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1、第三章 刚体的定轴转动内容刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动动能转动动能转动惯量转动惯量转动定律转动定律角动量守恒定律角动量守恒定律非惯性系非惯性系(惯性力惯性力、惯性离心力惯性离心力)(角动量定理角动量定理、角动量角动量守恒定律守恒定律)(力矩力矩、力矩的功力矩的功、转动定律转动定律、定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理)(角量角量、运动方程运动方程)要求3.了解惯性力了解惯性力、惯性离心力。惯性离心力。1.理解理解力矩、转动惯量、转动动能、力矩、转动惯量、转动动能、角动量角动量 ；2.掌握掌握转动定律转动定律、角动量守恒定律角动量守恒定律；讲课学时讲课学时4 学时学时作业作业:习习 题题 3
2、2，38，39。刚体刚体(rigid body)：一一 刚体的运动平动平动刚体运动时，其上任意两点的连线刚体运动时，其上任意两点的连线，在运动过程中始终保持其方向不变在运动过程中始终保持其方向不变。在任何情况下，其形状和大在任何情况下，其形状和大小都不发生任何变化的物体小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型刚体是一种理想模型 平动平动(translation)刚体的平动遵从质点运动的规律刚体的平动遵从质点运动的规律刚体的运动刚体的运动转动转动 3-1 刚体的定轴转动刚体运动时，刚体上所有的点都绕同一条刚体运动时，刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动就称为直线作圆周运动，这种运
3、动就称为转动转动。这条直线称为这条直线称为转轴转轴。定轴转动定轴转动二二 描述刚体运动的物理量 1.角位移角位移(angular displacement)刚体上的各点在相同的时间刚体上的各点在相同的时间内所转过的角度是相同的内所转过的角度是相同的转动转动转轴是固定不动的，就称为转轴是固定不动的，就称为 定轴转动定轴转动。(rotation)(fixed-axis rotation)特征 :角位置角位置 t 时间内转过时间内转过角度角度，2.角速度角速度(angular velocity)平均角速度平均角速度角位移角位移瞬时角速度瞬时角速度角速度的方向角速度的方向用右手确定用右手确定质元的线速
4、度质元的线速度3.角加速度角加速度(angular acceleration)方向方向：与角速度增量的方向相同与角速度增量的方向相同角位移角位移“rad”角速度角速度“rad s1”角加速度角加速度“rad s2”单位单位:4.刚体定轴转动的运动方程刚体定轴转动的运动方程匀角速运动的运动方程匀角速运动的运动方程匀变角速运动的运动方程匀变角速运动的运动方程 切向加速度切向加速度(tangential acceleration)法向加速度法向加速度(normal acceleration)一一 刚体的转动动能Ek=+(rotational kinetic energy)3-2 转动动能 转动惯量令
5、=J+质点的动能质点的动能转动动能转动动能 对应对应 v J 对应对应 m二二 转动惯量 (moment of inertia)J 与 m 对应刚体转动惯性大小的量度 dm=dV dm=dSdm=dl质量质量质点惯性大小的量度转动惯量转动惯量体分布体分布面分布面分布线分布线分布 单位单位:kg m2说明：1.J 与刚体的质量有关与刚体的质量有关；2.质量一定质量一定，与质量的分布有关与质量的分布有关；3.与轴的位置有关与轴的位置有关。因此叫作绕轴因此叫作绕轴的的 转动惯量转动惯量。转动惯量的计算转动惯量的计算例1 质量为质量为m，半径为半径为 r 的均匀细圆环的均匀细圆环，解：根据转动惯量的定
6、义求解根据转动惯量的定义求解。对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。d J=R2 dmJ=mR2J=R22R=m R22R=m 例2 质量为 m，长为 L 的均匀细棒对通过其中心并与棒垂直的轴的转动惯量。解：d J=x2dxJ=d J 讨论：如果转轴通过细棒的一端且与棒垂直，如果转轴通过细棒的一端且与棒垂直，则转动惯量为则转动惯量为J=x2 dm转动惯量是对转轴而言的 平行轴定理平行轴定理 转轴到质心的距离转轴到质心的距离一一 力矩M=F d=F r sin M=单位单位：(moment of force,torque)r F“Nm”3-3 转动定律说明
