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1、3-0 3-0 第三章教学基本要求第三章教学基本要求3-1 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律刚体定轴转动的动能定理和转动定律3-2 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动第1页/共36页教学基本要求教学基本要求一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念.二二、掌掌握握力力对对固固定定转转轴轴的的力力矩矩的的计计算算方方法法，了了解解转转动动惯惯量量的的概概 念念 (72(72学学时时不不要要求求用用积分计算转动惯量积分计算转动惯量).
2、).三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系.四、理解刚体定轴转动定律四、理解刚体定轴转动定律.五、理解角动量的概念五、理解角动量的概念,理解刚体定轴转动的角动量守恒定律理解刚体定轴转动的角动量守恒定律.七七、能能综综合合应应用用转转动动定定律律和和牛牛顿顿运运动动定定律律及及质质点点、刚刚体体定定轴轴转转动动的的运运动动学学公公式式计计算算质质点刚体系统的简单动力学问题点刚体系统的简单动力学问题.六六、会会计计算算力力矩矩的的功功 (72(72学学时时只只限限于于恒恒定定力力矩矩的的功功)、定定轴轴转转动动刚刚体
3、体的的转转动动动动能能和和对对轴的角动量轴的角动量.八八、能能综综合合应应用用守守恒恒定定律律求求解解质质点点刚刚体体系系统统的的简简单单动动力力学学问问题题.明明确确选选择择分分析析解解决决质质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.第2页/共36页3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律预习要点预习要点1.注意描述刚体定轴转动的运动学方法注意描述刚体定轴转动的运动学方法.2.阅读附录阅读附录1中矢量乘法中矢量乘法.力对转轴的力矩如何计算力对转轴的力矩如何计算?3.领会刚体定轴转动的动能定理的意义领会刚体定轴转动的动能定理的意义.注意区分平注意区分平动动
4、能和转动动能的计算式动动能和转动动能的计算式.注意力矩的功的计算注意力矩的功的计算方法方法.4.转动惯量的定义是什么转动惯量的定义是什么?转动惯量与哪些因素有关转动惯量与哪些因素有关?5.刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何?注意注意它的应用方法它的应用方法.第3页/共36页一、刚体及刚体定轴转动一、刚体及刚体定轴转动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）.刚体的运动形式：平动、转动.平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.转动分定轴转动和非定轴转动.转轴
5、不动,刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平面.第4页/共36页二、描述刚体定轴转动的物理量二、描述刚体定轴转动的物理量角位移 角坐标角速度角加速度O 定轴(Oz轴)条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转向的 取正，顺时针取负.第5页/共36页三、刚体定轴转动的力矩和力矩的功三、刚体定轴转动的力矩和力矩的功P*O(:力臂)刚体绕Oz轴旋转,O为轴与转动平面的交点，力 作用在刚体上点 P,且在转动平面内,为由点O 到力的作用点 P 的位矢.对转轴z的力矩 1.力矩 第6页/共36页力矩的功2.力矩作功 第7页/共36页四、刚体定轴转动的转动动能和转动惯量四、刚体定轴转动的转动动能和
6、转动惯量1.1.转动动能刚体内部质量为 的质量元的速度为 动能为刚体定轴转动的总能量（转动动能）第8页/共36页定义转动惯量相当于描写转动惯性的物理量.2.2.转动惯量单位：kg m2（千克米2）.刚体定轴转动动能计算式：对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为r，则转动惯量与平动动能比较转动动能第9页/共36页 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元 求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量.OOOO如转轴过端点垂直于棒 刚体的转动惯量与刚体的质量m、刚体的质量分布和转轴的位置有关.3.3.转动惯量的计算举例第10页/共36页求
7、质量 m 半径 R 的(1)均质圆环，(2)均质圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。解：(1)圆环：dm第11页/共36页o dm(2)圆盘：可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。第12页/共36页4.部分均匀刚体的转动惯量 薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直2r球体转轴沿直径第13页/共36页l 细棒转轴通过中心与棒垂直l 细棒转轴通过端点与棒垂直第14页/共36页五、刚体定轴转动的动能定理五、刚体定轴转动的动能定理 刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只有定轴转动动能的变化.由质点组动能定理第15页/
8、共36页 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.得刚体定轴转动的动能定理注意:2.刚体的定轴转动的动能应用 计算.1.如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论.总之，刚体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系.第16页/共36页六、刚体定轴转动的转动定律六、刚体定轴转动的转动定律由动能定理：取微分形式：两边除dt由于故得 刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.第17页/共36页七、牛顿定律和转动定律的综合应用 如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题仍然可以应
