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1、第三章第三章刚体的定轴转动刚体的定轴转动3-0 3-0 第三章教学基本要求第三章教学基本要求3-1 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律刚体定轴转动的动能定理和转动定律3-2 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念. .二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概 念念 三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能
2、转换关系换关系. .四、理解刚体定轴转动定律四、理解刚体定轴转动定律. .五、理解角动量的概念五、理解角动量的概念, , 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律理解刚体定轴转动的角动量守恒定律. .七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题. .六、会计算力矩的功六、会计算力矩的功 ( (只限于恒定力矩的功只限于恒定力矩的功) ) 、定轴转动刚体的、定轴转动刚体的转动动能和对轴的角动量转动动能和对轴的角动量. . 八、能综合应用守恒定律求解质点
3、刚体系统的简单动力学问题八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. . 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序. . 预习要点预习要点1. 注意描述刚体定轴转动的运动学方法注意描述刚体定轴转动的运动学方法.2. 阅读附录阅读附录1中矢量乘法中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算力对转轴的力矩如何计算?3. 领会刚体定轴转动的动能定理的意义领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平注意区分平动动能和转动动能的计算式动动能和转动动能的计算式. 注意力矩的功的计算注意力矩的功的计算方法方法.4. 转动惯量的定义
4、是什么转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关转动惯量与哪些因素有关?5. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意注意它的应用方法它的应用方法. 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）组）.刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆
5、周运动. 转动分定轴转动和非定轴转动转动分定轴转动和非定轴转动. 转轴不动转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平面垂直于转轴的平面叫转动平面.)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标tttddlim0角速度角速度角加速度角加速度tddxz)(tO 定轴定轴(Oz轴轴)条件下，由条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转轴正向俯视，逆时针转向的向的 取正，顺时针取负取正，顺时针取负.、刚体的匀变速转动刚体的匀变速转动20000)(21)(tttt)(00tt )(2020220 （下一页）（下一页）非匀变速转动非匀变速转动时：时： 求导
6、积分求导积分类似于类似于 匀变速直线动匀变速直线动但是但是 切记！切记！（角加速度为恒量）（角加速度为恒量）线量线量速度、加速度速度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度rvrararvnt22角量与线量的关系角量与线量的关系 一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同；各点的线速度相同；各点的线速度 v 与各点到转轴的距离与各点到转轴的距离 r 成成正比，距离越远，线速度越大；同样，距离越远正比，距离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切向加速度和法向加速度也越大。处，其切向加速度和法向加速度也越大。2422raaatn总加速度：总加速度：求
7、：求： t =6 0 s时的转速时的转速 ； 角加速随时间变化的规律；角加速随时间变化的规律； 启动后启动后6 0 s 内转过的圈数。内转过的圈数。解：解：根据题意转速随时间的变化关系，根据题意转速随时间的变化关系， 将将t =6 0 s 代入，即得：代入，即得：)(68950)1 (100sradet（下一页）（下一页）例：某种电动机启动后转速随时间变化例：某种电动机启动后转速随时间变化),1 (0tes021009srad式中式中的关系为：的关系为： t =6 0 s 时转过的角度为时转过的角度为dtedttss)1 (60060rad936则则 t =6 0 s 时电动机转过的圈数时电动
8、机转过的圈数圈8752N)20()05026(9600stet角加速度随时间变化的规律为：角加速度随时间变化的规律为：)(5420sradeedtdttAz*OFdFrMzsinMFrd( :力臂力臂)d 刚体绕刚体绕Oz轴旋转轴旋转, O为轴为轴与转动平面的交点，力与转动平面的交点，力 作用作用在刚体上点在刚体上点 P , 且在转动平面且在转动平面内内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的位矢的位矢. Fr 对转轴对转轴z的力矩的力矩 F 力矩力矩 MsFrFWdcosdd21dMW力矩的功力矩的功力矩作功力矩作功 orvFxvFOxrtFrdddsindFrM转动动能转动动能
