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1、第四章根轨迹法根轨迹法第第4 4章章 根轨迹法基本要求4-1 根轨迹与根轨迹方程4-2 绘制根轨迹的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃 响应的关系4-5 系统阶跃响应的根轨迹返回主目录基本要求基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。返回子目录返回子目录4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌
2、握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。根轨迹法根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环开环传递函数零、极点求出闭环闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。41 根轨迹与根轨迹方程当闭环系统为正正反馈时，对应的轨迹为
3、零零度根轨迹；而负负反馈系统的轨迹为 根轨迹。一、根轨迹返回子目录返回子目录例子如图所示二阶系统，系统的开环开环传递函数为：开环传递函数开环传递函数有两个极点 。没有零点，开环增益为K。闭环特征方程闭环特征方程为闭环特征根闭环特征根为 闭环传递函数闭环传递函数为从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为（44）图43 控制系统将前向通道传递函数G（s）表示为：（45）为前向通道增益，为前向通
4、道根轨迹增益 式中 为反馈通道的根轨迹增益。（47）（46）（48）闭环传递函数分别为闭环零、极点。式中：（410）比较式（48）和式（410）可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益 有关。根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。三、根轨迹方程根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12）式中G(s)H(s)是系统开环开环传递函数，该式明确表示出开开环环传递函数与闭环极点的关系。闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （
5、4-11）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定nm，这时式（412）又可以写成：（413）不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程模值方程模值方程模值方程和相角方程相角方程相角方程相角方程。相角方程（415）模值方程（414）注意 在实际应用中，用相角方程相角方程绘制根轨迹，而模模模模 值方程值方程值方程值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。模值方程模值方程模值方程模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程相角方程只与开环零、极点有关。相角方程相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要充分必要条件条
6、件。例4-1它们应满足相角方程（415）已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试证明复平面上点试证明复平面上点 是该系统的闭环极点。是该系统的闭环极点。若系统闭环极点为证明：证明：该系统的开环极点图44例41开环零、极点分布图(k=0)以 为试验点，可得以 为试验点，观察图44，可得图44证毕可见，都满足相角方程，所以，点是闭环极点。例42已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如图4-5所示，求根轨迹上点 所对应的K值。解解 根据模值方程求解 值模值方程图4-5根据图45可得所以图4-5上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的 值。根轨
7、迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。42 绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数 分支数开环极点数 开环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴二、根轨迹对称于实轴 闭环极点为 实数在实轴上 复数共轭对称于实轴返回子目录返回子目录起于开环极点，终于开环零点。三、根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：若开环零点数m 开环极点数n (有 个开环零点在无穷远处)则有()条根轨迹趋于无穷远点 起点终点四、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。证明：设一系统开环零、极点分布如图。在实
8、轴上任取一试验点 代入相角方程则所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式证毕如满足相角条件必有所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。例43设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。解：将开环传递函数写成零、极点形式设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。最后绘制出根轨迹如图最后绘制出根轨迹如图47所示。所示。法则一，有两条根轨迹法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处。法则四，在负