9、用隔离法.但应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动.把平动物体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方程.有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解.第18页/共36页例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘，质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力.受力图如下，设设rmm1m2解:第19页/共36页得解得解第20页/共36页 1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动惯量J1与小球的转动惯量J2之和.例:一
10、根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动.某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为 ，杆与竖直轴的夹角为 .设杆的质量为 、杆长为 l，小球的质量为 .求：1）系统对轴的转动惯量；2）在图示位置系统的转动动能；3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.解:l第21页/共36页2）系统的转动动能为：3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力.则系统所受重力对轴的力矩的大小为：l第22页/共36页3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律预习要点预习要点1.认识质点对定点的动量矩的定义，认识质点对定点的动量矩的定义，刚体对转轴的动刚体对转轴的动量矩如何计算量矩如何计算?
11、2.刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的怎样的?3.动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?第23页/共36页一、动量矩一、动量矩1.质点的动量矩动量矩 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的角动量大小 的方向符合右手法则.单位 或第24页/共36页 质点对定点O的动量矩 在某坐标轴Oz上的投影 称为该质点对轴Oz的动量矩.质点作圆运动时，其对过圆心O且运动平面垂直的轴Oz的动量矩：或又故得（取正号LZ与Oz同向，负号反向）第25页/共36页2、刚
12、体的动量矩因，所以 的大小为质元 对O 点的动量矩为：刚体关于O 的动量矩：第26页/共36页对于定轴转动，对沿定轴的分量 为：称刚体绕定轴转动的动量矩。刚体转动惯量：刚体绕定轴的动量矩：第27页/共36页L为正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz负向.对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.第28页/共36页二、刚体定轴转动时的动量矩定理二、刚体定轴转动时的动量矩定理刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.将上式变形后积分动量矩定理:作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量.由刚体定轴转动定律表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累,称为冲量矩.第29页/共36页动量矩守恒定律:当刚体转动系
13、统受到的合外力矩为零时，系统的动量矩守恒.三、动量矩守恒定律三、动量矩守恒定律若 ，花样滑冰跳水运动员跳水注意注意1.1.对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变.2.2.动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界的一条普遍规律.则常量.第30页/共36页（1 1）解：杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的反作用力过轴也无力矩.因此，球与杆在碰撞过程中，所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒.即：例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m、长为2l、可绕过与杆垂直
14、的光滑轴中心转动的细杆.有一质量为m的小球以与杆垂直的速度 与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 及杆的转动角速度.第31页/共36页弹性碰撞动能守恒（2 2）其中联立(1)、(2)式求解第32页/共36页例 匀质细棒：l、m，可绕通过端点O的水平轴转动。棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面的物体m相撞。该物体与地面的摩擦系数为 ，撞后物体沿地面滑行一距离 s 而停止。求撞后棒的质心C 离地面的最大高度 h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。分三个阶段进行分析。解：第一阶段：棒自由摆落的过程，机械能守恒。第33页/共36页第二阶段：碰撞过程。系统的对O轴的角动量守恒。第三阶段：碰撞后物体的滑行过程与棒的上升过程。物体作匀减速直线运动。联合求解，即得碰撞后棒的角速度：第34页/共36页 取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。棒向左摆的条件为：棒向右摆的条件为：棒的质心C上升的最大高度，也可由机械能守恒定律求得：第35页/共36页感谢您的观看！第36页/共36页