出根轨迹。根轨迹。有两种做法：有两种做法：以上述系统为例，绘出当系统开环增益以上述系统为例，绘出当系统开环增益K和开环极点和开环极点p从零到无穷大变化时的根轨迹族。从零到无穷大变化时的根轨迹族。（1）分别取）分别取K为不同值，画出参数为不同值，画出参数p变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。此时，等效开环传递函数为：此时，等效开环传递函数为：l l对应于任何对应于任何K，都有都有2条根轨迹。条根轨迹。l l复平面上的根轨迹是以原点为复平面上的根轨迹是以原点为圆圆心，半径是心
33、，半径是的半圆，与实轴的半圆，与实轴交点在交点在-。见图。见图。l l起点于等效开环传递函数的极起点于等效开环传递函数的极点点,止于零和无穷远处。止于零和无穷远处。-1-2-3P=P=0j1(K=1)j2(K=4)j3(K=9)（2）分别取）分别取p为不同值，画出参数为不同值，画出参数K变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。此时，开环传递函数为：此时，开环传递函数为：q对应于任意对应于任意p值都有值都有2条根轨迹；条根轨迹；q起点在开环极点起点在开环极点0和和-p；q实轴上根轨迹在实轴上根轨迹在-p和和0之间；之间；q分离点坐标是分离点坐标是-p/2，分离角为分离角为90；q2条根轨迹经条根轨迹经-
34、p/2交点后，分别平行交点后，分别平行于虚轴，趋向无穷远处。于虚轴，趋向无穷远处。0-3-2-1 P=2P=4P=0表面看来，表面看来，P=2P=4上述两图方程不同，但仔细观察，在两图上述两图方程不同，但仔细观察，在两图中，当中，当K和和p取相同一组值时，特征根取相同一组值时，特征根s也取相同值。也取相同值。-1-2-3P=P=0j1(K=1)j2(K=4)j3(K=9)如如K=4，p=4，s=-2，0-3-2-1 P=2K=4P=44.4利用根轨迹分析控制系统利用根轨迹分析控制系统l l主要分析和讨论影响根轨迹形状的因素主要分析和讨论影响根轨迹形状的因素l l系统特征根在系统特征根在S平面上
35、的位置与动态指标的关系平面上的位置与动态指标的关系l l目的在于给出系统设计的指导方向目的在于给出系统设计的指导方向l l改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统控制改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统控制质量的影响质量的影响一、一、特征根与系统动态指标的关系特征根与系统动态指标的关系j5010-5112233见图。见图。它们对应的单位阶跃响应过渡曲线见图。它们对应的单位阶跃响应过渡曲线见图。的虚部，的虚部，1和和3有相同有相同2和和3有相同的实部；有相同的实部；轴有相同的夹角；轴有相同的夹角；1和和2对实对实在在s左半平面有三类共轭复根，左半平面有三类共轭复根，y1.500.52.5t1
36、1.521123共轭复根共轭复根y1.500.52.5t11.52112y1.500.52.5t11.52113y1.500.52.5t11.52123j5010-5112233特征根与系统动态指标的关系特征根与系统动态指标的关系1、超调量、超调量和衰减比和衰减比n超调量超调量衰减比衰减比它们与实轴的夹角：它们与实轴的夹角：如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时，如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时，在在s平面上与实轴有相同夹角的直线叫平面上与实轴有相同夹角的直线叫等等线线，落在等落在等线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。越小，系统越振荡，超调
37、量越越小，系统越振荡，超调量越大，衰减比越小，相对的稳定性变差。大，衰减比越小，相对的稳定性变差。等等线越靠近虚轴，线越靠近虚轴，y1.500.52.5t11.5211212它是极点虚部的函数。它是极点虚部的函数。在在s平面上平行于实轴的直平面上平行于实轴的直线叫作线叫作等频线等频线(等等线线)。落在这条线上的极点具有相同落在这条线上的极点具有相同的虚部，它们的峰值时间相同，的虚部，它们的峰值时间相同，振荡频率相同。振荡频率相同。2、峰值时间、峰值时间tp等频线离实轴越远，则等频线离实轴越远，则tp越短，振越短，振荡频率越高，荡频率越高，tp反比于虚部值。反比于虚部值。y1.500.52.5t