9、实轴上，0到1区间和2到负无穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：图47例43根轨迹法则五、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：渐近线与实轴相交点的坐标为：例4-4已知系统的开环传递函数试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。极点解：零点按照公式得以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线对应的开环传递函数(a)(b)(c)(d)法则六、根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的起始角根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。起始角与终止角计算公式
10、起始角与终止角计算公式起始角计算公式：起始角计算公式：终止角计算公式：终止角计算公式：例45设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。解 将开环零、极点画在图412的根平面 上，逐步画图：图412 例45根轨迹 n=2，有两条根轨迹 两条根轨迹分别起始于开环极点(-1-j2),(-1+j2)；终于开环零点 (-2-j),(-2+j)确定起始角,终止角。如图413所示。例45根轨迹的起始角和终止角图413定义定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个
11、会合点。七、根轨迹的分离点坐标d分离点的坐标d可由下面方程求得式中：为各开环零点的数值，为各开环极点的数值。例46已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概略绘制出根轨迹图。解：根据系统开环传递函数求出开环极点按步骤：n=2,m=1,有两条根轨迹两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点之间，因此判断有分离点离开复平面极点的初始角初始角为渐近线（舍去）6、求分离点坐标d此系统根轨迹如图4-15所示图415八、分离角与会合角所谓所谓分离角分离角是指根轨迹离开分离点处的切是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。线与实轴正方向的
12、夹角。分离角计算公式（445）所谓会合角会合角是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。会合角计算公式分离角与会合角不必经公式计算，可以用下列简单法则来确定：若有 条根轨迹进入d点，必有 条根轨迹离开d点；条进入d点的根轨迹与 条离开d点的根轨迹相间隔；任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨迹方向之间的夹角为 ；因此只要确定了d点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向，而确定d点附近根轨迹方向的方法可根据法则2、法则4 或取试验点用相角条件来验证。九、根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和 值可用劳思判据判定，也可令闭环特征方程中
13、的 ，然后分别令其实部和虚部为零求得。例47设系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。解解：按步骤画图有4条根轨迹各条根轨迹分别起于开环极点 0，-3，-1+j1,-1-j1；终于无穷远实轴上的根轨迹在0到-3之间渐近线确定分离点d解方程得（舍去）确定起始角确定根轨迹与虚轴的交点。令 代入上式解得闭环系统的特征方程为图417 例47根轨迹十、根之和与根之积如果系统特征方程写成如下形式闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数 。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。Tipsn在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，n-m 2的系
14、统，当增益的变动使某些闭环极点在的系统，当增益的变动使某些闭环极点在s平平面上面上向左向左 移动时，则必有另一些极点移动时，则必有另一些极点向右向右移动，这样移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。有意义。闭环特征根之积乘以 ，等于闭环特征方程的常数项。例48已知单位负反馈系统开环传递函数为试画出 时的闭环系统的概略根轨迹，并求出 时的闭环传递函数及闭环极点。解；根据根轨迹绘制法则，按步计算：n=4，有四条根轨迹；起始于开环极点0，-20，-2-j4,-2+j4，终于无穷远处；实轴上的根轨迹在（0，-20）区间；n=4,
15、m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为取取根轨迹的起始角。解得 分离点坐标d。舍舍根轨迹与虚轴交点。系统特征方程解得解得则两个闭环则两个闭环极点极点令令代入代入此时特征方程为利用综合除法，可求出其他两个闭环极点图419例48根轨迹图图4-18常见闭环系统根轨迹图43 广义根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹设系统开环传递函数为(4-59)闭环特征方程为(4-60)等效变换成返回子目录返回子目录令（461）显然，利用式461就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。二、开环极点变化时的根轨迹设一负反馈系统的开环传递函数为现在研究 变化的根
16、轨迹。等效开环传递函数为根据式（462）可画出 变化时的广义根轨迹。已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益K为 时，时间常数 变化时的根轨迹。例4-10解：题目显然是求广义根轨迹问题。系统特征方程为等效开环传递函数为等效开环传递函数有3个零点，即0，0，-1；2个极点，不同K值可计算出不同极点。按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹如图4-21。图4-21例4-10根轨迹图 分析复杂控制系统如图，其中内回路为正反馈。为了分析整个控制系统的性能，需求出内回路的闭环零、极点。用根轨迹的方法绘制正反馈系统的根轨迹。三、零度根轨迹图4-22特征方程根轨迹方程研究内回路从而相角方程及模值方程相应为
