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1、1数字图像处理图像变换内容提要l主要介绍图像处理中常用的二维离散变换的定义、性质、实现方法及应用。l经典变换离散傅里叶变换（DFT）l离散余弦变换（DCT）l离散沃尔什-哈达玛变换（DWT）lK-L变换（KLT）l离散小波变换（DWT）及其应用知识要点知识要点 l余弦型变换：余弦型变换：l傅里叶变换和余弦变换。傅里叶变换和余弦变换。l方波型变换：方波型变换：l沃尔什沃尔什- -哈达玛变换。哈达玛变换。l基于特征向量的变换：基于特征向量的变换：lK-LK-L变换。变换。l从哈尔变换、短时傅里叶变换到小波变换。从哈尔变换、短时傅里叶变换到小波变换。l各种变换的定义和有关快速算法及实现方法。各种变换
2、的定义和有关快速算法及实现方法。3.1 3.1 二维离散傅里叶变换（二维离散傅里叶变换（DFTDFT）3.1.1 二维连续傅里叶变换二维连续傅里叶变换l定义：设 f (x, y) 是独立变量x和y 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为二维连续函数 f (x, y) 的傅里叶变换，并定义 为F (u, v) 的反变换。 f (x, y) 和F (u, v) 为傅里叶变换对。 |( , )|d df x yx y j2() ( , )( , )ed dux vyf x yF u vu v【例例3.1】求图3.1所示函数的傅里叶变换。 他其, 0,),(YyXxAyxf解：解： j2()j2j2
3、 0 0jj( , )( , )ed dededsin()sin()eeXYux vyuxvyuxvyF u vf x yx yAxyuXvYAXYuXvYsin() sin()( , )uXvYF u vAXYuXvY图3.1 二维信号f (x, y) 其幅度谱为其幅度谱为二维信号的频谱图（a）信号的频谱图）信号的频谱图 （b）图（）图（a）的灰度图）的灰度图图图3.2 信号的频谱图信号的频谱图 3.1.2 3.1.2 二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换l尺寸为MN的离散图像函数的DFT 1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuFl反变换可以通过对F(u,v)
4、求IDFT获得 1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxflF(u, v)即为f (x, y)的频谱，通常是复数：( , )( , )j ( , )F u vR u vI u v221/2|( , )| ( , )( , )F u vR u vIu v( , )( , )arctan( , )I u vu vR u v幅度谱幅度谱 相位谱相位谱 DFT幅度谱的特点幅度谱的特点 l 频谱的直流成分说明在频谱原点的傅频谱的直流成分说明在频谱原点的傅里叶变换里叶变换F(0, 0)等于图像的平均灰度级。等于图像的平均灰度级。l 幅度谱幅度谱|F(u, v)|关于原点对称。关于原点
5、对称。l 图像图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化，平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生变化。仅有相位发生变化。3.1.3 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质l1 1变换可分离性l二维DFT可以用两个可分离的一维DFT之积表示：11j2/j2/0011( , )e( , )eMNux Mvy NxyF u vf x yMN1j2/01( , )eMux MxF x vM式中，式中，1j2/01( , )( , )eNvy NyF x vf x yN结论：结论：（1）二维变换可以通过先进行二维变换可以通过先进行行变换行变换再进行再进行列变换列变换的两的两次一维
6、变换来实现。（次一维变换来实现。（2 2）也可以通过先求）也可以通过先求列变换列变换再求再求行变换行变换得到得到二维傅里叶变换。二维傅里叶变换。 图图3.3 用两次一维用两次一维DFT计算二维计算二维DFT 2 2周期性、共轭对称性及频谱中心化l周期性和共轭对称性来了许多方便。l首先来看一维的情况。l设有一矩形函数,求出它的傅里叶变换： ,0( )0,AxXf x其他jsin( )euXuXF uAXuXsin( )uXF uAXuX在进行在进行DFT之前用输入信号乘以（之前用输入信号乘以（-1）x，便可，便可以在一个周期的变换中求得一个完整的频谱。以在一个周期的变换中求得一个完整的频谱。 （