7、：力矩的方向力矩的方向:右手螺旋法右手螺旋法则确定则确定定轴转动，定轴转动，力矩的方向力矩的方向与与 转轴转轴 平平行，力矩只行，力矩只有两种可能有两种可能的取向。求的取向。求和时用代数和时用代数和。和。例3 一半径为 R，质量为 m 的 匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为，令圆盘最初以 角 速 度0 绕通过中心且垂直盘面的轴转动，问它 解：圆盘受摩擦力矩的作用而 停 止 转动，可根椐转动定律去求。摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，因此摩擦阻力矩的计算要用积分法。将经过多少时间才停止转动？把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dMf =rdm
8、 g dm=r d dr e 所受阻力矩=e r 2 d dr g圆盘所受阻力矩为 Mf=dMf m=eR2 阻力矩使圆盘减速，圆盘获得负的加速度设圆盘经过时间 t 停止转动t=求时间可用刚体的运动学公式=0+t=0，求出，就可求出时间 t 可由转动定律求得 如果要求转过的圈数 由式 2=02 +2(0)求讨论：2.力矩的功(work done by a torque)元功：dA=F ds cos=F r cosd d 很小，ds r F 与 r 间夹角+=2cos=sindA=F r cosd=F r sin d=M d在 M 作用下，从 t1、1 t2、2 A=恒力矩A=M(21)=M d
9、A=F dr3.转动定律 (law of rotation)实验指出：M，1JM=JM 对应对应 F J 对应对应 m 对应对应 a 说明：M、J、均对同一转轴而言均对同一转轴而言转动转动定律定律F=ma 4.定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理dA=M ddA=J d M 作用下作用下，从从 t1、1 t2、2 (theorem of kinetic energy)质点的动能定理质点的动能定理刚体的刚体的动能定理动能定理例4 一根质量为 m、长为 L 的均匀细 棒 OA(如图)，可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时的角速度。解：棒受
10、到棒受到 重力的作用重力的作用，作作用在棒的中心点用在棒的中心点，方向竖直向下方向竖直向下；轴与棒之间没有轴与棒之间没有摩擦力摩擦力，轴对棒轴对棒作用的支承力垂作用的支承力垂直棒和轴的接触直棒和轴的接触面且通过面且通过 O 点点，在棒的下摆过程在棒的下摆过程中中，此力的方向和大小是随时改变的此力的方向和大小是随时改变的。在棒在棒下摆过程中下摆过程中，支承力通过支承力通过 O 点点，其其力矩等力矩等于零于零棒转过角位移棒转过角位移 d，重力矩作的元功重力矩作的元功重力力矩是变重力力矩是变力矩力矩，大小为大小为 dA=重力矩所作的总功重力矩所作的总功 重力矩作的功重力矩作的功就是重力作的就是重力作
11、的功，也可以用功，也可以用重力势能的差重力势能的差值来表示值来表示另解另解：可以用定义式去求可以用定义式去求=ddt M=Jd=问题问题：1.舞蹈演员和花样滑冰运动员的旋转舞蹈演员和花样滑冰运动员的旋转 3-4 角动量守恒定律 2.跳水运动员空中转体跳水运动员空中转体问题表明：问题表明：1.角动量定理角动量定理 M=J M=M dt=d(J)无力矩作用，转动无力矩作用，转动状态为什么会改变状态为什么会改变(theorem of angular momentum)F dt=d(mv)质点动量定理质点动量定理M dt力矩对转轴的冲量矩力矩对转轴的冲量矩J刚体的角动量或动量矩刚体的角动量或动量矩(m
12、oment of momentum)Mdt=d(J)在在 M 的作用下，刚体从的作用下，刚体从 t1,1 t2 ,2，M 在在 t2 t1 时间内的冲量矩为时间内的冲量矩为=J2 J1冲量矩冲量矩 “N m s”角动量角动量 “kg m 2 s-1”单位单位:角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式角动量定理角动量定理角动量与动量矩角动量与动量矩J=m r2v r 矢量式矢量式r mv 动量矩动量矩 J=r mv=m v r(力矩力矩 M=rF)L=r p 2.角动量（动量矩）守恒定律角动量（动量矩）守恒定律如果如果 M=0，J2 J1=0J2=J1结论结论:当刚体不受力矩当刚体不受力矩 M
13、作用时作用时，刚体的角动量保持不变。刚体的角动量保持不变。(law of conservation of angular momentum)角动量守恒定律角动量守恒定律1.转动惯量和角速度均保持不变；转动惯量和角速度均保持不变；2.转动惯量改变，角速度也同时改变，转动惯量改变，角速度也同时改变，J，角动量守恒定律 是是 自然界中的一条 基本定律，不但不但 在宏观世界中成立，而且而且 在微观领域中也是成立的；J，但两者的乘积保持不变。但两者的乘积保持不变。说明：角动量保持不变的情况有两种可能角动量保持不变的情况有两种可能：例5 如图所示如图所示，一质量为一质量为 m 的小球的小球 系系在轻绳的一