9、2ivim21刚体内部质量为刚体内部质量为 的质量元的速度为的质量元的速度为 imirivniiirm122)(212222211k212121nnmmmEvvvniim1212iv动能为动能为刚体定轴转动的总能量（转动动能）刚体定轴转动的总能量（转动动能）ni2ii)(rm121niiirmJ12定义定义转动惯量转动惯量niiirm12相当于描写转动惯性的物理量相当于描写转动惯性的物理量. .转动惯量转动惯量单位：单位：kg m2（千克（千克米米2）.2k21JE刚体定轴转动动能计算式：刚体定轴转动动能计算式： 对质量连续分布的刚体，任取质量元对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴其到
10、轴的距离为的距离为r，则，则转动惯量转动惯量mrJd2与平动动能与平动动能2k21vmEniiirmE122k)(21比较转动动能比较转动动能 刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只有定轴转动动能的变化变化只有定轴转动动能的变化.由质点组动能定理由质点组动能定理0kkinexEEWW, 0inW0dexMW20k02k21,21JEJE 合外力矩合外力矩对绕定轴
11、转动的刚体所作的功等于刚体对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的转动动能的增量增量.得刚体定轴转动的动能定理得刚体定轴转动的动能定理2022121d0JJMW注意注意: 2. 刚体的定轴转动的动能应用刚体的定轴转动的动能应用 计算计算.2k21JE1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚总之，刚体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系.转动惯量转动惯量 J与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素
12、：刚体的质量刚体的质量刚体的形状刚体的形状转轴的位置转轴的位置niirmJ12J称为称为刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量，与质点的质，与质点的质量相对应。刚体转动动能与质点运动动能在量相对应。刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上具有相似性。表达形式上具有相似性。注意：转动惯量注意：转动惯量是刚体转动惯性是刚体转动惯性的量度。的量度。 iiirmJ2 若质量连续分布若质量连续分布 dmrJ2在（在（SI）中，）中，J 的单位：的单位：kgm2dldm质量为线分布质量为线分布dsdm质量为面分布质量为面分布dVdm质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别为质量的分别为质量的线密度、
13、面密线密度、面密度和体密度。度和体密度。线分布线分布体分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布面分布（下一页（下一页）几种常见形状的刚体的转动惯量几种常见形状的刚体的转动惯量lrrJ02d32/02121d2lrrJl231ml 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处处的质量元的质量元 rr,mddrrmrJddd22 求求质量为质量为m、长为、长为l的的均匀细长棒，对通过棒中心均匀细长棒，对通过棒中心和过端点并与棒垂直
14、的两轴的转动惯量和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量.lO Ordrrd2l2lO O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒 刚体的转动惯量与刚体的刚体的转动惯量与刚体的质量质量m、刚体的、刚体的质量分布质量分布和和转轴的位置转轴的位置有关有关.转动惯量的计算举例转动惯量的计算举例解解:222mrdmrdmrJJ J 是可加的，所以若为薄圆是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。筒（不计厚度）结果相同。rOdm（下一页）（下一页）例、例、求质量为求质量为m、半径为、半径为r 的均匀细圆环的转动惯量。的均匀细圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆
15、心。在圆环上任取质量元在圆环上任取质量元 dm例例、求质量为求质量为M、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的均匀圆盘 的的=转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：解：任取半径为任取半径为r 宽为宽为dr 的同心细圆环的同心细圆环,lrdrdm 2drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdJJR403212 2221MRJlRm（下一页）（下一页）可见，可见，转动惯量与其厚度转动惯量与其厚度 l 无关无关。所以，实心圆柱对。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是其轴的转动惯量也是 。221MRJ 21222121d21JJMW由动能定理：由动能定理：