7、a）幅度谱）幅度谱 （b）原点平移后的幅度谱）原点平移后的幅度谱 图图3.4 频谱图频谱图 2211j(/2)j0011(/2)( )e( 1)( )eNNx u NxuxNNxxF uNf xf xNN 用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有：)2/, 2/() 1)(,(NvMuFyxfDFTyxl原点原点F(0,0)被设置在被设置在 u = M/2和和v = N/2上。上。l如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。谱的直流成分。 3离散卷积定理l设f (x, y)和g
8、(x, y) 是大小分别为AB和CD的两个数组，则它们的离散卷积定义为DFT ( , )* ( , )( , ) ( , )f x yg x yF u v G u vl卷积定理卷积定理1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxf【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。l为了增强显示效果，用对数对频谱的幅度进行压缩，然为了增强显示效果，用对数对频谱的幅度进行压缩，然后将频谱幅度的对数值用在后将频谱幅度的对数值用在010之间的值进行显示。之间的值进行显示。l【解解】MATLAB程序如下：程序如下：lI = imread(pout.tif);%读入图像读入图像lim
9、show(I); %显示图像显示图像lF1 = fft2(I); %计算二维傅里叶变换计算二维傅里叶变换lfigure, imshow(log(abs(F1)+1),0 10); l%显示对数变换后的频谱图显示对数变换后的频谱图lF2 = fftshift(F1); %将直流分量移到频谱图的中心将直流分量移到频谱图的中心lfigure, imshow(log(abs(F2)+1),0 10); l%显示对数变换后中心化的频谱图显示对数变换后中心化的频谱图（a）原始图像）原始图像 (b) 中心化前的频谱图中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱中心化后的频谱图图3.6 图像频谱的中心化图像频谱的
10、中心化 （a）原始图像 （b）图像的频谱图 （c）中心化的频谱图图3.7 傅里叶变换1.4 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT) 随着计算机技术和数字电路的迅速发展，在随着计算机技术和数字电路的迅速发展，在信号处理中使用计算机和数字电路的趋势愈信号处理中使用计算机和数字电路的趋势愈加明显。离散傅里叶变换已成为数字信号处加明显。离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具。理的重要工具。 快速傅里叶变换并不是一种新的变换，它是离快速傅里叶变换并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种算法。散傅里叶变换的一种算法。这种方法是在分析这种方法是在分析离散傅里叶变换中的多余运算的基础上，进而离散傅里叶
11、变换中的多余运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下得到的，所以消除这些重复工作的思想指导下得到的，所以在运算中大大节省了工作量，达到了快速运算在运算中大大节省了工作量，达到了快速运算的目的。的目的。对于一个有限长序列对于一个有限长序列 ，它的傅里叶变换由下式表示它的傅里叶变换由下式表示 ( )()x nnN01X mx n emNnNjmnN( )( ), ,0120 11(347) 令令 221,jjNNWeWex nNX m WnNmn( )( )101将正变换式（将正变换式（348）展开可得到如下算式）展开可得到如下算式X mx n WnNmn( )( )01因此，傅里叶变换对可
12、写成下式因此，傅里叶变换对可写成下式 (349） (348) XxWxWx NWXxWxWx NWXxWxWx NWX NxWxWx NWNNNNNNN( )( )( )()( )( )( )()( )( )( )()()( )( )()()()()()()()()00111011201110110001011011112021211 01 111 (350) ) 1()2() 1 ()0( )1()2() 1 ()0() 1)(1(1 ) 1(0) 1() 1(22120) 1( 11110) 1(00100NxxxxWWWWWWWWWWWWNXXXXNNNNNNN上面的方程式（350）可以
13、用矩阵来表示(351) 从上面的运算显然可以看出，要得到每一个频率分从上面的运算显然可以看出，要得到每一个频率分量，需进行量，需进行N次乘法和次乘法和N-1次加法运算。要完成整个次加法运算。要完成整个变换需要变换需要 次乘法和次乘法和N(N-1)次加法运算。当序列次加法运算。当序列较长时，必然要花费大量的时间。较长时，必然要花费大量的时间。 N2观察上述系数矩阵，发现观察上述系数矩阵，发现 是以为是以为N周期的，周期的，即即 Wmn()()mlNnhNm nWW(352) jWjWNN434,WWNN 112, 例如，当例如，当N=8时，其周期性如图时，其周期性如图36所示。由于所示。由于 所
