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1、国国 家家 精精 品品 课课 程程自动控制原理自动控制原理Principles of Automatic Control主讲人：主讲人：王王 万万 良良1自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所自动控制原理国家精品课程网站自动控制原理国家精品课程网站 2自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所系统系统 （机械，电气，（机械，电气，过程等）过程等）建模方法建模方法机理或实验机理或实验数学模型数学模型（Tf,Ss,Zpk)性能分析性能分析稳定性、稳定性、动态性能、动态性能、鲁棒性等鲁棒性等若性能若性能不满足要求不满足要求对系统进行校正对系统进行校正校正方法（控制器设计方法）校正
2、方法（控制器设计方法）滞后滞后-超前、超前、PIDPID、LQLQ最优等最优等 第第4 4章章 根轨迹法根轨迹法3自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所本章的主要内容本章的主要内容4.1 4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.2 4.2 （常义）根轨迹的绘制（常义）根轨迹的绘制4.3 4.3 广义根轨迹的绘制广义根轨迹的绘制4.4 4.4 控制系统的根轨迹分析法控制系统的根轨迹分析法4.5 4.5 用用MATLABMATLAB绘制根轨迹绘制根轨迹4自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所本章的主要内容本章的主要内容4.1 4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.
3、2 4.2 （常义）根轨迹的绘制（常义）根轨迹的绘制4.3 4.3 广义根轨迹的绘制广义根轨迹的绘制4.4 4.4 控制系统的根轨迹分析法控制系统的根轨迹分析法4.5 4.5 用用MATLABMATLAB绘制根轨迹绘制根轨迹5自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念控制系统的闭环极点在复平面上随系统参数变化的轨迹称控制系统的闭环极点在复平面上随系统参数变化的轨迹称为控制系统的根轨迹。为控制系统的根轨迹。6自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所以根轨迹放大系数以根轨迹放大系数k为参变量的根轨迹称为常义根轨迹。以除为参变量的根轨迹称为
4、常义根轨迹。以除k以外的参数为参变量的根轨迹称为广义根轨迹，或者称为参以外的参数为参变量的根轨迹称为广义根轨迹，或者称为参量根轨迹。量根轨迹。当参数在当参数在0，）中变化时，所对应的根轨迹称为主要根轨迹，）中变化时，所对应的根轨迹称为主要根轨迹，一般简称为根轨迹。当参数在（一般简称为根轨迹。当参数在（-，0中变化时，所对应的中变化时，所对应的根轨迹称为辅助根轨迹，或者称为零度根轨迹。主要根轨迹和根轨迹称为辅助根轨迹，或者称为零度根轨迹。主要根轨迹和辅助根轨迹合在一起称为全根轨迹。辅助根轨迹合在一起称为全根轨迹。7自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所根轨迹应满足的条件根轨迹应满足的
5、条件幅值条件幅值条件相角条件相角条件（常义）根轨迹（常义）根轨迹幅值条件幅值条件相角条件相角条件相角条件用于绘制根轨迹相角条件用于绘制根轨迹幅值条件用于确定根轨迹上幅值条件用于确定根轨迹上某点的根轨迹放大系数某点的根轨迹放大系数8自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所根轨迹特征的基本规则根轨迹特征的基本规则 4.2 （常义）根轨迹的绘制（常义）根轨迹的绘制规则规则1 根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数等于开环有根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数等于开环有限极点数和有限零点数中最大者。限极点数和有限零点数中最大者。规则规则2 在全根轨迹上，在全根轨迹上，对应的点是开环传递函数
6、的极点对应的点是开环传递函数的极点（包括无限极点），（包括无限极点），对应的点是开环传递函数的零点对应的点是开环传递函数的零点（包括无限零点）。（包括无限零点）。规则规则3 实轴上的主要根轨迹只能是那些在其右侧的开环实极点实轴上的主要根轨迹只能是那些在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数的线段；实轴上的辅助根轨迹只能与开环实零点的总数为奇数的线段；实轴上的辅助根轨迹只能是那些在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为偶数的线是那些在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为偶数的线段。段。9自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所根轨迹特征的基本规则根轨迹特征的基本规则 4.2 （常
7、义）根轨迹的绘制（常义）根轨迹的绘制规则规则4 根轨迹的所有渐近线交汇于根轨迹的所有渐近线交汇于S平面的实轴上，该点坐标、平面的实轴上，该点坐标、渐近线与实轴的夹角分别是渐近线与实轴的夹角分别是规则规则5 将将 代入系统的特征方程，或者用劳思稳定判据，代入系统的特征方程，或者用劳思稳定判据，可以确定根轨迹与虚轴的交点坐标以及对应的参数可以确定根轨迹与虚轴的交点坐标以及对应的参数k的值。的值。10自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所根轨迹特征的基本规则根轨迹特征的基本规则 4.2 （常义）根轨迹的绘制（常义）根轨迹的绘制规则规则6 根轨迹离开一个开环极点的方向（该点切线方向）与实根
8、轨迹离开一个开环极点的方向（该点切线方向）与实轴正方向之间的夹角称为出射角；根轨迹趋近一个开环零点的轴正方向之间的夹角称为出射角；根轨迹趋近一个开环零点的方向（该点切线方向）与实轴正方向之间的夹角称为入射角。方向（该点切线方向）与实轴正方向之间的夹角称为入射角。主要根轨迹的出射角和入射角分别为主要根轨迹的出射角和入射角分别为辅助根轨迹的出射角和入射角分别和主要根轨迹的出射角和入辅助根轨迹的出射角和入射角分别和主要根轨迹的出射角和入射角相差射角相差180。规则规则7 根轨迹的分合点通过解方程根轨迹的分合点通过解方程 得到，将它得到，将它的解代入特征方程，如果对应的的解代入特征方程，如果对应的 则