38、11.52113j5010-5133、调节时间、调节时间ts（过渡时间）过渡时间）它是极点实部的函数。它是极点实部的函数。在在s平面上平行于虚轴的直线叫作平面上平行于虚轴的直线叫作等等线线。等等线离虚轴越远，它所线离虚轴越远，它所对应的过渡过程时间对应的过渡过程时间ts越越短。短。ts与实部值成反比。与实部值成反比。落在这条线上的极点具有落在这条线上的极点具有相同相同的的实实部部，它们对应，它们对应相同相同的的调节时间调节时间。y1.500.52.5t11.52123234、余差、余差余差是系统的余差是系统的稳态值稳态值与与设定值设定值之差。之差。这个指标是系统达到稳定以后的性质，属于这个指标
39、是系统达到稳定以后的性质，属于静静态态指标，指标，而前面所述的几种是而前面所述的几种是动态动态指标。指标。余差可以从闭环传递函数的余差可以从闭环传递函数的终值定理终值定理求得。求得。这个指标与过渡过程的暂态部分无关，即与特征这个指标与过渡过程的暂态部分无关，即与特征根无关，因而不能表示在根平面上。根无关，因而不能表示在根平面上。等频线等频线综上所述，综上所述，在五种常用的质量指标中，四种动态在五种常用的质量指标中，四种动态指标可以在根平面中用三种直线表示。指标可以在根平面中用三种直线表示。l l衰减比和超调量都可以用等衰减比和超调量都可以用等线代表线代表i0等等线线等等线线合格区合格区l l当
40、系统主要的特征根落在这个合格区内时，控制当系统主要的特征根落在这个合格区内时，控制系系统的质量就可达到原定的要求。统的质量就可达到原定的要求。l l它们重合的部分符合所有指标。它们重合的部分符合所有指标。l l这三种直线的合格区域都可以用这三种直线的合格区域都可以用阴影表示出来，如图中所示。阴影表示出来，如图中所示。l l振荡频率用等频线代表振荡频率用等频线代表l l调节时间用等调节时间用等线代表线代表l l即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满足系统设计的要求。足系统设计的要求。l l例如，不仅仅改变调节器参数例如，不仅仅改变调节器参数Kc，而且改变
41、调节器结构，给系统增加而且改变调节器结构，给系统增加开环零极点。开环零极点。l l但是，在很多时候，只调整增但是，在很多时候，只调整增益益不能满足系统的性能。此时必须不能满足系统的性能。此时必须改造根轨迹。改造根轨迹。l l 当根轨迹落在这个合格区内时，通过选择合当根轨迹落在这个合格区内时，通过选择合适的参数值适的参数值K，使系统的质量达到原定的要求。使系统的质量达到原定的要求。i0等频线等频线等等线线合格区合格区二二、开环极点对根轨迹和系统控制质量的影响、开环极点对根轨迹和系统控制质量的影响例例4-8开环传递函数为：开环传递函数为：渐近线：渐近线：夹角夹角:与实轴交点：与实轴交点：与虚轴交点
42、与虚轴交点:分离点：分离点：-0.146，dK/ds=0例例4-8传递函数：传递函数：渐近线：渐近线：夹角夹角:与实轴交点：与实轴交点：与虚轴交点与虚轴交点:时间常数的变化相当于时间常数的变化相当于开环极点开环极点的变化。的变化。根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。10.50-0.5-1-0.1-0.5-0.20如果，如果，将将-0.2这个开环极点增大到这个开环极点增大到0.16，相当于时，相当于时间常数间常数T2从从5增大至增大至6.25，其根轨迹如图所示。，其根轨迹如图所示。可以看出，一个开环极点增大可以看出，一个开环极点增大(向向右移动右移动)，闭环系统的一对主要复，闭环系统的一对主要复根的
43、轨迹必然会向右移动。根的轨迹必然会向右移动。10.50-0.5-1-0.1-0.5-0.20 过渡过程时间增加过渡过程时间增加，使系统稳定的使系统稳定的K值下降。值下降。0.1-0.05-0.2-0.4000.05-0.10.05-0.05-0.5-1.5-100例例4-9研究系统中增加极点对根轨迹的影响。研究系统中增加极点对根轨迹的影响。（a）单极点系统单极点系统（b）双极点双极点10.50-0.5-1-0.2-0.6-.40（c）三极点三极点l l增加开环极点增加开环极点（在右边增加）（在右边增加）相当于增加系统的时间常数，相当于增加系统的时间常数，使根轨迹向右方移动，使根轨迹向右方移动，
44、降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间。降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间。l l原点处增加一开环极点原点处增加一开环极点相当于在系统中增加积分作用，与图（相当于在系统中增加积分作用，与图（c）类似，降类似，降低稳定性，但可以消除余差。低稳定性，但可以消除余差。作业：作业：4-10，4-14（a:0）,并说明参数并说明参数a的取值对系的取值对系统阶跃响应性能的影响。统阶跃响应性能的影响。q它在小增益时是稳定的，在大增益时是不稳定的。它在小增益时是稳定的，在大增益时是不稳定的。q增加零点后，系统对所有增益值都是稳定的。增加零点后，系统对所有增益值都是稳定的。q零点越靠近虚轴，根轨迹向左移动，系统