14、以，当所以，当N=8时，时，可得：可得：WeNjNjN222cossin6W 5W 7W 4W 0W 3W 1W 2W 图 36 N=8 时 的周期性和对称性的周期性和对称性 mnW可见，离散傅里叶变换中的乘法运算有许多重复内可见，离散傅里叶变换中的乘法运算有许多重复内容。容。1965年库利图基提出把原始的年库利图基提出把原始的N点序列依次点序列依次分解成一系列短序列，然后，求出这些短序列的离分解成一系列短序列，然后，求出这些短序列的离散傅里叶变换，以此来减少乘法运算。散傅里叶变换，以此来减少乘法运算。 快速傅里叶变换简称快速傅里叶变换简称FFT。算法根据分解的特点。算法根据分解的特点一般有两
15、类，一般有两类，一类是按时间分解一类是按时间分解，一，一类是按频率类是按频率分解分解。下面介绍一下的基本形式及运算蝶。下面介绍一下的基本形式及运算蝶式流程图。式流程图。 1.4. 基数按时间分解的算法基数按时间分解的算法把把 x(n) 分成偶数点和奇数点分成偶数点和奇数点,即即:这种算法的流程图如图这种算法的流程图如图37所示：图所示：图(a)输入为顺序输入为顺序的，运算结果是乱序的；图的，运算结果是乱序的；图(b)输入为乱序的，运算输入为乱序的，运算结果是顺序的。结果是顺序的。x nxnnNxnxnnN1220 121210 121( )(), ,;( )(), , .蝶式运算流程图 (按时
16、间分解) 蝶式运算流程图 (按时间分解)1.4. 基数基数2按频率分解的算法按频率分解的算法 这种分解方法是直接把序列分为前这种分解方法是直接把序列分为前 点和后点和后 点两个序列，即点两个序列，即 N2N212, 2 , 1 , 0 2)(12, 2 , 1 , 0 )()(21NnNnxnxNnnxnx(355) 1.5 用计算机实现快速付傅里叶变换用计算机实现快速付傅里叶变换 利用利用 FFT 蝶式流程图算法在计算机上实现快速傅蝶式流程图算法在计算机上实现快速傅里叶变换必须解决如下问题：里叶变换必须解决如下问题：1）、）、 迭代次数迭代次数 r 的确定；的确定；2）、对偶节点的计算；）、
17、对偶节点的计算；3）、加权系数）、加权系数 的计算；的计算；4）、重新排序问题。）、重新排序问题。WNP(1) 迭代次数迭代次数r的确定的确定 由蝶式流程图可见，迭代次数由蝶式流程图可见，迭代次数 r 与与 N 有关。值有关。值可由下式确定可由下式确定 Nr2log(359) 式中式中 N 是变换序列的长度。对于前述基数是变换序列的长度。对于前述基数2的蝶式的蝶式流程图是流程图是2的整数次幂。例如，序列长度为的整数次幂。例如，序列长度为8则要三则要三次迭代，序列长度为次迭代，序列长度为16时就要时就要4次迭代等等。次迭代等等。(2) 对偶节点的计算对偶节点的计算 在流程图中把标有在流程图中把标
18、有 的点称为节点。其中下标的点称为节点。其中下标 l为列数，也就是第几次迭代，例如，为列数，也就是第几次迭代，例如， 则说明它则说明它是第一次迭代的结果。是第一次迭代的结果。 代表流程图中的行数，代表流程图中的行数，也就是序列的序号数。其中每一节点的值均是用前也就是序列的序号数。其中每一节点的值均是用前一节点对计算得来的。一节点对计算得来的。)(kxlx k1( )k 在蝶式流程图中，在蝶式流程图中，把具有相同来源的一对节点叫把具有相同来源的一对节点叫做对偶节点。做对偶节点。如如: 和和 就是一对就是一对对偶节点，因为它们均来源于对偶节点，因为它们均来源于 x(0) 和和 x(4) 。 对对偶
19、节点的计算也就是求出在每次迭代中对偶节偶节点的计算也就是求出在每次迭代中对偶节点的间隔或者节距。点的间隔或者节距。x10( )x14( ) 由流程图可见，第一次迭代的节距为由流程图可见，第一次迭代的节距为 ，第，第二次迭代的节距为二次迭代的节距为 ，第三次迭代的节距为，第三次迭代的节距为 等等。由以上分析可得到如下对偶节点的等等。由以上分析可得到如下对偶节点的计算方法。计算方法。4NN2N23)(kxl如果某一节点为如果某一节点为 ，那么，它的对偶节点为，那么，它的对偶节点为llNkx2式中式中 l 是表明第几次迭代的数字，是表明第几次迭代的数字，k 是序列的序是序列的序号数，号数，N 是序列
20、长度。是序列长度。(360) 例：如果序列长度例：如果序列长度N=8，求，求 的对偶节点的对偶节点。 x21( )可利用式（可利用式（360）计算，得）计算，得)3()1 ()1 ()3(281210812222xWxxxxNkxll则则xxW x21841313( )( )( )其正确性不难由流程图来验证。其正确性不难由流程图来验证。（3）加权系数）加权系数 的计算的计算 WNP 的计算主要是确定的计算主要是确定 P值。值。P 值可用下述方法值可用下述方法求得求得。 WNP (1)把把k值写成值写成r位的二进制数（位的二进制数（k 是序列的序号数，是序列的序号数，r 是迭代次数）；是迭代次数