16、取微分形式：取微分形式：d)21(dd2JJM两边除两边除dtdtdddJtM由于由于ttdd,dd故得故得JtJMdd 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，：刚体作定轴转动时，合外力合外力矩矩等于刚体的转动惯量与角加速度的等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积乘积. 如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法. . 但但应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动. . 把平动物把平动物体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程
17、；把体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方程程. . 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解式补充方程，然后对这些方程综合求解. .例例: :一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为有质量为m1和和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘，的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量质量为为m，半径为，半径为r，绳子，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动
18、滑动. .求求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力力. .受力图如下，受力图如下，T1Fgm1T2F a12mm设设T2Fgm2aT1F ormm2m1JrFrFT1T2amFgm2T22amgmF11T1ra 解解: :得解得解,21)(2112mmmgmmarmmmgmm)21()(2112,21)212(21211mmmgmmmFTmmmgmmmFT21)212(21122221mrJ 1）系统对轴的转动惯量）系统对轴的转动惯量J是杆的转动是杆的转动惯量惯量J1与小球的转动惯量与小球的转动惯量J2之和之和.o例例: 一根质量均匀分布的细杆，一
19、端连接一个大小可以一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动不计的小球，另一端可绕水平转轴转动. 某瞬时细杆在某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为竖直面内绕轴转动的角速度为 ，杆与竖直轴的夹角，杆与竖直轴的夹角为为 . 设杆的质量为设杆的质量为 、杆长为、杆长为 l，小球的质量为小球的质量为 .1m2m求：求： 1）系统对轴的转动惯量；）系统对轴的转动惯量； 2）在图示位置系统的转动动能；）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.gm1gm2解解:l21JJJ22231lmml2231lmm)(2
20、）系统的转动动能为：）系统的转动动能为：2k21JE22213121lmm)(3）系统所受重力有杆的重立和小球的重力）系统所受重力有杆的重立和小球的重力.则系统所受重力对轴的力矩的大小为：则系统所受重力对轴的力矩的大小为：21MMMglmlgmsinsin221glmmsin)(2121ogm1l预习要点预习要点1. 认识质点对定点的动量矩的定义，认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动刚体对转轴的动量矩如何计算量矩如何计算?2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的怎样的?3. 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么动量矩守
21、恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?1. 质点的质点的vvmrprL0vr0L0Lrxyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的动量矩（角动量）点的动量矩（角动量）mrvrmLsin0v大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.0L单位单位 或或12smkgsJ 质点对定点质点对定点O的动量矩的动量矩 在某坐标轴在某坐标轴Oz上的投上的投影影 称为该质点对轴称为该质点对轴Oz的动量矩的动量矩. 质点作圆运动时，质点作圆运动时，其对过圆心其对过圆心O且运动平面垂直的轴且运动平
22、面垂直的轴Oz的动量矩：的动量矩： 0LzL000z0cosLLL或或00zcosLLLmrrmvL20sin又又rmv故得故得mrL2z（取正号（取正号LZ与与Oz同向，负号反向）同向，负号反向）z2. 刚体的刚体的JL Oirimiv 刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和点对同一轴的动量矩之和.niiLL1zrmniii12rmniii12)(J即即L为正，其方向沿为正，其方向沿Oz正向，反之沿正向，反之沿Oz负向负向.对刚体组合
23、系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.刚体所受的外力矩等于刚体动量矩的变化率刚体所受的外力矩等于刚体动量矩的变化率.121221dLLJJtMtt将上式变形后积分将上式变形后积分动量矩定理动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的的增量增量.tJMdd由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律tLtJMddd)(dLJtMd)(dd21dtttM表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累, 称为称为冲量矩冲量矩.动量矩守恒定律动量矩守恒定律: : 当刚体转动系统受到的当刚体转动系