17、使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要修改实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。根轨迹的渐近线计算公式不变。l根轨迹的起始角与终止角l分离角与会合角除上述四个法则外，其他法则不变除上述四个法则外，其他法则不变例4-11图4-23正反馈系统的结构图如图4-23所示，试绘制开环系统根轨迹增益 变化时的根轨迹。其中解：解：该系统是正反馈系统。当 变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。终止于开环零点实轴根轨迹在 区间内。起始于开环极点图4-24例4-11根轨迹图44 系统闭环零、极点分布 与阶跃响应的关系由
18、开环 闭环极点的根轨迹求闭环极点确定闭环传函闭环系统动态性能主要任务：返回子目录返回子目录一、用闭环零、极点表示的阶跃响应一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式表达式 阶系统的闭环传递函数可写为：阶系统的闭环传递函数可写为：设输入为单位阶跃：设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：有：假设假设(s)中无重极点，上式分解为部分分式中无重极点，上式分解为部分分式将将C(s)表达式进行拉式反变换得：表达式进行拉式反变换得：（474）n从上式看出，系统单位阶跃响从上式看出，系统单位阶跃响应将由闭环极点及系数决定，应将由闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分布而系数也与闭环零、极点分布有关。有关
19、。二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定 性关系稳定性所有闭环极点位于s平面的 左半部；复数极点设置在s平面中与负实轴成 夹角线附近；平稳性快速性闭环极点远离虚轴；动态过程尽快消失 小，闭环极点之间间距大,零点与极点间间距小。三、主导极点和偶极子三、主导极点和偶极子主导极点主导极点：就是对动态过程影响占主导地就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是离虚轴最近的极点。位的极点，一般是离虚轴最近的极点。偶极子偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。就是一对靠得很近的闭环零、极点。四、利用主导极点估算系统的性能指标四、利用主导极点估算系统的性能指标既然主导极点在动态过程中起主要作用，既然主导极点在动态
20、过程中起主要作用，那么，计算性能指标时，在一定条件下那么，计算性能指标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。的公式和曲线。例4-12试近似计算系统的动态性能指标 。解：这是三阶系统，有三个闭环极点其零、极点分布如图4-25所示。某系统的闭环传递函数为 极点 离虚轴最近，所以系统的主导极点为 ，而其他两个极点可以忽略。图4-25这时系统可以看做是一阶系统。传递函数为式中：T=0.67s根据时域分析可知一
21、阶系统无超调，调节时间例4-13系统闭环传递函数试估计系统的性能指标。解：闭环零、极点分布如图(4-26)所示图4-26系统近似为二阶系统对应性能指标例4-14已知系统开环传递函数为试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比0.5时的性能指标。解：图4-27 根轨迹图图4-27 根轨迹图按步骤作出系统的根轨迹，如图4-27所示。分析系统稳定性 在平面上画出 时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交点的坐标设为 ，从图上测得 ，与之共轭的复数极点为 。已知系统闭环特征方程及两个极点，用长除法求出第三个极点 。使系统稳定的开环增益范围是系统闭环传递函数近似为二阶系统二阶系统在单位阶跃信号作用
22、下的性能指标：45系统阶跃响应的根轨迹分析例415 已知系统结构如图428所示。试画出当 由 时的闭环根轨迹，并分析 对系统动态过程的影响。图428返回子目录返回子目录解：系统开环传递函数有两个极点0，2；有一个零点4。此类带零点的二阶系统的根轨迹，其复数部分为一个圆，其圆心在开环零点处，半径为零点到分离点的距离。根轨迹如图429所示。n图图429系统根轨迹分离点 对应开环增益1.当开环增益在（00.686）内，闭环为两个负实数极点，系统在阶跃信号下响应为非周期的。2.当开环增益在（0.68623.4）内，闭环为一对共轭复数极点，其阶跃响应为振荡衰减过程。下面求系统最小阻尼比对应的闭环极点。过
23、原点做与根轨迹圆相切的直线，此切线与负实轴夹角的余弦即为系统的阻尼比。3.当开环增益在 内，闭环又为负实数极点，其阶跃响应又为非周期的。对应闭环极点系统阶跃响应具有较好的平稳性。例416单位反馈系统的开环传递函数试绘出闭环系统的根轨迹。解：此系统开环有三个极点0，0，10图4-30按步骤作出系统的根轨迹，如图4-30所示。图中两条根轨迹位于s平面右半部，即闭环始终有两个右极点。说明开环增益无论取何值，系统均不稳定。若在系统中附加一个负实数零点z1，用来改善系统的动态性能，则系上统的开环传递函数为图4-31 附加零点后的根轨迹图4-32 附加零点后的根轨迹因此，引入的附加零点要恰当，才能使系统的性能有所改善。本章总线索 T法则开环传递函数零、极点pi ,zi闭环根轨迹(加上闭环零点)简化处理一、二阶系统系统性能指标定性分析,求K的取值范围 “法则”是指绘制根轨迹的基本法则，“简化处理”是指利用主导极点和偶极子的概念，将高阶系统近似地看成一阶或二阶系统。“定性分析”可以包含阶跃响应的不同形式对K取值的要求，例如阶跃响应单调收敛，振荡收敛，最佳阻尼比，系统稳定等。