21、）； （）把这个二进制数右移（）把这个二进制数右移 r-l 位，并把左边的空位位，并把左边的空位补零（结果仍为补零（结果仍为 r 位）；位）； （）把这个右移后的二进制数进行比特倒转；（）把这个右移后的二进制数进行比特倒转； （）把这比特倒转后的二进制数翻成十进制数就（）把这比特倒转后的二进制数翻成十进制数就得到得到p值。值。例：求例：求 的加的加 权系数权系数 。x22( )WP8 由由 和和 可知可知: :k=2=2，l=2=2，n=8=8， 则则x22( )WP8rNloglog2283 （）因为（）因为k=2=2，所以写成二进制数为，所以写成二进制数为010010； （）（）r- -l
22、=3-2=1=3-2=1，把，把010010右移一位得到右移一位得到001001； （）把（）把001001做位序颠倒，即做比特倒转，得到做位序颠倒，即做比特倒转，得到100100； （）把（）把100100译成十进制数，得到译成十进制数，得到4 4，所以，所以 P=4=4， 的加权值为的加权值为 。W84x22( ) 结合对偶节点的计算，可以看出结合对偶节点的计算，可以看出 具有下述规具有下述规律：律：如果某一节点上的加权系数为如果某一节点上的加权系数为 ，则其对偶，则其对偶节点的加权系数必然是节点的加权系数必然是 ，而且，而且 WNPWNPWNPN2WWNPNPN 2所以一对对偶节点可用下
23、式计算所以一对对偶节点可用下式计算 llPNllNkxWkxkx2)(11llPNlllNkxWkxNkx2)(211(361) (362) （4）重新排序）重新排序 由蝶式流程图可见，如果序列由蝶式流程图可见，如果序列 x(n) 是按顺序排列是按顺序排列的，经过蝶式运算后，其变换序列的，经过蝶式运算后，其变换序列 X(m) 是非顺序是非顺序排列的，即乱序的；反之，如果排列的，即乱序的；反之，如果 x(n) 是乱序的，是乱序的，那么，那么，X(m)就是顺序的。因此，为了便于输出使用，就是顺序的。因此，为了便于输出使用，最好加入重新排序程序，以便保证最好加入重新排序程序，以便保证 x(n) 与它
24、的变与它的变换系数换系数 X(m) 的对应关系。具体排序方法如下：的对应关系。具体排序方法如下： （）将（）将r位的二进制数比特倒转，即：位的二进制数比特倒转，即： )(1210rrlkkkkx也就是也就是 X mXk kkkrr()()0121)()(0121kkkkxkxrrllx kl( ) （）将最后一次迭代结果（）将最后一次迭代结果 中的序号中的序号数数k写成二进制数，即写成二进制数，即（）求出倒置后的二进制数代表的十进制数，（）求出倒置后的二进制数代表的十进制数，就可以得到与就可以得到与 x(k) 相对应的相对应的 X(m) 的序号数。的序号数。 例如：例如： N=8 N=8 的最
25、后迭代结果：的最后迭代结果： x x3 3(0) 000(0) 000倒置倒置000000十进制（十进制（0 0） x x3 3(1) 001(1) 001倒置倒置100100十进制（十进制（4 4） x x3 3(2) 010(2) 010倒置倒置010010十进制（十进制（2 2） x x3 3(3) 011(3) 011倒置倒置110110十进制（十进制（6 6） x x3 3(4) 100(4) 100倒置倒置001001十进制（十进制（1 1） x x3 3(5) 101(5) 101倒置倒置101101十进制（十进制（5 5） x x3 3(6) 110(6) 110倒置倒置011
26、011十进制（十进制（3 3） x x3 3(7) 111(7) 111倒置倒置111111十进制（十进制（7 7）53Matlab实现54Matlab实现 55Matlab实现 3.2 二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（DCT） l任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。3.2.1 一维离散余弦变换一维离散余弦变换l将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1以x = -1/2为对称轴折叠原来的实序列f (n) 得：1),1(10),(nNnfNnnf-N-10N-1NN+
27、1f (n)图图3.8 延拓示意图延拓示意图 2以2N为周期将其周期延拓，其中f（0）f（1），f（N1）f（N） 12),12(10),(NnNnNfNnnffc(2N n 1) = fc(n) 3对0到2N1的2N个点的离散周期序列 作DFT，得)(kFc1202)(NnnkNcWnf 102)(NnnkNWnf122) 12(NNmmkNWmNf 令i2Nm1，则上式为 )(kFc102)(NnnkNWnf 01)12(2)(NikiNNWif 22kNW102) 12(cos)(NnNknnfl 保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：F(k)C(k) N2102) 12(cos)(N