14、端在轻绳的一端，绳穿过一竖直的管子绳穿过一竖直的管子；一手一手 握管握管，另一手另一手执绳执绳，先使小先使小球以速度球以速度 v0 在在水平面内沿半水平面内沿半径为径为 r0 的圆周的圆周运动运动，然后向然后向下拉绳下拉绳，使小使小球的半径减小球的半径减小到到 r，求此时小球的速度求此时小球的速度。解：作用于作用于小球上的力沿着小球上的力沿着半径方向指向圆半径方向指向圆心心，对小球的力对小球的力矩为零矩为零，小球在小球在运动过程中角动运动过程中角动量量(或者动量矩或者动量矩)守恒守恒。据角动量守恒定律有据角动量守恒定律有m v r=m v0 r0向下拉绳的过程中向下拉绳的过程中，小球速度不断地
15、增大小球速度不断地增大如果要求角速度如果要求角速度m r 2=m r020角速度迅速增大讨论：例6 一质量均匀的 球形 天体，半径为 R1，自转周期为 T1，若干年后，由于引力凝聚，半径收缩到 R2，自转周期为 T2。求它们自转周期之比。解：天体自转有其自转的角速度，自转一周所扫过的角度 为 2，转 过 一 圈 所用的时间为 2，即周期。于是自转周期之比为求求21 天体自转天体自转，所受外力矩为零所受外力矩为零，角动量守恒角动量守恒J11=J22球体通过直径的轴的转动惯量为球体通过直径的轴的转动惯量为 R121=R222 周期比 测得一车轮半径为测得一车轮半径为 R，将其悬挂起来将其悬挂起来，
16、使之使之能绕自己的轴转动能绕自己的轴转动。用一根绳在上面缠绕若干圈用一根绳在上面缠绕若干圈后后，另一端系一质量为另一端系一质量为 m 的物体的物体，现测得现测得 m 从从禁止开始下落距离禁止开始下落距离 h 所需时间为所需时间为 t，试计算车轮试计算车轮的转动惯量的转动惯量。物体受重力物体受重力 mg车轮受绳子的拉力车轮受绳子的拉力 T 对于车轮对于车轮TR受绳子的拉力受绳子的拉力 T=JmgT T 对于物体对于物体mg T T=T a=at=h=at22 J=mR2也可以从能量的角度来考虑也可以从能量的角度来考虑=maRmgh=v=at v=R 例：恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆发，这
17、时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星的内核却向内坍缩，成为体积 很小的中子星。中子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物质就有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每 45 天转一周，它的内核半径 R0 约为 2107m，坍缩成半径 R 仅为6103 m 的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后的星体内核均看作是匀质圆球。解：在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因此恒星的角动量应该守恒，即 J00 =J=6 rads-1由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在星体周围形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出很强的无线电波、光或 X 射线。当这个辐射束扫过地球时，就能检测到脉冲信号，因此中子星又叫脉冲星。
18、已探测到的脉冲星超过 300 个 例：我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心 O为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半径 R=6378 km，人造卫星 距地面最近距离 l1=439 km，最 远距离 l2=2384 km。若 人造卫星在 近 地点 A1 的速度 v1=8.10 kms，求人造卫星在远地点 A2 的速度。解：如认为人造卫星在运动时仅受到地球对它的引力，由于这引力始终指向地球中心 O，因而对 O 点来说没有 外力矩作用 在卫星上，所以人造卫星在运动过程中对 O点的角动量守恒。人造卫星在近地点的角动量(动量矩)m v1(R+l1)人造卫星在远地点的角动量(动量矩)m v2(
19、R+l2)角动量守恒m v1(R+l1)=m v2(R+l2)一一 惯性系惯性系1.惯性系惯性系 牛顿运动定律成立的参考系称为牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系惯性系，也称为也称为 静止参考系静止参考系。实验表明实验表明，任何相对于任何相对于惯性系作匀速直线运动的参考系惯性系作匀速直线运动的参考系，也称为惯也称为惯性系性系。在处理力学问题时在处理力学问题时，如果要求精度不如果要求精度不高时高时，常常把地球看作是惯性系常常把地球看作是惯性系，这是近似这是近似的的(由于地球自转由于地球自转，自转角速度为自转角速度为 7.310-5 rad s-1 )。太阳是太阳是 惯性系惯性系。和和 非惯性系非惯
