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1、自动控制原理 第四章 根轨迹分析法第1页，本讲稿共13页第一节第一节 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念一、根轨迹定义：特征方程中某待定参数从0-发生变化时，特征根随之行走的轨迹。二、简单系统根轨迹的绘制举例 三、根轨迹与系统性能之间的关系 1、稳定性根轨迹可确定系统所有特征根在S平面的位置2、稳态性能根轨迹可确定系统型别及开环增益3、动态性能根轨迹可确定系统的主导极点及其具体位置第2页，本讲稿共13页第二节第二节 一般根轨迹的绘制依据一般根轨迹的绘制依据一、特征方程的一种演变形式一、特征方程的一种演变形式根轨迹方程根轨迹方程 k根轨迹增益、根轨迹增益、n极点个数、极点个数、m零点个数、零点个数
2、、-pj极点坐标、极点坐标、-zi零点坐标。零点坐标。二、根轨迹方程的幅值条件和相位条件二、根轨迹方程的幅值条件和相位条件 回顾S平面矢量的表示形式第3页，本讲稿共13页第三节第三节 一般根轨迹的绘制法则一般根轨迹的绘制法则一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数开环极点数、特征根个数。开环极点数、特征根个数。二、根轨迹的连续性和对称性二、根轨迹的连续性和对称性连续，复平面上根轨迹对称于实轴。连续，复平面上根轨迹对称于实轴。三、根轨迹的起点和终点三、根轨迹的起点和终点起于开环极点，终于开环零点或无穷远。起于开环极点，终于开环零点或无穷远。四、根轨迹在实轴上的分布规律四、根轨迹在实轴上的分布规律奇偶
3、分布特性。奇偶分布特性。五、根轨迹的渐近线五、根轨迹的渐近线坐标：坐标：倾角：倾角：六、六、根轨迹的重合点根轨迹的重合点（重根）（重根）七、七、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点八、八、根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角九、九、开环零极点与闭环极点特性开环零极点与闭环极点特性十、十、典型开环零极点分布对应的典型根轨迹典型开环零极点分布对应的典型根轨迹负反馈系统根轨迹增益负反馈系统根轨迹增益k*k*由由0+0+变化时的根轨迹，变化时的根轨迹，称为一般根轨迹。称为一般根轨迹。关注：绘图法则的来由！第4页，本讲稿共13页根轨迹的重合点根轨迹的重合点n二重根（根轨迹的重合点）的确定：满足特
4、征方程和特征方程的导数方程。二重根（根轨迹的重合点）的确定：满足特征方程和特征方程的导数方程。n分离角的确定：分离角的确定：n讨论讨论重根的确定还有什么方法？重根的确定还有什么方法？举例：举例：第5页，本讲稿共13页根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点举例：举例：问：利用ROUTH判据求解？第6页，本讲稿共13页根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角第7页，本讲稿共13页开环零极点与闭环极点特性开环零极点与闭环极点特性p 当当n-m2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即时，闭环极点之和等于开环极点之和，即 p 闭环极点之积和开环零、极点有如下关系：闭环极点之积和开环零、极点有如下关系：当
5、当n-m2时根轨迹分布规律：对称放射性分布。时根轨迹分布规律：对称放射性分布。第8页，本讲稿共13页典型开环零极点分布对应的典型根轨迹典型开环零极点分布对应的典型根轨迹 开环传递函数含有两个极点和一个或两个零点，则开环传递函数含有两个极点和一个或两个零点，则n若复平面上有根轨迹，根轨迹一定是圆或圆弧。若复平面上有根轨迹，根轨迹一定是圆或圆弧。n简单绘制方法：依据复平面上的对称性和圆的直径画圆；已知根轨迹简单绘制方法：依据复平面上的对称性和圆的直径画圆；已知根轨迹上的三点画圆。上的三点画圆。n应用举例应用举例第9页，本讲稿共13页第四节第四节 参量根轨迹参量根轨迹一、问题的提出：研究其它参量变化
6、对系统性能的影响，并简化研究过程。一、问题的提出：研究其它参量变化对系统性能的影响，并简化研究过程。二、解决问题的方法：等效根轨迹方程的引入（数学变换）。二、解决问题的方法：等效根轨迹方程的引入（数学变换）。三、可能引发的问题三、可能引发的问题1、等效根轨迹方程规范后右边为正、等效根轨迹方程规范后右边为正1，此时原一般根轨迹的绘制法则不能直接使用；，此时原一般根轨迹的绘制法则不能直接使用；2、等效开环零点的个数多于等效开环极点的个数；、等效开环零点的个数多于等效开环极点的个数；3、依据等效根轨迹方程绘制的根轨迹，其起点和终点一般不是原系统的开环零极点。、依据等效根轨迹方程绘制的根轨迹，其起点和
7、终点一般不是原系统的开环零极点。举举例例应用举例应用举例第10页，本讲稿共13页应用举例应用举例n例1 n例2n 例3结构特点零点个数多于极点个数两种绘图方法1）直接作图；2）零极点颠倒。第11页，本讲稿共13页第五节第五节 零度根轨迹零度根轨迹一、问题的提出：参量根轨迹引发出的实际问题一、问题的提出：参量根轨迹引发出的实际问题二、零度根轨迹方程及幅值和相角条件二、零度根轨迹方程及幅值和相角条件三、零度根轨迹（不同于一般根轨迹）部分法则三、零度根轨迹（不同于一般根轨迹）部分法则1 1、根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角应改为：、根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角应改为：2 2、实轴上的根轨迹与一般根轨
8、迹的分布互补。、实轴上的根轨迹与一般根轨迹的分布互补。3 3、根轨迹的出射角和入射角。、根轨迹的出射角和入射角。4 4、分支数不变，但零点不一定等于或少于极点的个数。可能有根轨迹起于无穷远处。、分支数不变，但零点不一定等于或少于极点的个数。可能有根轨迹起于无穷远处。举举例例第12页，本讲稿共13页第六节第六节 根轨迹分析法根轨迹分析法一、稳定性分析1、结构无条件稳定系统与参变量取值无关，根轨迹全部位于S平面左半部。2、结构条件稳定系统与参变量取值有关，根轨迹位于S左右两部。3、结构不稳定系统与参变量取值无关，至少有一支根轨迹全部位于S平面右半部。二、一般根轨迹给定输入下稳态误差的计算 1、根轨迹确定型别根轨迹在原点的起点个数 2、根轨迹上确定点的系统开环增益根轨迹增益与开环增益的比值关系三、动态性能指标的估算1、定性分析瞬态响应分量、阶跃响应曲线形式与根轨迹上特征根位置的关系2、利用闭环极点和闭环零点定量计算系统性能指标3、特殊点特性分析四、增加开环零极点对系统根轨迹的影响1、增加开环零点2、增加开环极点3、增加开环零极点控制系统设计及工程指导意义：合理改变系统的开环结构，使控制系统的稳定性及动静态性能得意改善！第13页，本讲稿共13页