28、nNknnfC(k)= 其中11, 10,21NkkDCT逆变换为 1112(21)( )(0)( )cos2Nunuf nCF uNNN3.2.2 二维离散余弦变换二维离散余弦变换 l正变换：l逆变换：1100211( , )( ) ( )( , )coscos22MNxyF u vC u C vf x yu xv yMNMN1100211( , )( ) ( ) ( , )cos() cos()22MNuvf x yC u C v F u vu xv yMNMN 3.2.3 二维DCT的应用l典型应用是对静止图像和运动图像进行性能优良的有损数据压缩。l在静止图像编码标准JPEG、运动图像编
29、码标准MJPEG和MPEG等标准中都使用了88块的离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。lDCT具有很强的能量集中在频谱的低频部分的特性，而且当信号具有接近马尔可夫过程的统计特性时，DCT的去相关性接近于具有最优去相关性的K-L变换的性能。【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。l【解】MATLAB程序如下：lI = imread(saturn.tif); lsubplot(1,2,1), imshow(I);%显示原图像lC1 = dct2(I); %对图像做DCT变换lC2 = fftshift(F1);l%将直流分量移到频谱图的中心lsubplot(1,2,2),ims
30、how(log(abs(C2)+1,0 10); l%显示DCT变换结果图3.10 离散余弦变换 （a）原始图像 （b）DCT系数3.3 3.3 二维离散沃尔什二维离散沃尔什- -哈达玛变换（哈达玛变换（DHTDHT）l前面的变换是余弦型变换，基底函数选用的是余弦型。l图像处理中有些变换常常选用方波信号或者它的变形。l沃尔什（Walsh）变换。l沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，便于计算机运算。l函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。l采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。3.3.1 沃尔什变换l沃尔什函数系沃尔什函数系
31、l函数值仅取函数值仅取+1和和1两值的非正弦型的标两值的非正弦型的标准正交完备函数系。准正交完备函数系。l由于二值正交函数与数字逻辑中的两由于二值正交函数与数字逻辑中的两个状态相对应，所以非常便于计算机个状态相对应，所以非常便于计算机和数字信号处理器运算。和数字信号处理器运算。图3.11 沃尔什函数系的前10个函数沃尔什函数有三种排列或编号方式l列率排列、佩利（列率排列、佩利（Paley）排列和哈达玛）排列和哈达玛（Hadamard）排列。）排列。l沃尔什变换的排列方式为列率排列。沃尔什变换的排列方式为列率排列。l与正弦波频率相对应，非正弦波形可用列率与正弦波频率相对应，非正弦波形可用列率描述
32、。描述。l列率表示某种函数在单位区间上函数值为零列率表示某种函数在单位区间上函数值为零的零点个数之半。的零点个数之半。一维沃尔什变换核g(x,u)l设N = 2n，变换核为11( )( )01( , )( 1)ininbx buig x uN bk(z)代表z的二进制表示的第k位值。核是一个对称阵列，其行和列是正交的。一维沃尔什变换 l正变换：l逆变换：111( )( )001( )( )( 1)iniNnbx buixW uf xN 111( )( )00( )( )( 1)iniNnbx buiuf xW u 二维沃尔什变换 l正变换：l逆变换：11111( )( )( )( )0001(
33、 , )( , )( 1)iniiniNNnb x buby bvixyW u vf x yN 11111( )( )( )( )0001( , )( , )( 1)iniiniNNnbx buby bviuvf x yW u vN 【例3.5】求图像 f 的DWT，并反求 f。l【解】W =G f G，采用MATLAB程序求解W。lf = 2 5 5 2; 3 3 3 3; 3 3 3 3; 2 5 5 1;lG = 1 1 1 1; 1 1 -1 -1; 1 -1 -1 1; 1 -1 1 -1;lW = (1/16)*G*f*G2552333333332551fl运行结果为lW =l 3
