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1、信号处理方法：时域分析法频域分析法特点：算术运算次数大大减少，可采用二维数字滤波技术 进行所需的各种图像处理第3章 图像变换第1页/共70页第3章 图像变换频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢程度的度量。例如交流电频率为5060Hz（交流电压）中波某电台1026kHz（无线电波）第2页/共70页第3章 图像变换图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空间频率（Spatial Frequency）。第3页/共70页第3章 图像变换每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换傅里叶变换
2、余弦变换正弦变换图像变换哈达玛变换沃尔什变换 K-L变换小波变换第4页/共70页3.1 傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.1.4快速傅里叶变换3.1.5傅里叶变换在图像处理中的应用第5页/共70页3.1 傅里叶变换傅里叶变换利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通），然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。低通滤波：在频率域中抑制高频信号高通滤波：在频率域中抑制低频信号第6页/共70页3.1.1 一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换傅里叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把一维信号（
3、或函数）分解成不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信号（或函数）。输入信号=傅里叶（正）变换=频率域信号函数 函数频率域信号=傅里叶反变换=输出信号函数 函数第7页/共70页3.1.1 一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换第8页/共70页3.1.1 一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换第9页/共70页3.1.1 一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换第10页/共70页AX03.1.1 一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换第11页/共70页3.1.1 一维傅里叶变换一维离散傅里叶变换第12页/共70页3.1.2 二维离散傅里叶变换二维连续函数的傅里叶变换第13页/共70页3.1.2 二维离散傅里叶变
4、换二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换第14页/共70页变换在一个周期内进行。M，N表示图像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅谱分别表示为：3.1.2 二维离散傅里叶变换第15页/共70页1.可分离性 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质基本性质：第16页/共70页3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质第17页/共70页图像中心化 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质2平移性：时第18页/共70页3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质3周期性第19页/共70页N/2-N/2 一个周期3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质4共轭对称性则第20页/共70页例：3.1.3
5、 二维离散傅里叶变换的性质5旋转不变性第21页/共70页3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质6分配性和比例性第22页/共70页3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质7平均值第23页/共70页为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定义域加以扩展3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理第24页/共70页3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理当卷积周期才避免交叠误差第25页/共70页3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理第26页/共70页3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质9离散相关定理第27页/共70页9离散相关定理3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质第28
6、页/共70页3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质傅里叶变换的问题 1）复数计算而非实数，费时。如采用其它合适的完备正交函数来代替傅里叶变换所用的正、余弦函数构成完备的正交函数系，可避免这种复数运算。2）收敛慢，在图像编码应用中尤为突出。第29页/共70页3.1.4 快速傅里叶变换在研究离散傅里叶计算的基础上，节省它的计算量，达到快速计算的目的第30页/共70页3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用傅里叶变换在图像处理中是一个最基本的数学工具。利用这个工具，可以对图像的频谱进行各种各样的处理，如滤波、降噪、增强等 a)有栅格影响的原始图像 b)傅里叶变换频谱图像第31页/共70页3.1.5 傅
7、里叶变换在图像处理中的应用用傅里叶变换去除正弦波噪声示例第32页/共70页3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 a)lena图 b)lena图的频谱第33页/共70页3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 c)增强纵轴上某一谱段的强度 d)傅里叶反变换的结果第34页/共70页3.2 离散余弦变换3.2.1离散余弦变换原理3.2.2离散余弦变换在图像处理中的应用第35页/共70页3.2.1 离散余弦变换原理第36页/共70页3.2.1 离散余弦变换原理第37页/共70页3.2.1 离散余弦变换原理第38页/共70页3.2.1 离散余弦变换原理第39页/共70页3.2.1 离散余弦变换原理性
8、质：1余弦变换是实数、正交。2离散余弦变换可由傅里叶变换的实部求得3对高度相关数据，DCT有非常好的能量紧凑性4对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT是K-L变换的最好近似第40页/共70页3.2.2 离散余弦变换在图像处理中的应用在图像的变换编码中有着非常成功的应用离散余弦变换是傅里叶变换的实数部分，比傅里叶变换有更强的信息集中能力。对于大多数自然图像，离散余弦变换能将大多数的信息放到较少的系数上去，提高编码的效率 第41页/共70页3.3 小波变换及其应用3.3.1多分辨率分析的背景知识3.3.2多分辨率展开3.3.3一维小波变换3.3.4快速小波变换算法3.3.5二维离散小波变换3.
