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1、3.1 引言引言概述概述图像表示像素的二维阵列（矩阵）看成一组正交基合成 傅立叶变换（Fourier Transform)属于第二种表示,把图像看成一组正弦、余弦谐波合成。第1页/共36页 为什么要在频率域研究图像增强 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。有时也可以通过频率域试验，再选择空间滤波，实施在空间域进行。概述概述第2页/共36页概述概述 由于变换的目的是为了使图像处理简化，因而对图由于变
2、换的目的是为了使图像处理简化，因而对图像变换有以下三方面的要求：像变换有以下三方面的要求：1.变换必须是可逆的，它保证了图像变换后，还可以变变换必须是可逆的，它保证了图像变换后，还可以变换回来。换回来。2.变换应使处理得到简化。变换应使处理得到简化。3.变换算法本身不能太复杂。变换算法本身不能太复杂。图像变换的理论很多，如图像变换的理论很多，如离散的傅立叶变换离散的傅立叶变换(DFT)，沃尔什，沃尔什(Walsh)变换，变换，离散余弦变换离散余弦变换(DCT)及哈及哈特林特林(Hoteling)变换。其中最常用的是傅立叶变换，是变换。其中最常用的是傅立叶变换，是各种滤波的基础，在图像处理中广泛
3、应用。各种滤波的基础，在图像处理中广泛应用。第3页/共36页图像变换图像转换到另一种空间处理，特有性质 图像处理和分析的数学基础图像变换可分离变换统计变换Fourier变换(DFT)DCTWHTSTHT,Wavlet Transform概述概述Hotelling（KL变换）第4页/共36页线性系统线性系统1.1.系统的定义：系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。系统x(t)输入y(t)输出f(x,y)输入 g(x,y)
4、输出系统第5页/共36页线性系统线性系统2.2.线性系统的定义：线性系统的定义：1)1)对于某特定系统，有：对于某特定系统，有：x1(t)y1(t)(输入x1(t)产生输出y1(t)）x2(t)y2(t)(输入x2(t)产生输出y2(t)）该系统是线性的，则ax1(t)+bx2(t)ay1(t)+by2(t)(输入ax1(t)+bx2(t)就产生输出ay1(t)+by2(t)，其中a，b是常数）即系统的响应遵守叠加原理第6页/共36页线性系统线性系统2)2)线性系统线性系统移不变性移不变性的定义：的定义：对于某线性系统，有：对于某线性系统，有：x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：x(
5、t-T)y(t-T)则称该线性系统具有移不变性线性系统作为一个运算，应满足以上两个条件。第7页/共36页3.2 连续与离散的傅立叶变换连续与离散的傅立叶变换 连续傅立叶变换连续傅立叶变换 要研究波形由哪些频率组成的，需要把输入信号用一维傅立叶变换要研究波形由哪些频率组成的，需要把输入信号用一维傅立叶变换成频率域的信号，这是在处理和分析时间波形等一维信号方面的一个重成频率域的信号，这是在处理和分析时间波形等一维信号方面的一个重要手段。要手段。第8页/共36页连续傅立叶变换连续傅立叶变换1.1.一维连续傅立叶变换：一维连续傅立叶变换：定义定义设设 f(x)f(x)为实变量为实变量x x的连续函数，
6、的连续函数，f(x)f(x)的的 傅立叶变换傅立叶变换 表示为表示为 Ff(x),Ff(x),即：即：或写为：其中 j2=-1第9页/共36页连续傅立叶变换连续傅立叶变换 如果给定如果给定F(u),f(x)F(u),f(x)可以由可以由傅立叶逆变换傅立叶逆变换得到：得到：第10页/共36页连续傅立叶变换连续傅立叶变换几个概念几个概念 假假设设函函数数f(x)f(x)为为实实函函数数。但但一一个个实实函函数数的的傅立叶变换可能为复函数：傅立叶变换可能为复函数：F(u)=R(u)+jI(u)F(u)=R(u)+jI(u)（1 1）f(x)f(x)的的傅傅立立叶叶模模（傅傅立立叶叶谱谱）记记为为：|
7、F(u)|F(u)|F(u)|F(u)|=RR2 2(u)(u)+I I2 2(u)(u)1/21/2（2 2）f(x)f(x)的的傅傅立立叶叶模模平平方方（能能量量谱谱）记记为为：P(u)P(u)P(u)P(u)=|F(u)|F(u)|2 2 =R R2 2(u)(u)+I I2 2(u)(u)第11页/共36页连续傅立叶变换连续傅立叶变换（3 3）f(x)f(x)的傅立叶的傅立叶相位相位记为：记为：(u)(u)(u)(u)=tantan-1-1 (I(u)(I(u)/R(u)R(u)把把F(u)F(u)写写成成指指数数形形式式：F(u)=F(u)=F(u)F(u)e ej j(u)(u)（