9、为主要根轨迹的分合则为主要根轨迹的分合点；如果对应的点；如果对应的 则为辅助根轨迹的分合点。则为辅助根轨迹的分合点。11自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所根轨迹特征的基本规则根轨迹特征的基本规则 4.2 （常义）根轨迹的绘制（常义）根轨迹的绘制规则规则8 绘制出根轨迹后，可以用幅值条件确定根轨迹上任何一绘制出根轨迹后，可以用幅值条件确定根轨迹上任何一点对应的点对应的 值。值。12自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 例例4.1 4.1 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为用劳思判据求根轨迹与虚轴的交点坐标：用劳思判据可得该用劳思判据求根轨迹与虚轴的交点
10、坐标：用劳思判据可得该系统稳定的充分必要条件为系统稳定的充分必要条件为 ，因此，当，因此，当 时，时，系统处于临界稳定状态，在根轨迹图上就是根轨迹与虚轴相系统处于临界稳定状态，在根轨迹图上就是根轨迹与虚轴相交点。由劳思判据中的辅助方程，可以解得对应的交点坐标交点。由劳思判据中的辅助方程，可以解得对应的交点坐标为为13自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所通过解方程得到根轨迹的分合点。通过解方程得到根轨迹的分合点。由于分合点只能在极点由于分合点只能在极点-5-5与与-6-6之间，所以，用试探法解得上之间，所以，用试探法解得上述方程的一个根为述方程的一个根为-5.525-5.525，即
11、为分合点坐标。，即为分合点坐标。代入方程代入方程并整理得：并整理得：主根轨迹的出射角为主根轨迹的出射角为。辅助轨迹的入射角为辅助轨迹的入射角为。14自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所15自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 例例4.2 4.2 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制试绘制 部分的根轨迹。部分的根轨迹。等价于绘制辅助根轨迹或零度根轨迹。等价于绘制辅助根轨迹或零度根轨迹。将代入特征方程将代入特征方程解得根轨迹与虚轴坐标为解得根轨迹与虚轴坐标为 ，对应的，对应的 解得分合点坐标解得分合点坐标 16自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动
12、化研究所17自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所系统的特征方程为系统的特征方程为4.3 4.3 广义根轨迹的绘制广义根轨迹的绘制例例4.3 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制以试绘制以 为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。恒等变换为恒等变换为等效开环传递函数等效开环传递函数18自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所因为分合点处的因为分合点处的k=4.4，根轨迹与虚轴的交点处的，根轨迹与虚轴的交点处的k=8.16，所以，当，所以，当k=4时，系统有一对共轭复根，还有两个分别在分合点左边和右边的实极点。时，系统有一对共轭复根，还有两个分别在分合点左边和
13、右边的实极点。经过几次试探，找到满足幅值条件的两个实极点经过几次试探，找到满足幅值条件的两个实极点-2，-2.52。用长除法。用长除法可以得到另外两个共轭复根可以得到另外两个共轭复根 。因为系统的开环传递函数。因为系统的开环传递函数没有有限零点，所以，闭环传递函数也没有有限零点。没有有限零点，所以，闭环传递函数也没有有限零点。K=4时系统的闭环传递函数为时系统的闭环传递函数为4.4 4.4 控制系统的根轨迹分析法控制系统的根轨迹分析法例例4.4 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为系统的根轨迹如图系统的根轨迹如图4.3所示，试确定所示，试确定 时系统的闭环传递函数。时系统的闭环传递
14、函数。下面举例说明用根轨迹确定系统的闭环极点，从而分析系统性能。下面举例说明用根轨迹确定系统的闭环极点，从而分析系统性能。19自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所20自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所4.5 4.5 用用MATLABMATLAB绘制根轨迹绘制根轨迹MATLABMATLAB中专门提供了绘制根轨迹的有关函数。中专门提供了绘制根轨迹的有关函数。p,z=pzmap(num,den)p,z=pzmap(num,den)的功能是绘制连续系统的零极点图。的功能是绘制连续系统的零极点图。r,k=rlocus(num,den)r,k=rlocus(num,den)和
15、和r,k=rlocus(num,den,k)r,k=rlocus(num,den,k)的功能是绘制根轨迹图。的功能是绘制根轨迹图。r,k=rlocus(num,den)r,k=rlocus(num,den)是绘制是绘制k=0k=0部分的根轨迹。系统自部分的根轨迹。系统自动确定坐标轴的分度。如果用户需要设置坐标的范围，只要动确定坐标轴的分度。如果用户需要设置坐标的范围，只要在程序中加上指令：在程序中加上指令：v=-x,x,-y,y;axis(v)v=-x,x,-y,y;axis(v)。如果要。如果要以给定的参数范围绘制根轨迹，则执行命令以给定的参数范围绘制根轨迹，则执行命令k,poles=k,p
16、oles=rlofind(num,den,p)rlofind(num,den,p)。k,poles=rlofind(num,den)k,poles=rlofind(num,den)和和k,poles=rlofind k,poles=rlofind(num,den,p)(num,den,p)的功能是确定根轨迹上的功能是确定根轨迹上polespoles处的根轨迹放大系处的根轨迹放大系数的值。数的值。21自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所例例4.5 4.5 用用MATLABMATLAB绘制例绘制例4.14.1的根轨迹图。的根轨迹图。键入：键入：键入回车键，可得如图键入回车键，可得如图4.4所示根轨迹图。所示根轨迹图。22自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所23自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所