9、3.6小波分析在图像处理中的应用第42页/共70页3.3.1 多分辨率分析的背景知识图像金字塔金字塔算法一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合一个金字塔图像结构 金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。第43页/共70页3.3.1 多分辨率分析的背景知识图像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔编码首先对图像用高斯脉冲响应作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失第44页/共70页3.3.1 多分辨率分析的背景知识图像金字
10、塔高斯和拉普拉斯金字塔编码拉普拉斯金字塔编码策略 第45页/共70页3.3.1 多分辨率分析的背景知识子带编码和解码 双通道子带编码和重建 第46页/共70页3.3.1 多分辨率分析的背景知识子带编码和解码子带图像编码的二维4频段滤波器组 第47页/共70页3.3.1 多分辨率分析的背景知识哈尔变换哈尔基函数是众所周知的最古老也是最简单的正交小波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：T=HFH其中，F是一个NN图像矩阵，H是NN变换矩阵，T是NN变换的结果 第48页/共70页3.3.1 多分辨率分析的背景知识哈尔变换哈尔基函数对图像的多分辨率分解 第49页/共70页3.
11、3.2 多分辨率展开函数的伸缩和平移给定一个基本函数,则的伸缩和平移公式可记为：第50页/共70页3.3.2 多分辨率展开函数的伸缩和平移函数的伸缩和平移 第51页/共70页3.3.2 多分辨率展开序列展开信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值的展开系数，是具有实数值的展开函数 第52页/共70页3.3.2 多分辨率展开尺度函数第53页/共70页3.3.2 多分辨率展开小波函数给定尺度函数，则小波函数所在的空间跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与V
12、j和Vj+1间的关系。尺度及小波函数空间的关系 第54页/共70页3.3.3 一维小波变换一维离散小波变换（DWT）第55页/共70页3.3.3 一维小波变换一维离散小波变换（DWT）Morlet 小波第56页/共70页3.3.3 一维小波变换一维离散小波变换（DWT）Mexihat小波 第57页/共70页3.3.4 快速小波变换算法离散小波变换算法 第58页/共70页3.3.4 快速小波变换算法离散小波逆变换 第59页/共70页3.3.5 二维离散小波变换对于MN的离散函数f(x,y)的离散小波变换对为：第60页/共70页3.3.5 二维离散小波变换二维离散小波变换的一次分解 第61页/共7
13、0页3.3.5 二维离散小波变换图像的二维离散小波变换第62页/共70页3.3.6 小波分析在图像处理中的应用小波变换傅里叶变换用在频谱分析和滤波方法的分析上。但傅里叶反映的是信号或函数的整体特征，而实际问题关心的是信号的局部范围中的特征。如，在音乐和语言信号中人们关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；对地震记录，关心什么位置出现反射波；在边缘检测中，关心的是信号突变部分的位置。引进的窗口傅里叶，用一个窗口去乘所研究的函数，然后进行傅里叶变换。但引入的这种变换窗口的尺寸和形状与频率无关而且是固定不变的。这与高频信号的分辨率应比低频信号高，因而与频率升高应当窗口减小这一要求不符，为此未能
14、得到广泛的应用与发展第63页/共70页3.3.6 小波分析在图像处理中的应用小波1)从分辨率看，小波很好地解决了时间与频率分辨率的矛盾，它巧妙的利用了非均匀分布的分辨率，在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率，而在高频段则采用低的频率分辨率和高的时间分辨率。即子波分析的窗宽是可变的，在高频时用短窗口，而在低频时，则使用宽窗口。2)小波并不一定要求是正交的，其时宽频宽乘积很小，因而展开系数的能量较为集中。子波变换的基本思想：是用一族函数去表示或逼进一信号或函数，这族函数称为子波函数集，它通过一基本子波函数的不同尺度的平移和伸缩组成，它的特点是时宽频宽乘积很小，且在时间和频率轴上都很集中。第64
15、页/共70页3.3.6 小波分析在图像处理中的应用小波的特点：a）能量集中b）易于控制各子带噪声c）与人类视觉系统相吻合的对数特征。d）突变信号检测中：由于分辨率随频率的不同而变化的特点，能准确定位信号的上升沿和下降沿。第65页/共70页3.3.6 小波分析在图像处理中的应用应用：1）图像压缩：小波把信号分解成具有不同时间和分辨率的信号2）正交小波变换在图像拼接和镶嵌中的应用把两个图像按不同尺度下的小波分量先拼接下来，然后再用程序重构整个图像，这样得到的图像可以很好地兼顾清晰度和光滑度两个方面的要求。第66页/共70页作业3-1离散傅里叶变换的性质及在图像处理中的应用？3-2小波变换有哪些特点？3-3求下列图像的二维离散傅里叶变换(a)长方形图像第67页/共70页作业(b)旋转45后的长方形图像yb0-bFEax-ay45x第68页/共70页作业3-4请实际编程做出以下图像的二维离散余弦变换886464486464第69页/共70页感谢您的观看。第70页/共70页