8、4 4）傅立叶变换中的变量）傅立叶变换中的变量u u通常称为通常称为频率变量频率变量 这个名称源于尤拉公式中的指数项这个名称源于尤拉公式中的指数项 exp-j2exp-j2 ux=cos2ux=cos2 ux-jsin2ux-jsin2 uxux 如如果果把把傅傅立立叶叶变变换换的的积积分分解解释释为为离离散散项项的的和和的的极极限限，则则易易推推出出F(u)F(u)是是一一组组sinsin和和coscos函函数数项项的的无无限限和和，其其中中u u的的每每个个值值决决定定了了其其相相应应cos,cos,sinsin函函数数对对的的频频率。率。第12页/共36页连续傅立叶变换连续傅立叶变换2.
9、二维连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换 对于二维信号的图像信息来讲，一方面研究输入对于二维信号的图像信息来讲，一方面研究输入图像由哪些空间频率成分构成，另一方面在空间频率域图像由哪些空间频率成分构成，另一方面在空间频率域中进行各种处理。对于空间频率域来讲，有时也把图像中进行各种处理。对于空间频率域来讲，有时也把图像本身叫做本身叫做空间域空间域（space domain)。空间频率空间频率（space frequency)表示单位长度上的表示单位长度上的正弦浓淡变化的重复次数。用在横轴和纵轴上分别对应正弦浓淡变化的重复次数。用在横轴和纵轴上分别对应于于x轴方向和轴方向和y轴方向的空间频率为轴方向的
10、空间频率为u,v的二维平面（空的二维平面（空间频率域）来表示。间频率域）来表示。第13页/共36页连续傅立叶变换连续傅立叶变换yxuva)只在x轴方向有正弦波形状浓淡变化的场合空间域（正弦波形的浓淡变化）空间频率域空间频率第14页/共36页连续傅立叶变换连续傅立叶变换uvb)在斜方向上有正弦波形状浓淡变化的场合第15页/共36页连续傅立叶变换连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换：如如果果f(x,y)f(x,y)连连续续可可积积，并并且且F(u,v)F(u,v)可可积积，则则存存在在以以下下傅傅立立叶叶变变换换对对，其其中中u,vu,v为为频频率率变变量：量：第16页/共36页连续
11、傅立叶变换连续傅立叶变换二维傅立叶模、相位和模平方分别为：二维傅立叶模、相位和模平方分别为：模（傅立叶谱）：模（傅立叶谱）：|F(u,v)|=R|F(u,v)|=R2 2(u,v)+I(u,v)+I2 2(u,v)(u,v)1/21/2 相位：相位：(u,v)=tan(u,v)=tan-1-1(I(u,v)/R(u,v)(I(u,v)/R(u,v)模平方（能量谱）：模平方（能量谱）：P(u,v)P(u,v)=|F(u,v)|F(u,v)|2 2 =R R2 2(u,v)(u,v)+I I2 2(u,v)(u,v)第17页/共36页卷积卷积 这一节研究两个傅立叶变换之间的关系，它构这一节研究两个
12、傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系，这些关系成了空间域和频率域之间的基本关系，这些关系称为卷积。它们对深入理解在傅立叶变换基础上称为卷积。它们对深入理解在傅立叶变换基础上的图像处理技术是十分重要的。的图像处理技术是十分重要的。其中是积分伪变量。卷积的定义 两个函数f(x)和g(x)的卷积记作f(x)*g(x)，由下式所定义：第18页/共36页卷积卷积卷积定理卷积定理：如果如果f(x)的傅立叶变换是的傅立叶变换是F(u)，并且，并且g(x)的傅立的傅立叶变换是叶变换是G(u)，那么，那么即f(x)*g(x)的傅立叶变换是F(u)G(u)一个类似的结果是，在频域中的卷积归结
13、为在x 域中的乘积，即 以上两个结论称为卷积定理。第19页/共36页卷积卷积二维卷积公式：其中,是伪积分变量。卷积定理：式中f(x,y)的傅立叶变换是F(u,v)，g(x,y)的傅立叶变换是G(u,v)第20页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换(discrete Fourier transform：DFT)为了能用数字计算机计算傅立叶变换，为了能用数字计算机计算傅立叶变换，对信号与频谱应有如下要求：对信号与频谱应有如下要求：(1)它们都应是离散的；它们都应是离散的；(2)空域与频域都应为有限的。空域与频域都应为有限的。第21页/共36页1.1.一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换 假假设设