45、性能越好。零点越靠近虚轴，根轨迹向左移动，系统性能越好。q与增加极点的效果相反。与增加极点的效果相反。Z=-0.6Z=-.3Z=-.1Z=0*三三、开环零点对系统控制质量的影响、开环零点对系统控制质量的影响例例4-10绘制某单位反馈系统的根轨迹，绘制某单位反馈系统的根轨迹，分析分析TdTd对根轨迹的影响。对根轨迹的影响。相当于增加一个相当于增加一个 的开环零点。的开环零点。例例4-10讨论：讨论：(c)Td=1.25(b)Td=0.5(a)Td=0(1)(1)若若Td=0，K取何值，系统皆不稳定。取何值，系统皆不稳定。(2)(2)若选用若选用Td=0.5，它把根轨迹拉进了稳定区域，它把根轨迹拉
46、进了稳定区域，K4以后系统总是稳定的。以后系统总是稳定的。（3）当）当微分时间加大微分时间加大（开环零点更靠近虚轴时）（开环零点更靠近虚轴时）,一一对对复数极点会离开虚轴更远一些，过程的振荡减弱。复数极点会离开虚轴更远一些，过程的振荡减弱。例例4-11 画出例画出例4-10以以Td为参变量的根轨迹（为参变量的根轨迹（K50）。等效开环传递函数是：等效开环传递函数是：-1-3-5123456789j等效开环传递函数有一个零点及三个极点。等效开环传递函数有一个零点及三个极点。闭环特征方程：闭环特征方程：分析分析-1-3-5123456789j可得到下列数据可得到下列数据（K=50）Td=0.254
47、 0.40.5651.01渐进线渐进线：90，a=-2，与虚轴交点：与虚轴交点：从复数极点的从复数极点的起始角起始角：138.4例例4-11但但Td再增加，再增加，ts减少减慢，振荡减少减慢，振荡频率急剧增加，不利于稳定。频率急剧增加，不利于稳定。Td=1.41.121.070.6250.5280.20Td0.25，系统才稳定；系统才稳定；随着随着Td，d，振荡频率增加，振荡频率增加，根轨迹离虚轴远，根轨迹离虚轴远，ts减少；减少；在开环传递函数上增加零点在开环传递函数上增加零点:l l在系统中增加在系统中增加微分作用微分作用，其实质是，其实质是增加开环增加开环零零点点。l l可以导致根轨迹向
48、左方面移动，从而可以导致根轨迹向左方面移动，从而增加增加系系统统的的稳定性稳定性，减小减小系统响应的系统响应的过渡时间过渡时间。总结总结l微分作用加大（即开环零点更靠近虚轴）有助微分作用加大（即开环零点更靠近虚轴）有助于改善系统性能。于改善系统性能。l l 但微分作用并不是越大越好，有一个但微分作用并不是越大越好，有一个限度问题限度问题。4.4.5利用利用根轨迹设计控制系统根轨迹设计控制系统一一、设计准则、设计准则系统设计所依据的性能指标为：稳态指标与动态指标。系统设计所依据的性能指标为：稳态指标与动态指标。（1）稳态性能指标（稳态误差）稳态性能指标（稳态误差es）：）：对应于给定输入对应于给
49、定输入r r(t)所引起的偏差所引起的偏差esr：对阶跃响应对阶跃响应加速度响应加速度响应斜波响应斜波响应esr对对0、1、2型系统有不同的数值。型系统有不同的数值。是位置偏差系数、速度偏是位置偏差系数、速度偏差系数和加速度偏差系数。差系数和加速度偏差系数。（2）动态性能指标：）动态性能指标：通常以系统的阶跃响应来进行描述：通常以系统的阶跃响应来进行描述：常用的指标有常用的指标有上升时间上升时间tr、峰值时间峰值时间tp、超调量超调量、调节时间调节时间ts等。等。如果高阶系统存在一对闭环主导极点，它将主导系统如果高阶系统存在一对闭环主导极点，它将主导系统过渡过程的主要形式，系统可近似为二阶系统
50、。过渡过程的主要形式，系统可近似为二阶系统。闭环主导极点的定义是：闭环主导极点的定义是：1、在、在S平面上，距离虚轴比较近，且周围没有平面上，距离虚轴比较近，且周围没有其它的零极点。其它的零极点。2、与其它闭环极点距虚轴的距离在、与其它闭环极点距虚轴的距离在5倍以上。倍以上。设计步骤：设计步骤：等等线线i0等频线等频线等等线线合格区合格区l l确定系统的根轨迹是否穿确定系统的根轨迹是否穿过过阴影区域。阴影区域。l l如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域，如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域，就要设计相应的校正装置，增加开环极点和开就要设计相应的校正装置，增加开环极点和开环零点，使得校正后的