34、.18750.0625 -0.8125 0.0625l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625l 0.18750.0625 -0.8125 0.0625l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625l反求 f 的程序如下：lW = 3.1875 0.0625 -0.8125 0.0625;l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625;l 0.1875 0.0625 -0.8125 0.0625;l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625lG = 1 1 1 1; 1 1 -1 -1; 1 -1 -1 1; 1 -1 1
35、-1;lf = G*W*Gl运行结果为lf =l 2 5 5 2l 3 3 3 3l 3 3 3 3l 2 5 5 13.3.2 3.3.2 哈达玛变换哈达玛变换l哈达玛矩阵：元素仅由1和1组成的正交方阵。l正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。l哈达玛变换要求图像的大小为N2n 。l一维哈达玛变换核为 其中， bk(z) 代表z的二进制表示的第k位值。10)()() 1(1),(niiiubxbNuxg二维哈达玛正、逆变换具有相同形式l正反变换都可通过两个一维变换实现。l高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：lN8的哈达玛矩阵为 222211NNNNNHHH
36、HNHN5261437011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112218H一维、二维哈达玛正、逆变换l一维哈达玛正变换 l一维哈达玛逆变换l二维哈达玛正变换l二维哈达玛逆变换10)()(10) 1)(1)(nxubxbniiixfNuH10)()(10) 1)()(nuubxbniiiuHxf1010)()()()(10) 1)(,(1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH1010)()()()(10) 1)(,(1),(NuNvvbybubxbniiiiivuHNyxf3.4 卡胡南卡胡
37、南-列夫变换（列夫变换（K-L变换）变换）lKahunen-Loeve变换是在均方意义下的最佳变换。l优点：l能够完全去除原信号中的相关性，因而具有非常重要的理论意义。l缺点：l基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，因而基函数的形式是不定的，且计算量很大。l设原图像为X，采用KLT恢复的图像 ，则和原图像X具有最小的均方误差，即XT minEXXXXT(0,0),(0,1),(0,1),(1,0),( ,1),(1,1)iiiiiiifffNff r Nf NNX对第i次获得的图像fi(x, y)可以用N2维向量Xi表示： 11MxiiEMmXXlCx是一个N2N2的实对称矩阵。令i和ai（i
38、= 1, 2, , N2）分别为Cx的第i个特征值和特征向量，其特征向量构成的矩阵是一个正交矩阵 TTT1111()()MMxixixiixxiiMMCXmXmX Xm m222222112111222212NNNNN NaaaaaaaaaAl ATCxA = A1CxA = （3.51）l 为Cx的特征值构成的对角线矩阵。K-L变换选取一个上述的正交变换A，使得变换后的图像Y满足l Y = A(X mx) （3.52）l优点：优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具有重要的理论意义。 l缺点：缺点：计算量很大。3.5 3.5 二维离散小波变换二维离散小波变换l小波分析是小波分析是20世纪世
39、纪80年代开始逐渐发展成熟的年代开始逐渐发展成熟的应用数学的一个分支。应用数学的一个分支。l主要特点：主要特点：l对时间（二维信号为空间）对时间（二维信号为空间）-频率的双重分析和多分频率的双重分析和多分辨率分析能力。辨率分析能力。l被誉为被誉为“数学显微镜数学显微镜”，在信号和图像处理等，在信号和图像处理等领域具有重要的应用价值。领域具有重要的应用价值。3.5.1 小波分析的思想来源l哈尔提出了一种正交归一化函数系，以其作为哈尔提出了一种正交归一化函数系，以其作为正交规范基的哈尔变换收敛均匀而迅速，在图正交规范基的哈尔变换收敛均匀而迅速，在图像信息压缩和特征编码等方面获得应用。像信息压缩和特
40、征编码等方面获得应用。l哈尔变换特点：哈尔变换特点：l（1）具有尺度和位移两个特性；）具有尺度和位移两个特性；l（2）变换范围窄；）变换范围窄；l（3）变换特性与图像边界的特性十分接近。）变换特性与图像边界的特性十分接近。图3.12 Haar函数系的前几个函数波形函数系的前几个函数波形窗口傅里叶变换（WFT） l信号f (x)的窗口傅里叶变换定义为j* 1WFT ( ,)( )()ed2xfRbf x WxbxlWFT的重构公式为2j 1( )WFT ( ,)()ed d2xfRf xbW xbbl常见的窗函数具有相对短的时间窗宽，例如可选为高斯函数，所以WFT也称为短时傅里叶变换（ STFT