20、性系(inertial system)3-5 非惯性系(2)非惯性系非惯性系(noninertial system)牛顿运动定律不是在任何参考系中都成立牛顿运动定律不是在任何参考系中都成立例如例如，当车紧急刹车时当车紧急刹车时，车厢里的人看到车厢里的人看到其他人向前倾倒其他人向前倾倒，好象有人在拉他或者在好象有人在拉他或者在推他推他，车厢里的人以车为参考车厢里的人以车为参考，用牛顿定用牛顿定律不能解释律不能解释，没有施力物体没有施力物体。牛顿定律不成立的参考系称为牛顿定律不成立的参考系称为 非惯性系非惯性系2.惯性力(inertial force)车厢以加速度车厢以加速度 a 向右运动向右运动
21、,地面上的人地面上的人看到车厢里的物体随车一起运动看到车厢里的物体随车一起运动，符合符合牛顿运动定律牛顿运动定律 车厢里的人看到车厢里的物体以车厢里的人看到车厢里的物体以 a 运动运动，物物体以体以 a 运动运动，它应该受到力的作用它应该受到力的作用，但没有但没有有施力物体有施力物体，这个力称为这个力称为 惯性力惯性力。大小为大小为F惯=ma F惯=ma3.惯性离心力惯性离心力(inertial centrifugal force)F 当车转弯时当车转弯时，车厢里的人感到好象有一个车厢里的人感到好象有一个力在推力在推（或者拉或者拉）向外侧向外侧，这个力找不到这个力找不到施力物体施力物体，把这个
22、力称为把这个力称为 惯性离心力惯性离心力=ma+F惯观察转动的圆盘上的物体观察转动的圆盘上的物体地面上的地面上的观察者观察者 物体受绳的拉力作圆周运动物体受绳的拉力作圆周运动，拉力为向心力拉力为向心力，符合牛顿定律符合牛顿定律随盘转动随盘转动的观察者的观察者物体受绳的拉力而处于禁止，物体受绳的拉力而处于禁止，那物体还应受一等大反向的力那物体还应受一等大反向的力的作用，这力称为的作用，这力称为惯性离心力惯性离心力向心力向心力惯性离心力的大小与向心力的大小相等惯性离心力的大小与向心力的大小相等惯性离心力的方向惯性离心力的方向：注意：惯性离心力与离心力的区别惯性离心力与离心力的区别，离心力是离心力是
23、向心力的反作用力向心力的反作用力，有施力物体有施力物体，而惯而惯性离心力没有施力物体性离心力没有施力物体！惯性离心力的应用惯性离心力的应用：高速离心机高速离心机=mr2沿着半径方向向外沿着半径方向向外，即背离转轴向外即背离转轴向外物体的重量物体施于承托物的力就是物体的重量。位于地面纬度为 处的物体的重量。物体受力:万有引力 F 地面对物体的支撑力F支 物体受到的惯性离心力F惯离大小为F惯离=mr2=m2Rcos 物体在地面上静止，这三力的合力应为零F+F支+F惯离=0P=F支=P 2=F 2+F惯离2 2 F F惯离 cos=F 2 很小，略去4 项P 2=F 2 2 F m2R cos2 =
24、F 2（1 2 m2R cos2F）P=F（1 2 m2R cos2F）1 2 2 F m2R cos2+m24R2 cos2F +F惯离 F(1 m2R cos2F)=F m2R cos2(a+b)n=a n+na n-1b+物体的重量随所处的纬度的增高而增大。在赤道处，=0，重 量最小；在两极处，=90o，重量最大。重力加速度与纬度有关 解：在液在液体体(x，y)附近附近取小质元取小质元 dm 重力重力 P=dm g 液体对它的压液体对它的压 力力 F支 惯性离心力惯性离心力 F惯=dm2 x 在非惯性系中在非惯性系中，质元处于静止质元处于静止，有有P+F支+F惯=0 xyPF支F惯Oxy
25、x 方向方向 F支 sin+dm2 x=0F支 sin=dm2 x y 方向方向F支 cos dm g =0F支 cos=dm g 分离因数分离因数整个液面是一个旋转抛物面整个液面是一个旋转抛物面，容器边缘容器边缘处处，x=R，液面高度差液面高度差 进动(preccesion)高速运动物体绕自身轴转动的同时高速运动物体绕自身轴转动的同时,其自转轴其自转轴还将绕另一轴回转还将绕另一轴回转,这种回转现象叫进动这种回转现象叫进动。拉莫拉莫(Lamor)进动进动 原子中的电子同时参与绕核运动与电子原子中的电子同时参与绕核运动与电子本身的自旋本身的自旋，都具有角动量都具有角动量，在外磁场中在外磁场中，电子将以外磁场方向为轴线作进动电子将以外磁场方向为轴线作进动。这就是这就是拉莫进动拉莫进动。内 容 小 结角速度角加速度线量与角量的关系v=rat=rv=r an=r2运动方程转动定律角动量定理M dt=d(J)角动量守恒 J=恒矢量转动动能定理 M=0 J2=J1dm=dl 转动惯量(dS，dV)