14、连连续续函函数数f(x),通通过过取取N个个 x单单位位的的采采样点，被离散化为一个序列：样点，被离散化为一个序列：f(x0),f(x0+x),f(x0+2 x),f(x0+N1 x)这里定义：这里定义：f(x)=f(x0+x x)其中假设其中假设x现在的离散值是：现在的离散值是：0,1,2,N-1。f(x0),f(x0+x),f(x0+2 x),.,f(x0+N1 x)表示相对与连续函数的任意表示相对与连续函数的任意N个均匀的空间采个均匀的空间采样。样。第22页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换 当当f(x)的取样始于原点，就可以用的取样始于原点，就可以用 f(0),f(1),f(2),
15、.,f(N1)来表示来表示 f(x0),f(x0+x),f(x0+2 x),f(x0+(N1)x)的等间隔的采样值序列。的等间隔的采样值序列。第23页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换函数函数f(xf(x0 0+x+x x)x)的离散傅立叶变换对有：的离散傅立叶变换对有：正变换正变换u=0,1,2,.N-1x=0,1,2,.N-1逆变换第24页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换注意：式中u=0,1,2,N-1,这也类似于x,F(u)也是一个取N个等量间隔u取样后的离散函数，它可表示为F(u)=F(u0+uu),若F(u)的取样始于原点，则相应为u,2 u,(N-1)u,即F(u)=F(
16、u u)。最终形成傅立叶变换对：f(x)F(u)第25页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换2.2.二维离散傅立叶变换二维离散傅立叶变换正变换正变换 u=0,1,2,M-1;v=0,1,2,.N-1x=0,1,2,.M-1;y=0,1,2,.N-1逆变换第26页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换若若M=NM=N正变换正变换 u,v=0,1,2,.N-1x,y=0,1,2,.N-1逆变换第27页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换 式中 u,v=0,1,N-1 式中 x,y=0,1,N-1 或：令 则第28页/共36页几点说明：以上式子不是唯一的表示式1)前面的系数也可以在逆变换前面加
17、1/N2,还可以正、反变换前各加 1/N。如：或第29页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换 傅立叶的正变换核为：2)指数项也可以用相反的正、负号。第30页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换 经常经常用亮度函数，通过对通过对傅立叶变换模的显示，傅立叶变换模的显示，来显来显示傅立叶变换图像。由于模的值域可能大于显示的值域，示傅立叶变换图像。由于模的值域可能大于显示的值域，因此要进行动态值域的压缩。因此要进行动态值域的压缩。另外，因为图像的亮度（灰度）正比于|F(u,v)|的幅度。但是，许多图像的傅立叶谱随着频率的增加而迅速减小，使高频项变得愈来愈不清楚。基于上述原因，为了提高视觉效果，常用
18、下面的D(u,v)函数来代替|F(u,v)|，即：D(u,v)=c log(1+|F(u,v)|)D(u,v)=c log(1+|F(u,v)|)其中：其中：c=255/k;c=255/k;k=max(log(1+|F(u,v)|)k=max(log(1+|F(u,v)|)离散傅立叶变换的显示第31页/共36页 矩阵表示（当M=N 时）正变换：即：这里第32页/共36页逆变换：即：第33页/共36页离散傅立叶变换离散傅立叶变换3.离散卷积离散卷积离散一维卷积离散一维卷积离散二维卷积的定义-相关的定义记为：h(t)=f(t)g(t)第34页/共36页卷积定理小结 卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。离散傅立叶变换离散傅立叶变换第35页/共36页感谢您的观看！第36页/共36页