41、）。WFT的不足的不足l窗口傅里叶变换是一种大小及形状均固定的时频化分析。l实际信号进行时间和频率分析时，分辨率往往是相对的，即反映信号高频成分需要较高的时间分辨率，因此窗函数宽度应该窄一些，而反映低频成分则需要较高的频率分辨率，窗函数宽度应该宽一些。l窗口傅里叶变换不能满足上述要求。3.5.2 连续小波变换l小波变换的窗口具有大小（面积）固定但形状可改变的特点，能满足上述时-频局部化分析的要求。l按如下方式生成的函数族为连续小波（分析小波）：12,( )a bxbxaal (x)称为基本小波或母波la称为伸缩因子，b为平移因子。母波可由平移与尺度变换构造小波基函数。 图3.13 小波函数的平
42、移与扩展信号的连续小波变换 l正变换：l反变换：1*2, ( , ),( )( )dfa bRxbWa bfxaf xxa ,2 1d( )( , )( )dfa baf xWa bxbCa3.5.3 一维离散小波变换l把连续小波变换离散化更有利于实际应用。l对a和b按如下规律取样：l其中 ； ； ，得离散小波：mmanbbaa000,10aZnm,)()(0020,nbxaaxmmnm)(),()()(,xxfdxxxfWnmnmnmnmnmnmnmnmnmfWkf,)(Rb 0 离散小波变换和逆变换为 3.5.4 二维离散小波变换l信号f (x, y)的连续小波变换Wf(a,bx,by)为
43、 2*, 1( ,),( , )( , ),d dx yfxya b bRxb ybWa b bfx yf x yx yaaa2 ,2 1( , )( ,),dddyxfxya bxyRRybxbf x yWa b bbbaaaa 由Wf(a,bx,by)重构f (x, y)的小波逆变换为定义二维离散小波变换逼近，并采用Mallat二维快速算法求解。与DFT类似，可分离二维小波变换最终可转化为两次一维小波变换。图3.14 可分离二维小波变换的频率域分解（a）1层分解 （b）2层分解 （c）3层分解重构算法按相反的步骤进行l这样就构成了2D DWT的金字塔结构。l由于小波变换的理论和算法比较复杂
44、，从应用的角度看，读者可以将注意力集中在用MATLAB对图像进行小波变换和重构的实现过程中。【例3.6】对图像实现小波变换lbior3.7是双正交样条小波对应的滤波器。图像：wbarb.mat。l【解】MATLAB程序如下：lload wbarb;%从磁盘调入磁盘文件wbarb.matlimage(X);%将矩阵X显示为图像.lcolormap(map);%配合函数image()画出连续的灰度图lcA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7);l %对X进行DWT，bior3.7是双正交样条小波对应的滤波器lA1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1);lH1
45、 = upcoef2(h,cV1,bior3.7,1);lV1 = upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);lD1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);lfigure;colormap(map) ; lsubplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,180);ltitle(Approximation A1)lsubplot(2,2,2); image(wcodemat(H1, 255);ltitle(Horizontal Detail H1)lsubplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,255);ltitle(Vertic
46、al Detail V1)lsubplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,255);ltitle(Diagonal Detail D1)lY = 2.0*IDWT2(A1,H1,V1,D1, bior3.7);lY = imresize(Y,0.5);lfigure; image(Y);colormap(map);图3.15 一层小波变换 （a）原图像 （b）逆变换后的图像图3.15 一层小波变换（c）一层小波变换的4个分量本章小结 l图像处理可以直接在空间域进行，也可以通过变换的手段达到更好的效果。l图像变换是图像处理中常用的有效手段，对实现某些图像处理和后期的图像分析起着十分重要的作用。l为了达到图像处理、分析、识别、传输和存储等目的，图像变换一般为正交变换。l正交变换可以显著地减少图像数据的相关性，可以实现用较少的数据量表示原始图像及其特征。