24、统受到的合外力矩为合外力矩为零零时，系统的动量矩守恒时，系统的动量矩守恒. .若若 ，0 M花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水注意注意1. 1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变矩始终保持不变. .2. 2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样动量矩守恒定律与动量守恒定律一样, ,也是自然界也是自然界的一条普遍规律的一条普遍规律. .则则JL常量常量. .moLL 0Jmlmlvv0（1 1）0v解：解： 杆和球在竖直方向所受
25、重力和支持力与轴平行，对杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的反作用力过轴也无力矩反作用力过轴也无力矩. .因此，球与杆在碰撞过程中，因此，球与杆在碰撞过程中，所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒量守恒. .即：即：例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m、长为、长为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆. .有一质量有一质量为为m的小球以与杆垂直的速度
26、的小球以与杆垂直的速度 与杆的一端发生完全弹与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度性碰撞，求小球的反弹速度 及杆的转动角速度及杆的转动角速度.0vv弹性碰撞动能守恒弹性碰撞动能守恒222212121Jmmvv0（2 2）lmlmJ2231)2(121其中其中mo0v联立联立(1)、(2)式求解式求解mmm-m3)3(0vvlmmm)3(60v 例例 行星运动的开普勒第二定律认为，对于任一行星运动的开普勒第二定律认为，对于任一行星，由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相行星，由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角动量守恒定律证明之。等的面积。试用角动量守恒定律证明之。 解解
27、 将行星看为质点将行星看为质点, ,在在dt 时间内以速度时间内以速度 完成的完成的位移为位移为 , ,矢径矢径 在在d t 时间内扫过的面积为时间内扫过的面积为dS（图中阴影）。图中阴影）。 vtv drtvrSd21d根据质点角动量的定义根据质点角动量的定义 )(vrmvmrl则则tmlSd2dFrrOmtvd矢径在单位时间内扫过的面积（矢径在单位时间内扫过的面积（称为称为掠面速度掠面速度） mltS2dd 万有引力属于有心力万有引力属于有心力, , 行星相对于太阳所在处行星相对于太阳所在处 点点O的角动量是守恒的的角动量是守恒的, , 即即 = = 恒矢量，故有恒矢量，故有 lmltS2
28、dd恒量恒量 行星对太阳所在点行星对太阳所在点O 的角动量守恒，不仅角动量的角动量守恒，不仅角动量的大小不随时间变化，即掠面速度恒定，而且角动的大小不随时间变化，即掠面速度恒定，而且角动量的方向也是不随时间变化的，即行星的轨道平面量的方向也是不随时间变化的，即行星的轨道平面在空间的取向是恒定的。在空间的取向是恒定的。例例 质量为质量为m的小球系于细绳的一端，绳的另一端缚的小球系于细绳的一端，绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上在一根竖直放置的细棒上, , 小球被约束在水平面内小球被约束在水平面内绕细棒旋转绕细棒旋转, , 某时刻角速度为某时刻角速度为 1 1，细绳的长度为，细绳的长度为r1。当旋
29、转了若干圈后当旋转了若干圈后, , 由于细绳缠绕在细棒上由于细绳缠绕在细棒上, , 绳长绳长变为变为r2, , 求此时小球绕细棒旋转的角速度求此时小球绕细棒旋转的角速度 2。2r1r解解 小球受力小球受力 绳子的张力绳子的张力 , ,指向细棒；指向细棒；重力重力 ，竖直向下；支撑力，竖直向下；支撑力 , ,竖直向上。竖直向上。 与绳子平行与绳子平行, , 不产生力矩；不产生力矩； 与与平衡，力矩始终为零。所以平衡，力矩始终为零。所以, , 作用于小作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零球的力对细棒的力矩始终等于零, , 故小故小球对细棒的角动量必定是守恒的。球对细棒的角动量必定是守恒的。 TFg
30、mNFTFgmNF根据质点对轴的角动量守恒定律根据质点对轴的角动量守恒定律 2211rmvrmv式中式中v1是半径为是半径为r1时小球的线速度时小球的线速度, , v2是半径为是半径为r2时小球的线速度。时小球的线速度。 代入上式得代入上式得222121mrmr解得解得12212)(rr 可见可见, 由于细绳越转越短由于细绳越转越短, , 小球的角速度小球的角速度必定越转越大必定越转越大, 即即 。rr2121222111,rvrv而而 例例 半径为半径为R的光滑圆环上的光滑圆环上A点点有一质量为有一质量为m的小球，从静止开的小球，从静止开始下滑，若不计摩擦力，求小球始下滑，若不计摩擦力，求小球到达到达B B点时的角动量和角速度。点时的角动量和角速度。 解解 小球受重力矩作用，由角动量定理小球受重力矩作用，由角动量定理：tlmgRMddcostdd2,mRmRvllmRtdd2ABRnFvgm利用初始条件对上式积分利用初始条件对上式积分 lgRmll0032dcosd2/12/3sin2gmRl sin2 2RgmRldcosd32gRmll得到得到